面積測量中值得重視的“知一求二”

□郜舒竹 呂港麗

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在第二學(xué)段的學(xué)段目標(biāo)中新增加了“面積測量”的內(nèi)容，指出學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要“經(jīng)歷平面圖形的周長和面積的測量過程”。什么是“測量過程”？按照德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716）的說法：“測量（Measurement）是與單位（Unit）的比較?！保?］如果確定了單位，也就是確定了“一”，那么測量過程就是“知一求幾”的過程。小學(xué)數(shù)學(xué)第一學(xué)段課程內(nèi)容中學(xué)生先接觸長度測量，進(jìn)入第二學(xué)段，長度測量“知一求二”的經(jīng)驗(yàn)?zāi)芊裰苯討?yīng)用于面積測量？面積測量中的“知一求二”具有什么樣的課程價(jià)值？

一、長度測量與面積測量的差異

“知一求幾”實(shí)質(zhì)是用數(shù)表達(dá)量的過程，數(shù)是抽象的，是與單位的比，任何數(shù)的意義都是由相應(yīng)單位的意義決定的［2］。若要知道“2”的意義，首先要確定什么是“1”，如果“1”表示1厘米的長度，那么“2”就是這個(gè)長度的2倍，也就是2厘米的長度（如圖1）。

圖1 長度測量示意圖

從直觀上看，2厘米長度是1厘米長度“重復(fù)”2次得到的，這樣的重復(fù)具有“重合（Superposition）”的意義，是以形狀和長短都相同為前提的。任何1厘米長度的線段，形狀和長短都是完全相同的，是可以通過運(yùn)動(dòng)實(shí)現(xiàn)空間意義的重合的，也就是說所有長度相等的直線段都是“全等”的［3］。因此長度測量的過程與“數(shù)（shǔ）數(shù)（shù）”過程類似，確定了“一”作為單位，重復(fù)幾次“一”就可以得到“幾”，長度測量中“知一求幾”的過程就是對(duì)“一”重復(fù)“幾”次的過程。

將這樣的經(jīng)驗(yàn)用于面積測量，如果確定“1平方厘米”為單位，那么“2平方厘米”自然應(yīng)當(dāng)是將“1平方厘米”重復(fù)2次。人教版三年級(jí)下冊(cè)教科書對(duì)面積單位定義為：“邊長1厘米的正方形，面積是1平方厘米。”按照這一定義，“2平方厘米”就應(yīng)當(dāng)是“邊長1厘米的正方形”重復(fù)2次（如圖2）。

圖2 “2平方厘米”示意圖

這樣“知一求二”的過程與長度測量的過程基本一致，沿著正方形一條邊長的方向重復(fù)，得到面積為2平方厘米的圖形是長方形，并非是正方形，與我國古時(shí)“邁步定畝”的面積測量過程是類似的［4］，沿用了一維線段長度的測量過程。

二維平面圖形面積測量的一個(gè)基本問題是邊的長度與面積的關(guān)系，對(duì)于正方形直覺上可以感知邊長與面積“此起彼增”的協(xié)變關(guān)系［5］，即“如果邊長增加或減少，那么面積隨之增加或減少”；反過來同樣有“如果面積增加或減少，那么邊長隨之增加或減少”。人們對(duì)這樣“此起彼增”的協(xié)變關(guān)系，最為熟悉的應(yīng)當(dāng)是日常經(jīng)驗(yàn)中經(jīng)常出現(xiàn)的“線性”關(guān)系或“正比例”關(guān)系［6］，比如從“1瓶水售價(jià)1元”，自然推理出“2瓶水售價(jià)2元”，“瓶”與“元”之間自然地建立了數(shù)值的對(duì)等關(guān)系。如果將此類經(jīng)驗(yàn)應(yīng)用于正方形邊長與面積的關(guān)系，會(huì)出現(xiàn)如下的誤解。

誤解1：因?yàn)檫呴L1厘米的正方形，面積是1平方厘米，所以邊長2厘米的正方形，面積是2平方厘米。

在北京一所小學(xué)，對(duì)已經(jīng)學(xué)過“面積”的四年級(jí)學(xué)生進(jìn)行測試，發(fā)現(xiàn)近一半的學(xué)生存在這樣的誤解。測試題目仿照教科書中1平方厘米的定義，如圖3。

圖3 學(xué)生誤解示意圖

全班32名學(xué)生中，有15名學(xué)生畫出了邊長為2厘米的正方形（如圖3），顯示出學(xué)生對(duì)于面積測量經(jīng)驗(yàn)的不足，同時(shí)反映出教科書中有關(guān)面積測量活動(dòng)的缺失。

更進(jìn)一步，日常經(jīng)驗(yàn)中還經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)“同倍增減”的線性關(guān)系，比如“如果1瓶牛奶4元，那么2瓶牛奶8元”“1雙筷子2根，2雙筷子4根”。兩個(gè)量的協(xié)變關(guān)系符合“同倍增減”的規(guī)律。基于這樣的經(jīng)驗(yàn)，還會(huì)出現(xiàn)如下兩個(gè)誤解。

誤解2：如果正方形邊長擴(kuò)大2倍，那么面積也擴(kuò)大2倍。

誤解3：如果正方形面積擴(kuò)大2倍，那么邊長也擴(kuò)大2倍。

因此可以說，面積測量與長度測量的認(rèn)知過程存在差異，長度測量過程中的“知一求二”是簡單的重復(fù)，而面積測量相對(duì)復(fù)雜。僅從正方形來看，邊長與面積之間的關(guān)系并非是“同倍增減”的線性關(guān)系，因此長度測量的經(jīng)驗(yàn)不能夠直接應(yīng)用于面積測量。關(guān)于此內(nèi)容早在古希臘時(shí)期偉大的哲學(xué)家柏拉圖（Plato，前427—前347）所著的《美諾篇》（Meno）中就有記載。

二、《美諾篇》中的對(duì)話

《美諾篇》記載的是柏拉圖的老師蘇格拉底（Socrates，約前470—前399）與美諾及其小童奴的對(duì)話，主要探討“美德（Virtue）”是否可教的問題。蘇格拉底認(rèn)為人的知識(shí)是與生俱來的，是潛藏在人的靈魂之中的，學(xué)習(xí)的過程實(shí)質(zhì)是“喚回（Recollection）”的過程，因此教的過程不是告知和解釋，而是詢問，通過問題喚起回憶的發(fā)生［7］，這樣的回憶未必是正確的，也包括錯(cuò)誤以及對(duì)錯(cuò)誤的更正過程。為了證明這一觀點(diǎn)，蘇格拉底與美諾的小童奴進(jìn)行了關(guān)于正方形邊長與面積關(guān)系的對(duì)話。小童奴并沒有學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的經(jīng)歷，整個(gè)對(duì)話過程的核心問題是面積測量過程中的“知一求二”［8］。

●如果已知一個(gè)正方形面積，如何畫出一個(gè)新的正方形，面積是原正方形面積的2倍？

蘇格拉底最初出示的是邊長2厘米的正方形，可以知道這個(gè)正方形的面積是2厘米與2厘米的乘積等于4平方厘米。當(dāng)問及如果將4平方厘米加倍，得到面積為8平方厘米的正方形邊長是多少時(shí)，小童奴脫口而出的答案是對(duì)邊長2厘米加倍等于4厘米。這時(shí)蘇格拉底并不給予否定，而是畫出邊長為4厘米的正方形，小童奴立刻發(fā)現(xiàn)邊長加倍后得到的面積不是8平方厘米，而是16平方厘米（如圖4）。

圖4 邊長加倍示意圖

此時(shí)小童奴進(jìn)入更正錯(cuò)誤的思考，想到需要將邊長適當(dāng)減少，從4厘米調(diào)整為3厘米，蘇格拉底隨即畫出邊長為3厘米的正方形。

小童奴觀察后發(fā)現(xiàn)，邊長3厘米的正方形面積仍然不是8平方厘米，而是9平方厘米（如圖5），此時(shí)就處于束手無策的窘態(tài)，無奈地說：“我真的不知道了。”

圖5 邊長減少示意圖

以上對(duì)話實(shí)際是通過詢問，喚起小童奴自身的經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)讓他經(jīng)歷自我否定的過程。如果要將面積4平方厘米的正方形擴(kuò)大2倍，變?yōu)槊娣e為8平方厘米的正方形，將邊長擴(kuò)大2倍變?yōu)?厘米，就會(huì)使面積遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了預(yù)期的8平方厘米；適當(dāng)減少邊長，從4厘米減少為3厘米，仍然不能得到預(yù)期的8平方厘米。此時(shí)蘇格拉底仍然堅(jiān)持不告知答案，繼續(xù)進(jìn)行一系列的詢問，小童奴運(yùn)用自身的經(jīng)驗(yàn)最終解決了問題。接下來的詢問，是啟發(fā)小童奴將眼光從正方形邊長轉(zhuǎn)向?qū)蔷€。

畫出正方形ABCD的一條對(duì)角線AC，將正方形ABCD等分為兩個(gè)面積相等的三角形ABC和ADC（圖6左）。而后以這條對(duì)角線為邊長畫出一個(gè)新的正方形（虛線），發(fā)現(xiàn)這個(gè)虛線正方形包含4個(gè)同樣的三角形（圖6右），因此小童奴立刻得到結(jié)論：

圖6 正方形面積“知一求二”示意圖

●以一個(gè)正方形對(duì)角線為邊長的新正方形，面積為原正方形的2倍。

如果原正方形ABCD面積為1平方厘米，新正方形（虛線）面積就是2平方厘米。前面對(duì)話中原正方形面積為4平方厘米，這個(gè)以對(duì)角線為邊長的新正方形的面積就是8平方厘米。

這里已經(jīng)蘊(yùn)含了勾股定理的知識(shí)：一個(gè)以等腰直角三角形斜邊為邊長的正方形，其面積是兩個(gè)以直角邊為邊長的正方形的面積之和。這樣的結(jié)論實(shí)際就是初中數(shù)學(xué)課程中部分勾股定理內(nèi)容（等腰直角三角形兩條直角邊長度相等的特例，如圖7）。

圖7 勾股定理特例示意圖

以上是從1倍到2倍“知一求二”的構(gòu)造過程，也可以從大到小地構(gòu)造兩個(gè)正方形的2倍關(guān)系，即從2倍得到1倍的構(gòu)造過程。首先畫出一個(gè)正方形（實(shí)線），將每邊上的“中點(diǎn)”連接起來得到一個(gè)小正方形（虛線），同樣可以通過比較看出實(shí)線正方形面積是虛線正方形面積的2倍。如果實(shí)線正方形面積是2平方厘米，那么虛線正方形面積就是1平方厘米（如圖8）。

圖8 正方形面積“知二求一”示意圖

蘇格拉底之所以選擇這樣一個(gè)正方形面積與邊長關(guān)系的問題，一個(gè)可能的原因是當(dāng)時(shí)人們認(rèn)為這是一個(gè)難以理解的問題，兩個(gè)正方形面積是2倍關(guān)系，但邊長并不是2倍關(guān)系，違背同倍增減的直覺認(rèn)識(shí)。用現(xiàn)在的語言說，面積為2倍關(guān)系的兩個(gè)正方形，其邊長之比是介于1和2之間的一個(gè)無理數(shù)（），約等于1.414。

綜上所述，面積測量與長度測量不同，長度測量的經(jīng)驗(yàn)并不能直接遷移到面積測量的過程中。面積不同于長度，作為長度的“1厘米”與“2厘米”之間的關(guān)系具有確定性，從直觀上容易感知。但作為面積的1平方厘米與2平方厘米的關(guān)系具有復(fù)雜性，僅依賴直觀難以感知，具有“反直覺”的特征［9］，正是這樣的復(fù)雜性和反直覺特征，使得這一內(nèi)容具有了使學(xué)生思維發(fā)生“概念轉(zhuǎn)變（Conceptual Change）”的課程價(jià)值。

三、概念轉(zhuǎn)變

正方形的邊長與面積是非線性的協(xié)變關(guān)系，對(duì)這種非線性關(guān)系的認(rèn)識(shí)是對(duì)長度測量經(jīng)驗(yàn)的改變、拓展與提升，對(duì)學(xué)生來說可以實(shí)現(xiàn)思維中的“概念轉(zhuǎn)變”［10］。瑞士心理學(xué)家皮亞杰（Jane Piaget，1896—1980）在對(duì)兒童面積概念認(rèn)知規(guī)律研究中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正方形的邊長擴(kuò)大2倍時(shí)，兒童會(huì)對(duì)面積變?yōu)?倍感到驚訝，但他們無法解釋為什么，原因是他們還停留在“線性測量（Linear Measurement）”的認(rèn)知水平［11］。

學(xué)生的認(rèn)知應(yīng)當(dāng)始于經(jīng)驗(yàn)，但不能停留在已有經(jīng)驗(yàn)的水平，對(duì)已有經(jīng)驗(yàn)的改變、拓展與提升應(yīng)當(dāng)成為課程與教學(xué)的目標(biāo)。概念轉(zhuǎn)變是以課程內(nèi)容進(jìn)化為基礎(chǔ)的，面積測量至少在數(shù)的意義、運(yùn)算的意義以及數(shù)形結(jié)合三個(gè)方面體現(xiàn)出數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的進(jìn)化。

從數(shù)的意義看，探究1平方厘米與2平方厘米的關(guān)系，牽涉到正方形的邊長與對(duì)角線長度的關(guān)系（比），這樣的探究可以成為從有理數(shù)衍生出無理數(shù)（）的過程，正如從圓的周長與直徑關(guān)系的探究，衍生出了無理數(shù)（π）。因此，可以說1平方厘米與2平方厘米的關(guān)系，是從有理數(shù)的認(rèn)識(shí)拓展出無理數(shù)，使數(shù)的系統(tǒng)進(jìn)化為實(shí)數(shù)的認(rèn)知起點(diǎn)，同時(shí)也為勾股定理的發(fā)現(xiàn)奠定了基礎(chǔ)，成為中學(xué)、小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的一個(gè)銜接點(diǎn)。在面積測量過程中，學(xué)生是從熟悉的同倍增減線性關(guān)系的認(rèn)知，發(fā)展為非線性關(guān)系的認(rèn)知，是認(rèn)知能力的提升過程。用函數(shù)符號(hào)的語言說，線性關(guān)系可以用形如“y=ɑx”的一次函數(shù)表達(dá)，而正方形面積與邊長的關(guān)系則要用形如“y=x2”的二次函數(shù)表達(dá)。這些都體現(xiàn)出學(xué)生數(shù)學(xué)眼光、數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)語言的改變、拓展與提升。

從運(yùn)算的意義看，面積測量蘊(yùn)含著代數(shù)運(yùn)算的思維過程。用代數(shù)的眼光看，把面積單位分別記為：1平方米=1m2、1平方分米=1dm2、1平方厘米=1cm2。這時(shí)的“平方”具有代數(shù)運(yùn)算的意義，可以用于面積單位之間的轉(zhuǎn)化。比如“1m2”與“100dm2”可以通過運(yùn)算進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化：

1m2=1×（10dm）2

=1×102×dm2

=100dm2

類似于此的運(yùn)算，也可以在面積計(jì)算中使用。如果長方形的長以厘米為單位，寬以毫米為單位（如圖9），這時(shí)并不需要算術(shù)運(yùn)算中的統(tǒng)一單位，可以直接應(yīng)用“長×寬”進(jìn)行面積計(jì)算。

圖9 單位相異長方形示意圖

長方形的長為3厘米，寬為8毫米，二者長度單位不同。算術(shù)運(yùn)算的做法是先統(tǒng)一長度單位，比如將3cm變?yōu)?0mm，而后計(jì)算出長方形面積等于240mm2。運(yùn)用代數(shù)的眼光可以直接計(jì)算長方形面積，將3cm與8mm分別看作3×1cm與8×1mm，同時(shí)應(yīng)用乘法運(yùn)算的交換律與結(jié)合律。

3cm×8mm

=（3×1cm）×（8×1mm）

=（3×8）×（1cm×1mm）

=24×（10mm×1mm）

=24×10×（1mm×1mm）

=240mm2

有關(guān)代數(shù)運(yùn)算的內(nèi)容已經(jīng)超出了小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的范圍，無須在小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容中呈現(xiàn)，但“平方”概念的多義特征應(yīng)當(dāng)給予適當(dāng)?shù)臐B透，讓學(xué)生體會(huì)“平方”一詞所具有的多重意義［12］，為今后學(xué)習(xí)代數(shù)奠定基礎(chǔ)。

從數(shù)形結(jié)合的角度看，算術(shù)或代數(shù)中算式之間的關(guān)系，可以通過圖形面積之間的關(guān)系直觀地顯現(xiàn)出來。比如兩個(gè)乘法算式“5×3”和“4×4”，前者可看作兩條邊長分別為“4+1”和“4-1”長方形的面積，后者可看作邊長為4的正方形面積，二者相差1的關(guān)系“42-1=5×3”可以從圖10明顯看出。

圖10 “5×3”與“4×4=42”關(guān)系示意圖

這樣的關(guān)系具有一般性，如果把其中的“4”改為具有一般意義的字母“ɑ”，這樣的關(guān)系就成為代數(shù)中的恒等式：ɑ2-1=（ɑ+1）×（ɑ-1）。

小學(xué)數(shù)學(xué)中的計(jì)算教學(xué)重視算理和算法，追求結(jié)果的準(zhǔn)確和計(jì)算的熟練，但對(duì)于算式之間關(guān)系的認(rèn)知相對(duì)忽視。用數(shù)形結(jié)合的視角看，算式之間的關(guān)系往往表現(xiàn)為圖形之間的關(guān)系。將圖形認(rèn)識(shí)與測量應(yīng)用于探索算式之間的關(guān)系，對(duì)于溝通“數(shù)與代數(shù)”與“圖形與幾何”兩個(gè)領(lǐng)域之間多角度的聯(lián)系十分有益，是實(shí)現(xiàn)課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化的具體體現(xiàn)。

面積測量作為《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的新增內(nèi)容，蘊(yùn)含著豐富的課程價(jià)值。從課程內(nèi)容的角度看，蘊(yùn)含著二次函數(shù)、無理數(shù)、代數(shù)運(yùn)算以及數(shù)形結(jié)合的內(nèi)容；從學(xué)生概念轉(zhuǎn)變的角度看，是學(xué)生從線性思維轉(zhuǎn)變?yōu)榉蔷€性思維、從有理數(shù)進(jìn)化為實(shí)數(shù)、從算術(shù)運(yùn)算拓展為代數(shù)運(yùn)算的過程。

面積測量中學(xué)生經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的全過程，同時(shí)又經(jīng)歷“為什么不”這樣證偽的思維過程。《美諾篇》中蘇格拉底與小童奴的對(duì)話，表明讓學(xué)生經(jīng)歷這樣面積測量的過程是可行的。因此在教科書編修以及教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)關(guān)注面積測量與長度測量的差異，對(duì)面積測量中“知一求二”探究活動(dòng)設(shè)計(jì)給予足夠的重視。