基本數(shù)論問題的可視化證明方法研究與實踐*

劉新宇 張艷碩 常萬里

北京電子科技學(xué)院，北京市 100070

1 引言

數(shù)論［1］作為純粹數(shù)學(xué)的重要分支之一，被譽為數(shù)學(xué)的皇冠，主要研究方向是整數(shù)，特別是正整數(shù)的性質(zhì)以及代數(shù)方程的整數(shù)解等內(nèi)容。數(shù)論問題探究是數(shù)學(xué)研究中十分重要的領(lǐng)域，一直以來，對古老的若干數(shù)論問題的深入研究成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的重要推動力之一，數(shù)論問題及其結(jié)論在計算機、密碼學(xué)、物理學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。 基本數(shù)論問題作為數(shù)論研究中的基本內(nèi)容，是數(shù)論研究的基石，對于數(shù)論基本問題本身及其證明方法的研究在數(shù)論研究中具有實際意義。

可視化研究［2］是當(dāng)前國際上的熱點問題，在數(shù)學(xué)、物理學(xué)、化學(xué)等學(xué)科領(lǐng)域，可視化作為一種便于理解的形式廣泛應(yīng)用于研究過程以及研究結(jié)果中。 隨著教學(xué)媒體的發(fā)展和學(xué)習(xí)理論的發(fā)展可視化教學(xué)的形態(tài)、特性和內(nèi)涵都發(fā)生了巨大變化，可視化教學(xué)和可視化教學(xué)研究也出現(xiàn)新的發(fā)展和趨勢。 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，可視化的研究內(nèi)容主要包括：數(shù)學(xué)問題可視化、數(shù)學(xué)猜想可視化、數(shù)學(xué)理解可視化與數(shù)學(xué)推理過程可視化。 在數(shù)學(xué)問題實例中，往往一個數(shù)學(xué)對象蘊含著多個要素，利用可視化技術(shù)能夠展示出同一數(shù)學(xué)對象不同方面的特征，從而達到從多個維度來分析思考數(shù)學(xué)對象的目的。

數(shù)論同幾何有著十分密切的聯(lián)系［3］，許多基本數(shù)論問題都存在幾何方法的描述或證明，如畢達哥拉斯游程問題、巴塞爾問題、費馬大定理［4］等。 本文從畢達哥拉斯游程問題和巴塞爾問題出發(fā)，以托勒密定理為范例，通過對這些問題本身及其證明方法的研究，探索基本數(shù)論問題的可視化證明方法。 基于當(dāng)前可視化證明存在的優(yōu)勢與特點，從可視化證明內(nèi)容和可視化證明方法兩個方面探索基本數(shù)論問題的可視化證明，得到一種適用于基本數(shù)論問題的可視化證明方法，降低可視化證明難度，提高基本數(shù)論問題可視化證明的理解能力與表達效果。

2 基本數(shù)論問題

基本數(shù)論問題是數(shù)學(xué)發(fā)展的動力，科學(xué)發(fā)現(xiàn)的先導(dǎo)，促進了數(shù)學(xué)理論的發(fā)展，也促進了數(shù)學(xué)方法的研究。 縱觀歷史上的一些著名數(shù)論猜想，如哥德巴赫猜想、畢達哥拉斯游程問題、巴塞爾問題等等，這些基本數(shù)論問題對數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展，起了積極的推動作用。 正是無數(shù)數(shù)學(xué)家們的猜想，數(shù)學(xué)科學(xué)才發(fā)展到當(dāng)今的現(xiàn)代數(shù)學(xué)，可以說，數(shù)學(xué)猜想是現(xiàn)代教學(xué)的必然要求，基本數(shù)論問題是數(shù)學(xué)發(fā)展史上的重要成就。

2.1 畢達哥拉斯游程

畢達哥拉斯游程［5］（Pythagorean Runs）問題是對畢達哥拉斯定理的拓展，使畢達哥拉斯定理中的等式能夠囊括更多的數(shù)字。

畢達哥拉斯定理［6］若一個三角形為直角三角形，那么它的直角邊a、b和斜邊c滿足：a2＋b2＝c2。

2.2 巴塞爾問題

巴塞爾問題［7］（The Basel Problem）是由數(shù)學(xué)家皮耶特羅·門戈利1644 年提出的數(shù)論問題。其問題可簡單概括為求所有自然數(shù)平方的倒數(shù)和，即計算：

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）通過泰勒級數(shù)展開法求出了巴塞爾問題的準(zhǔn)確值：

歐拉于1735 年公布，但當(dāng)時他的證明還不是十分嚴(yán)密，真正嚴(yán)密的證明在1741 年給出。

2.3 托勒密定理

托勒密定理（Ptolemy′s theorem）是歐幾里得幾何學(xué)中的一個定理，以古希臘亞歷山大后期重要數(shù)學(xué)家、 天文學(xué)家和地理學(xué)家托勒密（Claudius Ptolemy）的名字命名。 托勒密在其著作《天文學(xué)大全》（又稱《數(shù)學(xué)匯編》、《大匯編》）13 卷中為了推導(dǎo)兩角之和、差的正弦公式計算弦表，證明的一個引理，后人把這一引理稱作托勒密定理。

托勒密定理［9］圓的內(nèi)接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。

3 基本數(shù)論問題的理論證明

3.1 畢達哥拉斯游程的理論證明

畢達哥拉斯游程作為畢達拉斯定理的拓展，與幾何問題有著密切的聯(lián)系。 從幾何角度對畢達哥拉斯游程問題進行分析，能夠得到一種不同于代數(shù)證明的證明方法。 從最初的32＋42＝52開始，其等式內(nèi)容便可以表示為圖1：

圖1 32 ＋42 ＝52 的幾何表示

圖1 將等式32＋42＝52轉(zhuǎn)化為兩個邊長分別為3、4 的正方形面積之和等于邊長為5 的正方形面積。 通過將邊長為4 的正方形分割為四個長為4，寬為1 的四個長方形，使得在面積總和不變的情況下與變長為3 的正方形進行組合，構(gòu)成邊長為5 的正方形，這一幾何表示結(jié)果無疑是正確的。 基于這一思路，可以將畢達哥拉斯游程問題所包含的所有等式進行幾何表示，其基本思路為將等式兩邊多個不同邊長的正方形進行分割、組合，使等式兩邊多個不同邊長的正方形最終轉(zhuǎn)化為兩個邊長相等的正方形，可驗證其面積相等，即得出等式成立的結(jié)論。

3.2 巴塞爾問題的理論證明

除歐拉的泰勒級數(shù)展開法外，巴塞爾問題存在多種證明方法，如：數(shù)學(xué)分析證明法、復(fù)分析證明法等［7］，這里要介紹的是一種幾何證明法［8］。

首先，如圖2，構(gòu)造圓A，令圓A 周長為2。再以點B 為圓心，OB 為半徑構(gòu)造圓B，過點B 做OB 垂線交圓B 于點P′、P″。 存在等量關(guān)系：

圖2 構(gòu)造圖形

接著，如圖3，在圓B 的基礎(chǔ)上，以O(shè)B 延長線上點C 為圓心，OC 為半徑，構(gòu)造圓C，然后分別過點P′、P″做OP′、OP″垂線交于圓C 于點Q′、Q″、Q?、Q″″，得到：

圖3 四次重復(fù)操作后的結(jié)果

重復(fù)上述步驟，在OB 延長線上取一點做圓，并令圓的半徑是已有最大圓半徑的2 倍。 之后再取上一步在最大圓上點，做過這些點與O連線的垂線，交已有最大圓上點O 點右側(cè)點從左至右依次記為ni（i ＝1、2、3...），O 左側(cè)點從右至左依次記為ni（i ＝－1、－2、－3...），并記點O為n0。 可以預(yù)見到，當(dāng)我們重復(fù)這一步驟足夠多時，所有點趨近于在一條直線。

將這條直線作為數(shù)軸，令n0為零點。

圖4 數(shù)軸

記點ni到零點的距離為di，此時有：

3.3 托勒密定理的理論證明

托勒密定理的證明方法有很多種，如幾何證明法［9］、三角證明法［10］、無字證明法［11］等。 這里介紹無字證明法。

以圖5 為例。

圖5 無字證明示例

證明過程如下：

將ΔADC每條邊乘上a， 得到新的三角形ΔA′D′C′，如圖6 所示。

圖6 三角形A′D′C′

如果想讓ΔA′D′C′與ΔABC經(jīng)過放大后的ΔA′B′C′構(gòu)成平行四邊形，則需要將ΔABC各邊乘上b，得到圖7 所示。

圖7 三角形A′B′C′

再將ΔABD各邊乘上e， 得到ΔA′B′D′各邊，如圖8 所示。

圖8 三角形A′B′D′

將經(jīng)過如上操作后的圖形，由于在圓中同一根弦對應(yīng)的不同側(cè)的圓周角之和為180°， 所以∠B′＋∠D′＝180°，又因為A′B′＝A′D′，滿足有一組對邊平行且相等的條件，所以可以組合成圖9 中的平行四邊形。

圖9 組合平行四邊形

因為在ΔA′B′D′中，A′B′＝a ×e，A′D′＝b ×e， 且有∠BAD ＋∠BCD ＝∠BAD ＋∠BCA ＋∠DCA ＝∠B′A′D′ ＋∠B′C′A′ ＝180°。

所以ΔA′D′C′、ΔA′B′D′、ΔA′B′C′可以組合為一個平行四邊形，如圖9 所示。

由平行四邊形的性質(zhì)可知：a ×c ＋b ×d ＝e× f。 托勒密定理得證。

4 可視化證明方法的相關(guān)研究成果

可視化是利用計算機圖形學(xué)和圖像處理技術(shù)，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成圖形或圖像在屏幕上顯示出來，并進行交互處理的理論、方法和技術(shù)。 可視化與可視化教學(xué)因其本身具有的優(yōu)勢成為了教育研究者所關(guān)注的熱點，其在多個學(xué)科領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。 在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，可視化的研究內(nèi)容主要包括：數(shù)學(xué)問題可視化，數(shù)學(xué)猜想可視化，數(shù)學(xué)理解可視化，數(shù)學(xué)推理過程可視化。 下面將從可視化證明形式、可視化證明工具和可視化證明的優(yōu)勢與不足三個方面進行介紹。

4.1 可視化證明形式

（1）交互式證明

交互式證明方法通常借助某一種軟件實現(xiàn)，通過代碼或其他方法設(shè)計可視化界面，借助軟件自身的功能或自己設(shè)計的功能，以改變各項參數(shù)的方式對可視化內(nèi)容進行修改，從而達到可視化證明的目的。

（2）非交互式證明

非交互式證明方法可以分為靜態(tài)可視化和動態(tài)可視化兩種。

靜態(tài)可視化使用圖形將數(shù)學(xué)證明中的證明過程及計算結(jié)果以靜態(tài)圖形的形式顯示出來，形成對過程和結(jié)論的直觀感受，從而發(fā)現(xiàn)復(fù)雜數(shù)據(jù)和過程中的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律［12］。

動態(tài)可視化將通俗易懂的靜態(tài)語言同軟件生成的動畫演示相結(jié)合，區(qū)別于靜態(tài)可視化，動態(tài)可視化證明過程是連續(xù)的，體現(xiàn)出來的證明思維過程更加直觀，能夠更好的體現(xiàn)證明過程中的思維方法。

4.2 可視化證明工具

目前可視化證明工具種類繁多，本文選取其中一部分進行介紹。

（1）MATLAB 軟件是由美國MathWorks 公司推出的用于數(shù)值計算和圖形處理的科學(xué)計算系統(tǒng)環(huán)境。 現(xiàn)在的MATLAB 已經(jīng)成為了一種具有廣泛應(yīng)用前景的全新的計算機高級編程語言，有人稱它為“第四代”計算機語言，它在國內(nèi)外高校和研究部門正扮演著重要角色。 可以預(yù)見，在科學(xué)運算、自動控制與科學(xué)繪圖等領(lǐng)域MATLAB 語言將長期保持其獨一無二的地位［13］。

（2） Maxima［14］的前身是DOE-Macsyma。DOE-Macsyma 是由麻省理工學(xué)院（MIT）在美國能源部的支持下于60 年代末創(chuàng)造的一種CAS，它是用LISP 實現(xiàn)的。 Macsyma 在當(dāng)時是非常創(chuàng)新的軟件。 現(xiàn)在流行的商業(yè)計算機代數(shù)系統(tǒng)軟件Maple 及Mathematica，都是受到Macsyma 的啟發(fā)而設(shè)計出來的。

（3）Manim［15］是基于Python 的數(shù)字動畫引擎，支持Latex 公式的輸入。 其作為近幾年新出現(xiàn)的可視化工具，由于出色的動畫渲染效果以及出色的數(shù)學(xué)公式支持，成為了數(shù)學(xué)可視化工作領(lǐng)域一款新的工具。 不同于MATLAB 等商業(yè)軟件，Manim 作為一款開源工具，由Manim 社區(qū)進行維護和更新，其使用完全免費。

除以上介紹的可視化工具外，Excel、Plotly、Tableau 等工具在可視化工作種均存在較多使用，但由于適用范圍以及可視化效果等方面的原因在這里不展開介紹。

4.3 可視化證明的優(yōu)勢與不足

可視化的證明方法優(yōu)勢在于將一個數(shù)學(xué)對象蘊含的多個要素通過可視化技術(shù)展示出來，從而達到從多個維度來分析思考數(shù)學(xué)對象的目的。同時避免了傳統(tǒng)證明方法中繁多的公式說明和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計算，將數(shù)學(xué)問題的證明過程以簡單直觀的方式進行展示，有效降低了數(shù)學(xué)問題證明過程抽象性、理解難度和學(xué)習(xí)成本［16］。

可視化證明的不足之處體現(xiàn)在兩個方面：一是可視化內(nèi)容制作存在一定難度。 目前被廣泛使用的眾多可視化工具均存在較高的學(xué)習(xí)成本，可視化內(nèi)容的制作存在較高門檻；可視化證明制作內(nèi)容難以組織，實際可視化證明效果難以達到預(yù)期。 二是可視化證明這一形式相較于傳統(tǒng)證明方法存在天然不足。 可視化證明往往采用過于直觀的展示方式，在證明過程中以圖像的變換代替了繁多的公式和復(fù)雜的計算，使得證明過程中的數(shù)據(jù)計算及相關(guān)邏輯說明丟失。

5 基本數(shù)論問題的可視化證明方法

在談到可視化的教學(xué)應(yīng)用問題時，我們考慮的并不僅是學(xué)生個體使用可視化證明方法時學(xué)習(xí)效果的提升，還必須考慮在教學(xué)過程中如何運用的問題。 我們基于基本數(shù)論問題的分析及可視化證明方法存在的優(yōu)勢與特點，從畢達哥拉斯游程問題、巴塞爾問題為代表的基本數(shù)論問題出發(fā)，給出了一種適用于基本數(shù)論問題可視化證明的基本方法和思路。

5.1 基本數(shù)論問題的可視化證明內(nèi)容

基本數(shù)論問題可視化證明內(nèi)容的確定是基本數(shù)論問題可視化證明實現(xiàn)過程中極為重要的一環(huán)，對需要可視化的內(nèi)容的確立直接影響了可視化證明在表達上的連貫性和理解上的難易程度［17］。

從前文所列舉的基本數(shù)論問題可以看出，基本數(shù)論問題大都具有幾何上的描述及證明。 以巴塞爾問題為例，本文所列舉的幾何證明法先將巴塞爾問題與圓相聯(lián)系，再從特定延長線對圓周的取點著手，對巴塞爾問題進行分析，最終得到巴塞爾問題的一個明證。 基于基本數(shù)論問題的幾何描述及幾何證明方法，我們能較為容易的組織起基本數(shù)論問題的可視化證明內(nèi)容，其主要分為以下三個方面：

（1）證明內(nèi)容描述

對于證明過程的描述要力求簡潔、準(zhǔn)確，避免在證明中出現(xiàn)不準(zhǔn)確的描述，使讀者無法快速了解可視化證明的內(nèi)容。 在證明內(nèi)容描述上力求做到使用較少的圖像描述問題，必要時輔以文字或其他說明。 以畢達哥拉斯游程問題為例，前文中對于32＋42＝52這一等式的圖像描述，除必要的邊長為3、4、5 的三個正方形及其聯(lián)系外，不再含有多余要素。 這不僅能使讀者快速理解相關(guān)內(nèi)容，也能避免其在多余要素影響下產(chǎn)生誤解。

（2）證明過程體現(xiàn)

可視化證明過程是可視化證明內(nèi)容中極為重要的一環(huán)，其難點在于證明思維連貫性和嚴(yán)謹(jǐn)性于可視化證明中的體現(xiàn)［18］。 解決這一難點，需要在可視化證明實現(xiàn)之前確定可視化證明關(guān)鍵內(nèi)容，關(guān)鍵內(nèi)容的確定須遵守原則：一是關(guān)鍵步驟不可省略。 對于證明過程中的關(guān)鍵性步驟，影響到證明邏輯連貫性的一定不能省略。 二是不需要說明的步驟一律不作展示和說明，證明內(nèi)容做到簡潔，只有在不易理解的地方加以說明。以巴塞爾問題為例，巴塞爾問題的幾何證明方法關(guān)鍵在于數(shù)軸的構(gòu)造，而數(shù)軸的構(gòu)造是一個連續(xù)的思維過程。 在可視化證明中，取點過程的連貫性和取點的嚴(yán)謹(jǐn)性都需要得到體現(xiàn)，否則會使讀者難以理解證明過程。

（3）證明結(jié)果展示

證明結(jié)果的展示要做到簡潔、清晰、易理解，避免出現(xiàn)證明結(jié)果展示難以理解或無法理解的情況。 證明結(jié)果為圖像的要以清晰、直觀的方式將結(jié)果呈現(xiàn)，必要的標(biāo)注和說明不可缺少；證明結(jié)果為表達式的，表達式的變化過程一定要清晰呈現(xiàn)，避免“跳步”，讓人難以理解。 不同的證明內(nèi)容所要展示的證明結(jié)果存在一定差異，如何選取證明結(jié)果的展示形式需要根據(jù)具體問題進行具體分析。 以畢達哥拉斯游程問題為例，其證明結(jié)果存在兩種形式：圖形和等式。 單一的圖形或者等式其本身已經(jīng)具有較好的展示效果，但更優(yōu)的做法是將兩者相結(jié)合，以圖形的直觀性輔以等式的邏輯性，從而達到清晰的呈現(xiàn)效果。

5.2 基本數(shù)論問題的可視化證明方法

基本數(shù)論問題的可視化證明方法主要有以下“三化”特點［19］：

（1）結(jié)構(gòu)化

對基本數(shù)論問題的可視化證明進行結(jié)構(gòu)劃分，有助于基本數(shù)論問題可視化證明內(nèi)容的完成。 對劃分后的基本數(shù)論問題可視化證明內(nèi)容使用模塊化的設(shè)計方法，逐層設(shè)計可視化證明內(nèi)容，能夠有效提高可視化證明內(nèi)容的完成效率，降低完成難度。

（2）圖示化

基于結(jié)構(gòu)化對基本數(shù)論問題可視化證明內(nèi)容的劃分，對證明內(nèi)容進行圖像展示。 圖示化所制作圖像需要清晰簡潔，畫面元素不能過于復(fù)雜，在畫面設(shè)計過程中力求做到畫面元素一目了然，盡量避免一個畫面中同時包含多個步驟，從而造成理解上的困難。

（3）注釋化

純圖像的說明雖然足夠直觀，但是在理解上存在一定難度，通過適當(dāng)?shù)靥砑右恍┳⑨屇軌蛴行П苊饪梢暬C明中純圖像的弊端。 在對基本數(shù)論問題的可視化證明中，注釋主要包括圖像注釋、文字說明。 圖像注釋可以將變化后的圖像同原圖像聯(lián)系起來，形成邏輯上的連貫性；文字說明則能展示不方便以圖像形式表達的內(nèi)容和說明，能夠與圖像和圖像注釋形成良好的補充關(guān)系［20］。

6 可視化證明方法應(yīng)用

前文中通過對畢達哥拉斯游程問題、巴塞爾問題和托勒密定理為代表的基本數(shù)論問題進行研究，給出了基本數(shù)論問題的可視化證明方法，接下來展示以托勒密定理為例進行的可視化教學(xué)方法實際應(yīng)用。

6.1 托勒密定理的可視化證明內(nèi)容

托勒密定理的可視化證明內(nèi)容基于托勒密定理的無字證明方法提出，其證明內(nèi)容及關(guān)鍵步驟在前文中已經(jīng)說明，在這一部分不作贅述。 基于這一證明方法的可視化證明內(nèi)容主要包括：

（1）托勒密定理的說明

（2）無字證明法中三角形的變換過程

（3）無字證明法中三角形組合成平行四邊形的具體方法

（4）從組合平行四邊形中得出托勒密定理

6.2 托勒密定理的可視化證明方法

（1）結(jié)構(gòu)化

托勒密定理的可視化證明共有三個部分［21］。 第一個部分為托勒密定理內(nèi)容展示，以可視化的方式展現(xiàn)托勒密定理。 第二個部分為證明過程的演示，通過對幾何圖形的變換完成對托勒密定理的證明。 第三個部分是證明結(jié)果的展示，對第二部分中圖形變換的結(jié)果進行總結(jié)，清晰的展示出托勒密定理的可視化證明結(jié)果。

（2）圖示化

第一個部分畫面由兩部分組成，托勒密定理的前提描述和托勒密定理的結(jié)論描述。 托勒密定理的前提描述由一個圓、圓的內(nèi)接凸四邊形以及該四邊形的兩條對角線構(gòu)成。 托勒密定理的結(jié)論由兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積這一等式進行描述。

第二個部分是對圓的內(nèi)接四邊形所包含三角形的變換和組合，通過對三角形的旋轉(zhuǎn)以及縮放構(gòu)建出證明所需要的等量關(guān)系，從而達到證明托勒密定理的目的。

第三個部分是對證明結(jié)果的總結(jié)。 由于第二部分中對托勒密定理的證明結(jié)果以圖像的形式展現(xiàn)，不容易將其與托勒密定理的文字說明所聯(lián)系起來。 所以在這一部分中再次重新以文字的形式表述托勒密定理，增強可視化證明與托勒密定理文字說明的聯(lián)系，使得可視化證明內(nèi)容更加容易理解。

（3）注釋化

在對托勒密定理的可視化證明中，注釋主要分為兩個部分， 一是圖像注釋， 二是文字說明［22］。

圖像注釋是對證明過程中所出現(xiàn)的圖像的說明和標(biāo)注，能夠幫助理解證明過程中所出現(xiàn)的各個圖像的意義和聯(lián)系。 在對托勒密定理的可視化證明中，圖像注釋主要是對幾何圖形的標(biāo)注，這一注釋有助于將證明過程中變化后的圖形與原圖形聯(lián)系起來。

文字說明是對圖像說明的補充，用于將那些不適用圖像表示的內(nèi)容以文字的形式展示。 在對托勒密定理的可視化證明中，托勒密定理的原文用圖像表示就不便于理解，于是在證明過程中輔以文字說明進行補充，幫助理解托勒密定理的內(nèi)容。

6.3 托勒密可視化證明工具

可視化證明有著眾多的工具，Excel、Plotly、Tableau、Manim 等均是被使用較多的可視化工具［23］。 Excel、Plotly、Tableau 常被用來進行數(shù)據(jù)可視化，其在數(shù)據(jù)處理和分析方面具有明顯優(yōu)勢，但是這些可視化工具并不適用于托勒密定理的可視化證明。 相較于這些可視化工具，Manim在對數(shù)學(xué)方法的實現(xiàn)中具有其獨特的優(yōu)勢。

Manim 是基于Python 的數(shù)字動畫引擎，支持Latex 公式的輸入，可以很好的表達數(shù)據(jù)在可視化結(jié)果中的含義與相互關(guān)系，對數(shù)學(xué)方法的實現(xiàn)過程的可視化效果相當(dāng)出彩。 選擇Manim 作為本文可視化演示的工具，有效的提升了證明過程的直觀性［24］。

6.4 托勒密定理的可視化證明結(jié)果

現(xiàn)將可視化證明結(jié)果進行如下展示：

（1）托勒密定理說明

圖10 為托勒密定理的展示，以文字和圖形結(jié)合的方式清晰的展示托勒密定理的主要內(nèi)容，以便于接下來對托勒密定理進行證明。

圖10 托勒密定理內(nèi)容展示

（2）托勒密定理證明

圖11 用灰色和黑色兩種顏色將接下來需要進行變化的兩個三角形標(biāo)識出來，以便于在圖12、圖13、圖14 的變化中區(qū)分兩個三角形。

圖11 標(biāo)識后的兩個三角形

將圖11 中的灰色和黑色兩個三角形繞B 點分別按逆指針和順勢針旋轉(zhuǎn)一定角度達到圖12所示位置。

圖12 旋轉(zhuǎn)后的三角形位置

接下來將灰色和黑色兩個三角形分別以BA、BC 為軸翻轉(zhuǎn)到圖13 中所示位置。

圖13 翻轉(zhuǎn)后的三角形位置

再次將灰色和黑色兩個三角形進行位置上的變換達到如圖14 所示的位置，可以看到這時兩個三角形所組成的圖形已經(jīng)有了平行四邊形的形狀。

圖14 經(jīng)過變換后的三角形位置

（3）證明結(jié)果展示

圖15 將達到合適相對位置的兩個三角形以及這兩個三角形所夾三角形各自按照一定比例放大，組合成為一個平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的幾何性質(zhì)證得托勒密定理。

圖15 按比例放大后構(gòu)成的平行四邊形

7 總結(jié)與展望

可視化證明相較于傳統(tǒng)的證明方法能夠直觀地演示證明過程，降低對證明過程的理解難度［25］。 本文通過對畢達哥拉斯游程問題、巴塞爾問題和托勒密定理為代表的基本數(shù)論問題的研究，提出了一種基本數(shù)論問題的可視化證明方法，并將這一證明方法應(yīng)用于托勒密定理的可視化證明中。 所得到的托勒密定理可視化證明結(jié)果較為清晰地體現(xiàn)了托勒密定理的證明過程和證明思路，說明這一證明方法具有應(yīng)用于其他基本數(shù)論問題可視化證明的可行性。 除托勒密定理外，畢達哥拉斯游程問題、巴塞爾問題以及Wallis 公式［26］等基本數(shù)論問題均能使用這一方法進行可視化證明，從而得到具有易理解特征的可視化證明成果。

可視化教學(xué)研究作為未來課堂應(yīng)用層面的研究，對于教育技術(shù)學(xué)來講是一個新的領(lǐng)域，是一個前瞻性的研究，也是一個探索性的研究［27］。一個合適的可視化教學(xué)模式和相應(yīng)的教學(xué)策略能很好地把可視化理念應(yīng)用于教學(xué)，并對正在進行的未來課堂的設(shè)計與應(yīng)用實踐提供幫助，為面向未來的人才創(chuàng)新思維培養(yǎng)提供學(xué)習(xí)環(huán)境與活動支持［28］。