關(guān)于行列式計(jì)算的習(xí)題課設(shè)計(jì)

彭淼 張正娣 沈斌一

1.江蘇大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 江蘇鎮(zhèn)江 212013；2.常熟理工學(xué)院 江蘇蘇州 215506

1 概述

高等代數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)必修的一門(mén)必修課程。在很多的高校，不僅是數(shù)學(xué)系的學(xué)生，數(shù)據(jù)計(jì)算與應(yīng)用等相關(guān)專業(yè)的學(xué)生也開(kāi)設(shè)了該課程。由于代數(shù)不僅是探討數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等理論的重要工具，而且在力學(xué)、工程、通信中等領(lǐng)域也具有廣泛的應(yīng)用。因此，在高等代數(shù)中作為核心部分的線性代數(shù)也是大學(xué)中理工科專業(yè)需要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)工具。高等代數(shù)這門(mén)課程的特點(diǎn)是概念多、邏輯推理嚴(yán)密、內(nèi)容量大且較為抽象。通過(guò)該課程的學(xué)習(xí)，可提高學(xué)生的抽象思維能力、邏輯思維能力和解題能力，以及為后面的其他課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。該課程是基礎(chǔ)課，因此被安排在大學(xué)一年級(jí)。由于學(xué)生從中學(xué)進(jìn)入大學(xué)階段，思維模式需要經(jīng)過(guò)一個(gè)慢慢轉(zhuǎn)變的過(guò)程，學(xué)習(xí)起來(lái)比較抽象和吃力，且僅通過(guò)課程知識(shí)點(diǎn)的講解在很大程度上不能使學(xué)生熟練掌握，因此，習(xí)題課是非常重要且必要的。

在行列式計(jì)算的課堂教學(xué)中，學(xué)生可以理解階行列式的定義以及行列式的7條基本性質(zhì)。但是，對(duì)于課后習(xí)題中具體的行列式計(jì)算卻感覺(jué)無(wú)從下手，對(duì)性質(zhì)的運(yùn)用極不熟練，特別是含有字母行列式的題目，不知“何處是歸途”。因此，在行列式計(jì)算這塊內(nèi)容的習(xí)題課上，教師不僅要對(duì)基本概念和性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)和回顧，還要對(duì)計(jì)算方法、步驟進(jìn)行剖析，幫助學(xué)生理清思路，特別是通過(guò)一題多解的例子進(jìn)行講解，使得學(xué)生熟練應(yīng)用行列式的不同性質(zhì)，進(jìn)而提高學(xué)生的思考和解題能力。

2 概念與性質(zhì)回顧

習(xí)題課開(kāi)始時(shí)，教師可以利用靈活的教學(xué)手段，調(diào)動(dòng)起學(xué)生的積極性，讓學(xué)生回答所理解的級(jí)行列式的定義和7條基本性質(zhì)，并利用簡(jiǎn)潔易懂的語(yǔ)言總結(jié)其抽象的內(nèi)容，以此來(lái)鞏固上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容。教師能從學(xué)生的回答中了解學(xué)生哪些知識(shí)點(diǎn)還沒(méi)有理解，哪些數(shù)學(xué)思想認(rèn)識(shí)還不透徹。

2.1 定義

2.2 性質(zhì)

(1)行列互換，行列式值不變；(2)行列式某行的公因數(shù)可提取出來(lái)；(3)若行列式的某行都是兩數(shù)之和，則行列式可按照此行拆成兩個(gè)行列式之和；(4)行列式某兩行元素對(duì)應(yīng)相等，則值為0；(5)行列式某兩行元素對(duì)應(yīng)成比例，則值為0；(6)互換行列式中兩行的位置，值反號(hào)；(7)行列式某行的倍數(shù)對(duì)應(yīng)加到另一行上，其值為0。

需要注意的是，通過(guò)性質(zhì)a知，行列式中行和列地位同等，以上性質(zhì)對(duì)行成立的，對(duì)列也成立。

3 行列式習(xí)題的講解

為了使學(xué)生更好地理解及運(yùn)用行列式的定義和性質(zhì)，掌握好行列式的計(jì)算，習(xí)題課上應(yīng)精選典型例題，根據(jù)所求的具體行列式的元素特點(diǎn)和規(guī)律，采用恰當(dāng)?shù)慕鉀Q方法，讓復(fù)雜的問(wèn)題變簡(jiǎn)單。鼓勵(lì)學(xué)生課下多做練習(xí)，通過(guò)做題不斷地總結(jié)歸納，積累做題經(jīng)驗(yàn)。

例1 計(jì)算4級(jí)行列式

分析：通過(guò)行列式的定義知，本題的行列式展開(kāi)有24項(xiàng)，發(fā)現(xiàn)其中非零元素較多，因此只需找出非零項(xiàng)即可。

注：定義法適用于低級(jí)(二或三級(jí))行列式和零元素較多的行列式，該方法不太常用。

拓展和推廣：用上面例題的解決思路，讓學(xué)生們思考下面題目，使得學(xué)生進(jìn)一步理解行列式的定義。

設(shè)級(jí)行列式中有-個(gè)以上的元素為0，則該行列式的值為0。

例2 計(jì)算5級(jí)行列式

分析：通過(guò)行列式中元素特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，每行都含有1個(gè)、4個(gè)，每行的元素之和也相等。計(jì)算行列式時(shí)，性質(zhì)可以多次交叉使用。

解：將所有列元素加到第一列，再化為上三角行列式。

=(+4)(-)

拓展和推廣：用上面介紹的解題方法，將5級(jí)行列式推廣至級(jí)行列式，讓學(xué)生討論并求解該行列式的值。

例3 計(jì)算+1級(jí)行列式

其中≠0，=1，2，…，。

分析：通過(guò)觀察元素特點(diǎn)發(fā)現(xiàn)，該行列式除了第一行、第一列及對(duì)角元素外其余元素都為0，直觀上看像爪子的形狀，也被稱為“爪字型行列式”。該類行列式通常的方法是將第一行或者第一列消掉。

拓展和推廣：通過(guò)上述行列式的計(jì)算，告訴學(xué)生們之后再碰到爪字型的行列式該如何求解，有同學(xué)會(huì)有疑問(wèn)，實(shí)際題目中應(yīng)該不會(huì)直接給出一個(gè)爪字型行列式，那該如何運(yùn)用？能否將給出的行列式進(jìn)行轉(zhuǎn)化？讓學(xué)生帶著問(wèn)題再看例2，讓學(xué)生分組討論，根據(jù)學(xué)生的互動(dòng)，教師來(lái)總結(jié)是可以轉(zhuǎn)化的。例2的另一解法也可將每一行減去第一行，轉(zhuǎn)化為爪字型行列式，進(jìn)一步化成三角行列式求解。對(duì)于行列式的計(jì)算，教師可引導(dǎo)學(xué)生嘗試采用不同的解法，不僅可加強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和探索性，也可使學(xué)生拓展數(shù)學(xué)思維。

例4 計(jì)算級(jí)行列式

分析：觀察行列式中元素分布規(guī)律，發(fā)現(xiàn)元素較多為零，比較直觀地發(fā)現(xiàn)第1行(列)或者第行(列)，其中都含兩個(gè)非零元素，故按照降級(jí)法來(lái)進(jìn)行解決。

解：首先把按第行展開(kāi)，得：

=(-1)…-1+-1=(-1)…-1+((-1)-1…-1+-2)=

=(-1)…-1+(-1)-1…-1+((-1)-2…-2+-3)=…

=(-1)…-1+(-1)-1…-1+…++(-1)

=1-+(-1)+(-1)+…+(-1)…-1

=1---+…+(-1)…-1

上述題目稍微復(fù)雜一點(diǎn)，首先利用降級(jí)法將行列式變?yōu)榈图?jí)行列式，通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)較低級(jí)行列式和原來(lái)行列式的形式一樣，雖然級(jí)數(shù)不同，可建立起遞推關(guān)系，找出，-1和-2之間的關(guān)聯(lián)，利用高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)的遞推關(guān)系式的分析，進(jìn)而算出行列式.我們把這種方法稱為降級(jí)遞推法。

拓展和推廣：該行列式的上述處理方法需學(xué)生再仔細(xì)體會(huì)。請(qǐng)學(xué)生思考是否還有其他解決方法？提示：學(xué)到目前關(guān)于行列式的性質(zhì)c很少用到，引導(dǎo)學(xué)生能否借助該性質(zhì)進(jìn)行處理。

解法二：先將的第列寫(xiě)成兩數(shù)之和的形式，將復(fù)雜的行列式拆成兩個(gè)更為簡(jiǎn)單的行列式。

再來(lái)觀察拆分得到的第一個(gè)行列式比較簡(jiǎn)單，按照第列展開(kāi)即可，觀察第二個(gè)行列式的特點(diǎn)，可依次將每一行元素加至上一行，第行加到-1行，-1行加到-2行，直到第2行加到第1行，簡(jiǎn)化為下三角行列式。如下：

=-1+(-1)…

得到和解法一同樣的遞推關(guān)系，接下來(lái)的推導(dǎo)過(guò)程同上述方法一。解法二首先采用一個(gè)小技巧，稱之為拆邊法。通過(guò)創(chuàng)建大膽思考的學(xué)習(xí)氛圍，引導(dǎo)學(xué)生在之后的計(jì)算中，主動(dòng)使用該方法，進(jìn)而激發(fā)學(xué)生的求知欲。

結(jié)語(yǔ)

在習(xí)題課的實(shí)施過(guò)程中，教師通過(guò)選取經(jīng)典行列式的例題剖析和講解，不僅加深學(xué)生對(duì)定義和性質(zhì)的理解，而且，教師作為引導(dǎo)者通過(guò)課堂討論等方式來(lái)激發(fā)學(xué)生的積極性，在參與過(guò)程中加以啟發(fā)，及時(shí)發(fā)現(xiàn)和糾正學(xué)生的錯(cuò)誤思路，幫助學(xué)生理清思路，并且能夠?qū)ν愋偷膯?wèn)題進(jìn)行不同思路的探究與作答。針對(duì)行列式的計(jì)算，根據(jù)觀察行列式中元素特點(diǎn)，選取恰當(dāng)?shù)慕夥?。猶如在我們的實(shí)際生活中，想問(wèn)題辦事情堅(jiān)持從實(shí)際出發(fā)，做到實(shí)事求是。