彈性分開式扣件板下組合剛度理論模型設(shè)計方法

韋 凱 ，王 顯 ，丁文灝 ，駱 婷 ，趙澤明

（1. 西南交通大學高速鐵路線路工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031；2. 西南交通大學土木工程學院，四川成都 610031）

隨著我國軌道交通行業(yè)的快速發(fā)展，彈性分開式扣件系統(tǒng)因其扣壓力大、組合剛度小的特點而被廣泛應(yīng)用于我國的地鐵線路中.

分開式扣件系統(tǒng)的組合剛度反映了扣件系統(tǒng)抵抗列車荷載的能力，是衡量扣件系統(tǒng)實際使用效果的主要技術(shù)指標之一. 目前，分開式扣件系統(tǒng)的組合剛度計算方法主要參考《鐵路鋼軌扣件》書中提出的計算模型，該方法忽略鐵墊板的變形特征，認為扣件系統(tǒng)的組合剛度主要由軌下墊板與板下墊板的剛度組成[1]. 基于此假設(shè)，文獻[2]以DZ Ⅲ型扣件系統(tǒng)為例，計算了不同緊固扭矩對應(yīng)的預緊力荷載，并以此為初始預壓力，測試了板下墊板在不同緊固扭矩下的剛度. 其結(jié)果表明，由于板下墊板自身高分子材料特性的影響[3-7]，板下墊板在不同扭矩荷載下的剛度表現(xiàn)出明顯的非線性特征. 另外，鐵墊板并非絕對剛性[1]，在錨固螺栓扭矩的作用下將處于非均勻翹曲變形的狀態(tài)，考慮板下墊板非線性彈性后，鐵墊板將處于非均勻支承的狀態(tài). 這與板下組合剛度傳統(tǒng)計算模型（簡稱傳統(tǒng)模型）中板下墊板對鐵墊板提供均勻支承的假設(shè)不符，造成現(xiàn)場實際安裝狀態(tài)下的板下組合剛度與傳統(tǒng)模型設(shè)計結(jié)果差異較大，對彈性分開式扣件系統(tǒng)的實際使用帶來一定的困擾.

為考慮鐵墊板非均勻變形與板下墊板非線性對板下組合剛度的影響，可應(yīng)用有限元軟件建立鐵墊板-板下墊板的三維實體有限元模型，通過將鐵墊板設(shè)置為柔性體來考慮鐵墊板變形的影響. 在此基礎(chǔ)上，將板下墊板考慮為非線性彈性材料來反映鐵墊板實際安裝時的非均勻支承狀態(tài). 該方法可得到較為準確的計算結(jié)果，但是求解過程中除涉及材料非線性外，還涉及接觸非線性與幾何非線性，求解過程耗費的時間較長，且收斂性較差. 此外，在分析鐵墊板設(shè)計參數(shù)（鐵墊板厚度、錨固螺栓間距等）對板下組合剛度的影響時，不同工況下的計算模型均需要單獨建模，模型的通用性差且效率低，無法快速、準確獲得不同設(shè)計參數(shù)下的板下組合剛度.

因此，為準確設(shè)計彈性分開式扣件系統(tǒng)板下組合剛度，考慮鐵墊板變形與板下墊板非線性彈性的影響，探究傳統(tǒng)模型的誤差范圍，本文提出了一種基于非線性彈性地基梁的板下組合剛度理論計算模型（簡稱理論模型）. 該模型將彈性分開式扣件系統(tǒng)板下組合結(jié)構(gòu)視為非線性彈性連續(xù)支承的地基梁模型，推導模型的物理方程與求解方法，并通過室內(nèi)試驗驗證模型的正確性. 在此基礎(chǔ)上，進一步討論了在不同設(shè)計與安裝參數(shù)（螺栓扭矩、鐵墊板厚度、錨固螺栓間距）情況下，傳統(tǒng)模型與本文理論模型的計算結(jié)果，探討傳統(tǒng)模型的設(shè)計誤差，從而對彈性分開式扣件系統(tǒng)板下組合剛度的設(shè)計提出指導意見.

1 彈性分開式扣件理論模型與計算方法

本節(jié)首先介紹彈性分開式扣件系統(tǒng)的傳統(tǒng)模型并分析其問題，在此基礎(chǔ)上，建立考慮鐵墊板變形與板下墊板非線性特征的理論模型，該模型通過將非線性連續(xù)支承引入傳統(tǒng)彈性地基梁模型，并將梁體分成多個計算單元，從而反映鐵墊板在實際安裝狀態(tài)下的非均勻支承狀態(tài). 其次，采用中點剛度法對理論模型進行求解，以獲得鐵墊板安裝狀態(tài)下的變形曲線與真實組合剛度.

1.1 彈性分開式扣件傳統(tǒng)模型

傳統(tǒng)彈性分開式扣件系統(tǒng)靜剛度計算模型如圖1 所示[1]. 該模型將鐵墊板視為剛性，扣件系統(tǒng)剛度由板上組合剛度Ka1與板下組合剛度Ka2兩部分串聯(lián)組成. 其中：R為扣件力；板上組合剛度Ka1由彈條的卸載剛度Kc與軌下墊板靜剛度KP1并聯(lián)組成；板下組合剛度Ka2由板下彈性墊板的靜剛度KP2與錨固螺栓的卸載剛度Kb并聯(lián)組成，由于錨固螺栓的卸載剛度較小，一般將板下墊板的剛度直接作為分開式扣件系統(tǒng)的板下組合剛度.

圖1 傳統(tǒng)彈性分開式扣件組裝靜剛度模型Fig. 1 Traditional model for static stiffness of elastic indirect fastener assemblies

1.2 基于非線性彈性地基梁理論的理論模型

由于傳統(tǒng)模型無法反映板下墊板的非線性特征與鐵墊板安裝狀態(tài)下的非均勻變形特征，本文在非線性彈性地基梁模型的基礎(chǔ)上，提出了一種考慮鐵墊板變形特征與板下墊板非線性特征的板下組合剛度計算模型，模型示意如圖2 所示. 圖2（a）為受載鐵墊板的總體模型，圖中：l為鐵墊板長度（當錨固螺栓處于鐵墊板對角時，取鐵墊板對角線長度）；d為鐵墊板厚度；kj為第j個單元對應(yīng)的地基系數(shù)；k為鐵墊板對應(yīng)的地基系數(shù)，其值為鐵墊板位移y的函數(shù)，即k=k(y)，與板下墊板的剛度KP2之間滿足k=KP2/l；EI為鐵墊板的抗彎剛度；q1、q2為作用在鐵墊板上的荷載，q1為錨固螺栓扭矩作用下的預緊力，作用于鐵墊板與調(diào)距扣板接觸區(qū)域，作用長度為dk；q2為一組扣件承擔的列車荷載值，作用于鐵墊板中部與軌底接觸的區(qū)域，作用長度為s. 加載時首先施加錨固螺栓預緊力q1，在此基礎(chǔ)上再施加列車荷載

圖2 板下組合剛度理論計算圖示Fig. 2 Theoretical model of combined stiffness under baseplate

然而，該模型中并未考慮板下墊板的非線性特征與鐵墊板實際安裝狀態(tài)下的非均勻變形特征對板下組合剛度部分的影響，造成實際安裝狀態(tài)下的組合剛度與設(shè)計結(jié)果差異較大，給分開式扣件的實際使用帶來困擾.q2，通過計算列車荷載q2作用前后鐵墊板跨中的變形差來計算板下組合剛度Ka2.

由于鐵墊板在自身非均勻變形與板下墊板非線性彈性的共同影響下處于非均勻支承的狀態(tài)，因此，在計算過程中通過將鐵墊板劃分為多個計算單元來反映鐵墊板下的非均勻支承狀態(tài)，每個單元的支承剛度將由單元中點處的位移值來確定. 單元劃分的數(shù)量則由該位置處承受的荷載大小與可能的變形狀態(tài)決定，具體而言，承擔荷載越大、變形程度越高，則單元數(shù)量越多. 每個單元的受力（以單元j為例）如圖2（b）所示，圖中：pj為作用于單元j上的外部荷載；Mj,L、Mj,R與Qj,L、Qj,R分別為單元j左、右兩側(cè)邊界位置處的彎矩與剪力.

而相鄰單元之間應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件，即單元j與單元j+ 1 相接位置處的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力滿足：

式中：yj+1,L、θj+1,L、Mj+1,L和Qj+1,L分別為單元j+ 1 左側(cè)的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力；yj,R、θj,R分別為單元j右側(cè)邊界位置處的位移、轉(zhuǎn)角.

每個計算單元均需滿足彈性地基短梁的基本要求[8]，計算時采用初參數(shù)法對單元的變形進行求解.仍然以單元j為例，首先，根據(jù)初參數(shù)法列出每個計算單元在無載條件下的變形yj（見式（8）），再考慮梁上有荷載作用時引起的位移附加項Δyj（見式（9））來獲得計算單元的變形方程.

式中： φ1,j、φ2,j、φ3,j、φ4,j為第j個單元的克雷洛夫函數(shù)[8]；βj為單元j的特征系數(shù)；y0,j、θ0,j、M0,j和Q0,j分別為單元j梁端初始的位移、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力；x1,j、x2,j分別為在x坐標軸上外部荷載pj作用的起始、終止位置.

對式（8）、（9）進行求導變換，即可獲得單元j的撓度θj、彎矩Mj和剪力Qj（分別見式（11） ～ （13）），從而組成單個單元的基本方程組.

對于單個單元撓度曲線的計算需要引入單元初始位置處的撓度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力，通過變形協(xié)調(diào)條件式（4） ～ （7），將多個單元的基本方程組進行聯(lián)立，從而形成結(jié)構(gòu)的整體方程組. 在此基礎(chǔ)上，引入鐵墊板兩側(cè)自由端邊界條件式（14）代入整體方程組中進行求解，從而得到鐵墊板在荷載作用下的變形.

式中：M、Q分別為鐵墊板的彎矩、剪力.

1.3 理論模型求解方法

由于板下墊板的非線性彈性特征，荷載施加過程中板下墊板對鐵墊板提供的支承剛度將隨鐵墊板的變形逐漸改變，故無法直接求解荷載作用下鐵墊板的變形曲線. 因此，求解過程中采用非線性有限元理論中的中點剛度法，將施加于鐵墊板上的荷載分成多個荷載步進行施加，其中每一步剛度由施加該荷載步1/2 荷載下的位移來計算. 鐵墊板變形的求解流程如圖3 所示，圖中：yi,0和ki,0分別為第i個荷載步的初始位移和初始剛度；Δyi,1/2為荷載步i一半荷載作用引起的結(jié)構(gòu)變形；yi,1/2為荷載步i一半荷載作用下的總變形；ki,1/2為根據(jù)yi,1/2與板下墊板非線性剛度-位移曲線所得到的中點剛度；Δyi為進一步采用中點剛度計算得到的荷載步i下的變形增量；yi為第i個荷載步鐵墊板的總變形.

圖3 板下組合結(jié)構(gòu)變形計算流程Fig. 3 Flow chart of deformation calculation for combined structure under baseplate

2 彈性分開式扣件板下組合剛度試驗驗證與分析

以DZ Ⅲ型扣件系統(tǒng)為例，根據(jù)設(shè)計文件中的扭矩加載范圍，以50 N·m 為荷載節(jié)點，應(yīng)用萬能試驗機測試實際安裝狀態(tài)下鐵墊板在施加列車荷載前后的變形曲線與不同螺栓扭矩下的板下組合剛度.通過對比試驗結(jié)果、理論模型計算結(jié)果與傳統(tǒng)模型計算結(jié)果，從而驗證理論模型的正確性、明確傳統(tǒng)模型的誤差范圍.

2.1 試驗準備與流程

由于目前并無針對彈性分開式扣件板下組合靜剛度的相關(guān)測試規(guī)范，本文在借鑒國家鐵路相關(guān)組裝靜剛度與軌道交通彈性墊板靜剛度測試方法[9-10]的基礎(chǔ)上，對板下組合剛度進行測試.

試驗儀器主要包括DZ-Ⅲ型扣件系統(tǒng)鐵墊板與對應(yīng)的氯丁橡膠板下墊板、錨固螺栓、短軌枕等. 測試設(shè)備為帶力傳感器的液壓伺服萬能試驗機，位移采用百分表進行讀數(shù). 首先，將板下組合結(jié)構(gòu)安裝至短軌枕上，并通過螺栓施加預設(shè)的緊固扭矩，使其達到正常工作狀態(tài). 其次，將板下組合結(jié)構(gòu)放置于萬能試驗機上，并根據(jù)圖4 布置鐵墊板位移測點，其中測點1-1、1-2 分別位于鐵墊板邊緣5 mm 處，測點2-1、2-2 分別位于鋼軌軌底外側(cè)5 mm 且鐵墊板邊緣內(nèi)側(cè)40 mm 處的鐵墊板上，測點3 位于鐵墊板中心位置處. 最后，按相應(yīng)的試驗方法對板下組合結(jié)構(gòu)進行加載，如圖5 所示.

圖4 鐵墊板測點布置Fig. 4 Layout of measuring points on baseplate

圖5 板下組合剛度測試裝置Fig. 5 Test device of combined structure under baseplate

測試時，首先將百分表調(diào)零，對試驗裝置進行兩次預加載，加載范圍為0 ～ 60 kN，以消除彈性墊板高分子材料的Mullins 效應(yīng)[11]；再以2 kN/s 的加載速度進行正式加載，加載范圍0 ～ 50 kN，加載至最大荷載后保持60 s，待讀數(shù)穩(wěn)定后記錄百分表的讀數(shù)，并根據(jù)式（15）計算此時的板下組合剛度K.

式中：F1、F2分別為起始荷載（0）、終點荷載（50 kN）；D1、D2分別為F1、F2對應(yīng)的百分表位移讀數(shù).

2.2 理論模型驗證及傳統(tǒng)模型誤差分析

根據(jù)試驗中采用的彈性墊板，首先，參考文獻[12]測試了DZ Ⅲ型扣件系統(tǒng)板下墊板的荷載位移-曲線，如圖6 所示，再對其求導獲得板下墊板的剛度-位移曲線，如圖7 所示. 可以看出：當位移小于2.5 mm時，板下墊板表現(xiàn)近似線彈性特征，剛度基本不變，當位移大于2.5 mm 后，板下墊板將表現(xiàn)出強烈的非線性，剛度陡增.其次，根據(jù)DZ Ⅲ型扣件系統(tǒng)的鐵墊板參數(shù)（見表1），將鐵墊板劃分為90 個計算單元（其中鐵墊板左、右兩側(cè)螺栓預緊力作用區(qū)域各20 個單元、鐵墊板中部列車荷載作用區(qū)域50 個單元），并計算每個單元的初始方程組.最后，根據(jù)中點剛度法將預緊力q1與列車荷載q2分步施加，計算每個荷載步下鐵墊板的變形曲線. 以扭矩250 N·m 為例，列車荷載作用前后鐵墊板的變形曲線如圖8（a）所示，考慮表2 中所示計算工況條件的不同扭矩下傳統(tǒng)模型計算結(jié)果、理論模型計算結(jié)果，并與實測結(jié)果對比，如圖8（b）所示.

圖6 板下墊板荷載位移曲線Fig. 6 Load-displacement curve of baseplate pad

圖7 墊板位移-剛度曲線Fig. 7 Stiffness-displacement curve of baseplate pad

表1 鐵墊板相關(guān)參數(shù)Tab. 1 Related parameters of baseplate mm

圖8 理論模型計算結(jié)果與實測對比Fig. 8 Comparison between results of theoretical model and actual measurement

表2 荷載工況參數(shù)Tab. 2 Load condition parameters

由圖8（a）可知：在螺栓扭矩為250 N·m 時，理論模型計算得到列車荷載作用前后鐵墊板的變形差與實測結(jié)果較為一致. 理論模型鐵墊板跨中變形為0.82 mm，與實際結(jié)果相差0.07 mm；板端位移為0.08 mm，與實測結(jié)果相差0.05 mm. 由圖8（b）可知：表2 所示的3 種螺栓扭矩作用下，板下組合剛度的實測結(jié)果分別為44.5、54.1、60.0 kN/mm，傳統(tǒng)模型的測試結(jié)果分別為61.30、84.24、116.56 kN/mm，與實測結(jié)果分別相差37.75%、55.71%、94.27%，已超出工程設(shè)計5.00%的誤差范圍要求. 而表2 的3 種工況下，理論模型所得板下組合剛度分別為43.70、52.69、61.12 kN/mm，分別相差1.80%、2.68%、1.83%，小于工程設(shè)計中5.00%的誤差范圍要求. 因此，傳統(tǒng)模型在正常安裝范圍內(nèi)已無法滿足工程設(shè)計的需要，而本文提出的非線性彈性地基梁模型由于考慮了鐵墊板變形與板下墊板非線性對板下組合剛度的影響，可以反映真實安裝狀態(tài)下的板下組合剛度.

3 不同設(shè)計參數(shù)下的板下組合剛度誤差分析

在模型驗證的基礎(chǔ)上，以DZ Ⅲ型扣件系統(tǒng)為例，分別計算不同現(xiàn)場安裝參數(shù)與鐵墊板設(shè)計參數(shù)下傳統(tǒng)模型與本文理論模型的計算結(jié)果，分析不同鐵墊板設(shè)計參數(shù)與安裝參數(shù)條件下，傳統(tǒng)模型的計算誤差，從而明確傳統(tǒng)模型的適用范圍.

根據(jù)前文分析可知：彈性分開式扣件系統(tǒng)實際安裝狀態(tài)將對板下組合剛度產(chǎn)生較大的影響. 另外，鐵墊板的設(shè)計參數(shù)直接影響鐵墊板的變形狀態(tài)，從而影響板下組合剛度. 因此，主要考慮現(xiàn)場不同安裝參數(shù)（螺栓扭矩）、鐵墊板設(shè)計參數(shù)（鐵墊板厚度、鐵墊板螺栓間距）下的板下組合剛度，設(shè)置計算工況如表3 所示.

表3 計算工況表Tab. 3 Calculation conditions

3.1 不同鐵墊板厚度下的傳統(tǒng)模型誤差分析

不同鐵墊板厚度情況下，傳統(tǒng)模型與理論模型計算所得板下組合剛度如圖9 所示.

由圖9 可知：相同扭矩下傳統(tǒng)模型的計算誤差將隨著鐵墊板厚度的降低而上升. 以扭矩為150 N·m時為例，傳統(tǒng)模型在工況Ⅰ不同鐵墊板厚度下的計算結(jié)果均為61.30 kN/mm，與鐵墊板厚度無關(guān)；而理論模型計算結(jié)果則隨著鐵墊板厚度的降低而降低，對應(yīng)鐵墊板厚度12、15、18、21、24、27 mm，其值分別為54.97、52.36、48.69、43.70、37.55、31.24 kN/mm，二者分別相差10.33%、14.58%、20.57%、28.71%、38.74%、49.03%. 這是由于鐵墊板的厚度降低導致鐵墊板抗彎剛度減小，從而使得荷載作用下鐵墊板不均勻變形增大，與傳統(tǒng)模型中的剛性體假設(shè)差異也越大. 另外，隨著螺栓扭矩的增加，傳統(tǒng)模型的計算誤差也將逐漸增大，且隨著鐵墊板厚度降低，傳統(tǒng)模型計算誤差將被進一步放大. 扭矩分別為150、200、250 N·m，鐵墊板厚度為18 mm 時的傳統(tǒng)模型計算誤差分別為40.27%、59.80%、78.82%；當鐵墊板厚度為12 mm 時，傳統(tǒng)模型與理論模型的計算結(jié)果分別相差96.13%、143.42%、206.51%. 隨著螺栓扭矩的增加，鐵墊板自身非均勻變形程度將增大，因而與傳統(tǒng)模型中鐵墊板均勻受壓的假設(shè)差別越大，疊加降低鐵墊板厚度引起的鐵墊板非均勻變形增大的作用后，傳統(tǒng)模型的計算誤差將被進一步放大. 因此，傳統(tǒng)模型在鐵墊板低厚度、大扭矩的情況將存在較大的設(shè)計誤差，已無法反映實際安裝狀態(tài)下的板下組合剛度.

圖9 不同鐵墊板厚度不同扭矩下的板下組合剛度Fig. 9 Combined stiffness under baseplate with different baseplate thicknesses and torques

3.2 不同錨固螺栓間距下的傳統(tǒng)模型計算誤差分析

在工況Ⅱ的不同螺栓間距時，傳統(tǒng)模型與理論模型計算所得板下組合剛度如圖10 所示.

由圖10 可知：在扭矩不變的情況下，螺栓間距加寬將增加傳統(tǒng)模型的設(shè)計誤差. 以扭矩為150 N·m時為例，傳統(tǒng)模型下的板下組合剛度保持不變，其計算結(jié)果均為61.30 kN/mm；而理論模型計算結(jié)果則隨螺栓扭矩的增大而逐漸減小，對應(yīng)錨固螺栓間距278、328、378、428、478、528 mm 其值分別為43.70、37.74、32.81、28.97、26.01、23.63 kN/mm，傳統(tǒng)模型設(shè)計誤差分別為28.71%、38.43%、46.47%、52.74%、57.56%、61.45%. 這是因為隨著鐵墊板螺栓間距的增大，在螺栓扭矩作用下鐵墊板跨中的變形減小，預壓效果降低，更趨近于無預壓狀態(tài)下的板下組合剛度. 在此基礎(chǔ)上，進一步考慮螺栓扭矩提高的影響后，傳統(tǒng)模型的計算誤差將會進一步被放大，與考慮了鐵墊板變形與板下墊板非線性的理論模型計算結(jié)果相差越大. 對應(yīng)扭矩150、200 、250 N·m，螺栓間距為278 mm 時的傳統(tǒng)模型計算誤差分別為40.27%、59.88%、78.83%；螺栓間距為528 mm 時，傳統(tǒng)模型與理論模型計算結(jié)果分別相差159.38%、240.96%、354.26%. 這也是由于增大螺栓間距將降低螺栓扭矩對鐵墊板中部影響，不同扭矩下鐵墊板中部的預壓狀態(tài)逐漸接近，無法達到傳統(tǒng)模型在對應(yīng)扭矩下的預壓效果. 因此，傳統(tǒng)模型在寬螺栓間距、大扭矩的情況下將存在較大的設(shè)計誤差，無法反映實際安裝狀態(tài)下的板下組合剛度.

圖10 不同螺栓間距不同扭矩的板下組合剛度Fig. 10 Combined stiffness under baseplate with different bolt distances and torques

4 結(jié)論和建議

為明確彈性分開式扣件系統(tǒng)板下組合剛度傳統(tǒng)設(shè)計方法的設(shè)計誤差，提高板下組合剛度的設(shè)計精度，建立了基于非線性彈性支承地基梁的板下組合剛度理論分析模型，分析了不同設(shè)計參數(shù)下傳統(tǒng)模型的設(shè)計誤差. 本文主要研究結(jié)論如下：

1） 傳統(tǒng)模型無法考慮鐵墊板變形與板下墊板非線性彈性對板下組合剛度的影響，導致彈性分開式扣件系統(tǒng)現(xiàn)場組裝剛度與設(shè)計結(jié)果嚴重不符. 在彈性分開式扣件系統(tǒng)的正常安裝扭矩范圍內(nèi)，傳統(tǒng)模型的計算誤差可達94.27%，已無法滿足工程設(shè)計的需要.

2） 本文提出的基于非線性彈性地基梁模型的板下組合剛度理論計算方法可準確反映鐵墊板在真實荷載作用下的變形特征與真實的板下組合剛度.與實測結(jié)果相比，所提理論模型在考慮不同扭矩下的板下組合剛度與實測結(jié)果最大相差2.91%，小于工程中5.00%的誤差范圍要求.

3） 當鐵墊板厚度較小或螺栓間距較大時，鐵墊板在錨固螺栓緊固扭矩與列車荷載作用下的變形將與傳統(tǒng)模型中的剛性體假設(shè)相差更大，傳統(tǒng)模型的計算誤差將進一步被放大.

致謝：中鐵二院鐵路扣件系統(tǒng)關(guān)鍵技術(shù)創(chuàng)新研究（KYY2018108）支持.