面向目標(biāo)跟蹤的機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)與航跡規(guī)劃聯(lián)合優(yōu)化算法

時(shí)晨光 王奕杰 代向榮 周建江

(南京航空航天大學(xué)雷達(dá)成像與微波光子技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室 南京 210016)

1 引言

當(dāng)今空戰(zhàn)正逐步由信息化向智能化過渡，并呈現(xiàn)出體系博弈對(duì)抗的發(fā)展趨勢(shì)。電磁頻譜環(huán)境的復(fù)雜性、時(shí)變性與難以預(yù)測(cè)性、非合作目標(biāo)的多樣性、運(yùn)動(dòng)的復(fù)雜性與作戰(zhàn)使用的靈活性，給單平臺(tái)雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)提出了嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。通過多雷達(dá)協(xié)同組網(wǎng)能夠顯著提高目標(biāo)探測(cè)跟蹤能力、電磁對(duì)抗能力與戰(zhàn)場(chǎng)生存能力，已成為國(guó)內(nèi)外學(xué)者和研究人員的共識(shí)。機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)是基于“網(wǎng)絡(luò)賦能”思想，將多部不同體制、不同頻段、不同工作模式的機(jī)載雷達(dá)分散部署，借助機(jī)間通信鏈路，將多部機(jī)載雷達(dá)獲得的目標(biāo)信息進(jìn)行融合處理，由融合中心統(tǒng)一指揮而構(gòu)成的有機(jī)整體[1,2]，是分布式作戰(zhàn)、馬賽克戰(zhàn)等先進(jìn)作戰(zhàn)理論的重要抓手。機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)在空間上可以是廣域分布或近距離短基線分布，能夠利用空間分集、信號(hào)分集、極化分集等優(yōu)勢(shì)有效對(duì)抗復(fù)雜電磁頻譜環(huán)境，提高系統(tǒng)的整體作戰(zhàn)性能。

組網(wǎng)雷達(dá)作為一種新體制雷達(dá)，在目標(biāo)檢測(cè)、跟蹤、識(shí)別等諸多場(chǎng)景中均具有潛在優(yōu)勢(shì)，受到了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的關(guān)注。射頻資源管理和發(fā)射波形選擇對(duì)于組網(wǎng)雷達(dá)而言至關(guān)重要，通過優(yōu)化輻射采樣間隔、駐留時(shí)間、輻射功率、信號(hào)脈沖寬度和信號(hào)帶寬等射頻參數(shù)，能夠有效提升雷達(dá)系統(tǒng)性能。2018年，Cheng等人[3]在目標(biāo)協(xié)同跟蹤場(chǎng)景，提出了基于共址多輸入多輸出(Multiple-Input Multiple-Output,MIMO)雷達(dá)的自適應(yīng)資源管理算法，通過聯(lián)合優(yōu)化系統(tǒng)的子陣數(shù)、照射目標(biāo)集和發(fā)射波形，同時(shí)降低目標(biāo)跟蹤誤差和系統(tǒng)輻射資源消耗。2019年，張浩為等人[4]在目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景下，將自適應(yīng)勻速模型與平方根容積卡爾曼濾波相結(jié)合，通過調(diào)整過程狀態(tài)噪聲與濾波器輸出的狀態(tài)協(xié)方差矩陣相似，實(shí)現(xiàn)了發(fā)射信號(hào)波形的自適應(yīng)調(diào)整，從而進(jìn)一步提升了目標(biāo)跟蹤精度。2020年，文獻(xiàn)[5]提出了一種非理想檢測(cè)環(huán)境下多基雷達(dá)系統(tǒng)多目標(biāo)跟蹤功率分配算法，推導(dǎo)了非理想檢測(cè)環(huán)境下目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)的后驗(yàn)克拉默-拉奧下界(Posterior Cramér-Rao Lower Bound,PCRLB)解析表達(dá)式，并采用了基于Zoutendijk可行方向法的兩步分解算法對(duì)該優(yōu)化問題進(jìn)行求解。仿真結(jié)果表明，與現(xiàn)有算法相比，所提算法能夠有效提升非理想環(huán)境下多基雷達(dá)的目標(biāo)跟蹤能力和資源利用率。同年，文獻(xiàn)[6]研究了共址MIMO雷達(dá)時(shí)空資源分配和波形選擇優(yōu)化聯(lián)合問題，通過同時(shí)最小化系統(tǒng)資源消耗和目標(biāo)跟蹤誤差，在保證有效目標(biāo)檢測(cè)的約束條件下，對(duì)雷達(dá)采樣周期、子陣數(shù)、照射目標(biāo)、輻射能量和發(fā)射波形等參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)優(yōu)化選擇，從而提升系統(tǒng)性能。2021年，文獻(xiàn)[7]提出了共址MIMO雷達(dá)穩(wěn)健功率分配算法，采用所有目標(biāo)效用函數(shù)的加權(quán)和作為優(yōu)化目標(biāo)，解決了傳統(tǒng)資源管理方法中雷達(dá)總輻射功率消耗無法滿足給定多目標(biāo)跟蹤性能要求的問題。

機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)系統(tǒng)工作性能不僅受各雷達(dá)輻射參數(shù)的影響，還高度依賴各機(jī)載雷達(dá)的空間位置。在實(shí)際作戰(zhàn)中，采用合理的航跡規(guī)劃策略，能夠有效提升機(jī)載系統(tǒng)的作戰(zhàn)效能。文獻(xiàn)[8]針對(duì)一個(gè)共用固定雷達(dá)發(fā)射機(jī)和多個(gè)機(jī)動(dòng)雷達(dá)接收機(jī)構(gòu)成的多基地雷達(dá)系統(tǒng)，在單目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景下，提出了一種雷達(dá)發(fā)射波形和接收機(jī)路徑聯(lián)合優(yōu)化算法，通過最小化目標(biāo)跟蹤誤差，對(duì)雷達(dá)發(fā)射波形和接收機(jī)飛行路徑進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而提升了多基地雷達(dá)系統(tǒng)的目標(biāo)跟蹤性能。2019年，孟令同[9]提出了機(jī)載相控陣?yán)走_(dá)飛行路徑和功率聯(lián)合管控算法，以最差情況下的目標(biāo)跟蹤克拉默-拉奧下界(Cramér-Rao Lower Bound,CRLB)為優(yōu)化目標(biāo)，以載機(jī)機(jī)動(dòng)限制和系統(tǒng)輻射功率限制為約束條件，對(duì)平臺(tái)飛行路徑和雷達(dá)輻射功率進(jìn)行聯(lián)合動(dòng)態(tài)優(yōu)化。仿真結(jié)果表明，相比于均勻功率分配下的飛行路徑優(yōu)化策略，所提算法獲得了更優(yōu)的目標(biāo)跟蹤性能。2020年，Dasdemir等人[10]以總飛行距離和雷達(dá)檢測(cè)威脅最為優(yōu)化目標(biāo)，采用一般偏好的多目標(biāo)進(jìn)化算法進(jìn)行求解，并通過決策者偏好確定最終最優(yōu)解，解決了雷達(dá)檢測(cè)威脅下的無人機(jī)路徑規(guī)劃問題。同年，張哲等人[11]提出了一種基于改進(jìn)A-star算法的隱身無人機(jī)突防航跡規(guī)劃算法，在傳統(tǒng)A-star算法的基礎(chǔ)上，將雷達(dá)探測(cè)概率和無人機(jī)RCS與啟發(fā)函數(shù)相結(jié)合，考慮了規(guī)劃航跡下的無人機(jī)隱身性能。仿真結(jié)果表明，改進(jìn)A-star算法能夠快速生成更優(yōu)的隱身突防航跡，具有一定的應(yīng)用價(jià)值和現(xiàn)實(shí)意義。2021年，文獻(xiàn)[12]提出了多目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景下的機(jī)載雷達(dá)飛行路徑和輻射資源聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)算法，以目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)估計(jì)的PCRLB為優(yōu)化目標(biāo)，在滿足雷達(dá)資源約束條件下，聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)飛行路徑和輻射資源，從而有效提升了機(jī)載雷達(dá)目標(biāo)跟蹤性能。魏永超等人[13]提出了基于改進(jìn)細(xì)菌覓食優(yōu)化算法的無人機(jī)路徑規(guī)劃算法，以路徑最短約束、飛行高度約束和轉(zhuǎn)彎角約束的加權(quán)和為目標(biāo)，采用改進(jìn)細(xì)菌覓食優(yōu)化算法迭代獲得最優(yōu)路徑。所提算法將固定步長(zhǎng)改為自適應(yīng)步長(zhǎng)，將固定遷徙概率改為自適應(yīng)遷徙概率，解決了現(xiàn)有的無人機(jī)航跡規(guī)劃方法收斂速度慢、效率低等問題。同年，廖文旭[14]考慮了多威脅環(huán)境對(duì)無人機(jī)航跡規(guī)劃的影響，提出了基于Dijkstra的改進(jìn)航跡規(guī)劃算法，以已知威脅和燃油代價(jià)作為多目標(biāo)代價(jià)約束，解決了無人機(jī)單機(jī)偵察任務(wù)的靜態(tài)規(guī)劃問題。

然而，近年來，大量先進(jìn)無源探測(cè)系統(tǒng)和無源探測(cè)模式被廣泛應(yīng)用于現(xiàn)代戰(zhàn)爭(zhēng)中。無源探測(cè)系統(tǒng)自身不輻射電磁波，而是通過截獲有源電子設(shè)備輻射的電磁波來獲取對(duì)方武器平臺(tái)的位置信息，具有探測(cè)距離遠(yuǎn)、隱蔽性好等特點(diǎn)，對(duì)機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的戰(zhàn)場(chǎng)生存和突防造成了極大威脅。雷達(dá)射頻隱身技術(shù)作為一種不可或缺的有源隱身技術(shù)，是對(duì)抗敵方無源探測(cè)系統(tǒng)、保障己方戰(zhàn)斗機(jī)安全并獲取戰(zhàn)斗先機(jī)的重要手段，其主要原理是在保證系統(tǒng)性能和作戰(zhàn)任務(wù)的情況下，最大限度地降低雷達(dá)射頻輻射特征，從而減小被敵方探測(cè)系統(tǒng)截獲的概率[15,16]。2018年，Yan等人[17]在多目標(biāo)定位場(chǎng)景下，提出了基于機(jī)會(huì)約束的共址MIMO雷達(dá)穩(wěn)健功率分配算法，以最小化系統(tǒng)總發(fā)射功率作為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)各波束發(fā)射功率進(jìn)行自適應(yīng)優(yōu)化分配，從而解決了目標(biāo)雷達(dá)散射截面(Radar Cross Section,RCS)不確定場(chǎng)景下的功率分配問題。同年，文獻(xiàn)[18]針對(duì)由一部雷達(dá)發(fā)射機(jī)和多部雷達(dá)接收機(jī)構(gòu)成的多基地組網(wǎng)雷達(dá)，研究了基于射頻隱身的多基地組網(wǎng)雷達(dá)輻射資源控制問題，以最小化多基地組網(wǎng)雷達(dá)被截獲概率為優(yōu)化目標(biāo)，在滿足目標(biāo)跟蹤誤差和系統(tǒng)資源約束條件下，對(duì)雷達(dá)發(fā)射機(jī)采樣間隔、發(fā)射功率和駐留時(shí)間進(jìn)行優(yōu)化，從而提升了系統(tǒng)射頻隱身能力。2019年，Dai等人[19]在多目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景下，提出了相控陣?yán)走_(dá)(Phased Array Radar,PAR)最優(yōu)資源分配算法，在滿足給定目標(biāo)跟蹤精度的條件下，最小化PAR的總資源消耗。仿真結(jié)果表明，該算法能夠有效降低PAR的駐留時(shí)間。同年，賴作鎂等人[20]建立了多拍連續(xù)引導(dǎo)信息與累積被截獲概率和被探測(cè)概率之間的函數(shù)關(guān)系，提出了一種基于馬爾可夫決策過程的多傳感器協(xié)同輻射控制算法，實(shí)現(xiàn)了不同作戰(zhàn)任務(wù)性能約束下的機(jī)載雷達(dá)射頻隱身性能優(yōu)化。2020年，Ghoreishian等人[21]研究了多基地MIMO雷達(dá)功率分配問題，以最小化雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的被截獲概率為優(yōu)化目標(biāo)，分別建立了正交頻率分集和相位編碼兩種發(fā)射波形情況下基于射頻隱身的功率分配模型，并用凸優(yōu)化算法求解上述模型，從而降低了多基地MIMO雷達(dá)的被截獲概率。2021年，文獻(xiàn)[22]研究了多目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景下的雷達(dá)射頻隱身問題，建立了組網(wǎng)雷達(dá)射頻輻射資源優(yōu)化分配模型，對(duì)雷達(dá)駐留時(shí)間、輻射功率和節(jié)點(diǎn)分配方式等參數(shù)進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)，降低了組網(wǎng)雷達(dá)的輻射資源消耗，從而提升其射頻隱身性能。

綜上所述，上述研究成果為提升機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的綜合作戰(zhàn)效能奠定了堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。然而，已有研究并未考慮目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景下將機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)與平臺(tái)航跡規(guī)劃進(jìn)行聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)，這對(duì)于提升我方雷達(dá)探測(cè)系統(tǒng)的射頻隱身性能、戰(zhàn)場(chǎng)生存能力及其在對(duì)抗敵方先進(jìn)無源探測(cè)系統(tǒng)和無源探測(cè)模式時(shí)的效益，具有重要意義。因此，本文圍繞目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景下組網(wǎng)雷達(dá)輻射資源管理、雷達(dá)射頻輻射參數(shù)控制、飛行器航跡規(guī)劃等領(lǐng)域，研究了面向目標(biāo)跟蹤的機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)與航跡規(guī)劃聯(lián)合優(yōu)化問題。首先，針對(duì)機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)，在單目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景下，建立了面向目標(biāo)跟蹤的機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)與航跡規(guī)劃聯(lián)合優(yōu)化模型，以最小化機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)貝葉斯克拉默-拉奧下界(Bayesian Cramér-Rao Lower Bound,BCRLB)為優(yōu)化目標(biāo)，以滿足機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)射頻資源、載機(jī)動(dòng)力學(xué)限制和預(yù)先設(shè)定的被截獲概率閾值為約束條件，通過聯(lián)合優(yōu)化各載機(jī)飛行速度、朝向角等平臺(tái)運(yùn)動(dòng)參數(shù)以及各雷達(dá)輻射功率、駐留時(shí)間、發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度、信號(hào)帶寬等射頻輻射參數(shù)，提升機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的目標(biāo)跟蹤精度。仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的可行性和有效性。

2 系統(tǒng)模型

2.1 目標(biāo)運(yùn)動(dòng)模型

其中，F(xiàn)為目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；WN為零均值高斯白噪聲，其協(xié)方差矩陣Q為

其中，T為雷達(dá)采樣間隔；為過程噪聲強(qiáng)度。

本文采用交互式多模型擴(kuò)展卡爾曼濾波(Interacting Multiple Model-Extended Kalman Filter,IMM-EKF)算法對(duì)單目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。假設(shè)目標(biāo)有3種運(yùn)動(dòng)模型，分別為勻速運(yùn)動(dòng)模型、正角速度轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)模型和負(fù)角速度轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)模型，其各自對(duì)應(yīng)的目標(biāo)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣分別表示為

(1) 勻速運(yùn)動(dòng)模型

(2) 正角速度轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)模型

其中，ω表示轉(zhuǎn)彎因子，且ω＞0。

(3) 負(fù)角速度轉(zhuǎn)彎運(yùn)動(dòng)模型

2.2 載機(jī)運(yùn)動(dòng)模型

為了保證載機(jī)航跡平滑，假設(shè)載機(jī)在相鄰兩個(gè)時(shí)刻間是做勻速直線運(yùn)動(dòng)、勻加/減速直線運(yùn)動(dòng)或勻加/減速曲線運(yùn)動(dòng)，即在k-1 時(shí) 刻到k時(shí)刻之間，載機(jī)的加速度保持不變。如圖1所示，定義k時(shí)刻第n部載機(jī)的朝向角θn,k為 載機(jī)飛行朝向與X軸的夾角。已知k-1時(shí) 刻第n部載機(jī)飛行速度vn,k-1和朝向角θn,k-1以 及k時(shí)刻的飛行速度vn,k和朝向角θn,k，則在k-1時(shí) 刻到k時(shí)刻之間，第n部載機(jī)的加速度an,k-1可以表示為

圖1 載機(jī)運(yùn)動(dòng)模型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the movement model of the carrier aircraft

其中，ax,n,k-1為 第n部載機(jī)沿X軸方向的加速度；ay,n,k-1為第n部載機(jī)沿Y軸方向的加速度。

在k-1時(shí) 刻到k時(shí)刻之間，第n部載機(jī)沿X軸方向飛行的路程Δxn,k-1和 沿Y軸方向飛行的路程Δyn,k-1可分別表示為

結(jié)合k-1時(shí)刻第n部載機(jī)的位置[xn,k-1,yn,k-1]，可得k時(shí)刻第n部載機(jī)的位置[xn,k,yn,k]為

值得注意的是，在已知k-1時(shí) 刻第n部載機(jī)飛行速度vn,k-1和朝向角θn,k-1的 情況下，k-1時(shí)刻到k時(shí)刻之間第n部載機(jī)的航跡可由k時(shí)刻的飛行速度vn,k和朝向角θn,k確定。因此，優(yōu)化k-1時(shí)刻到k時(shí)刻之間的載機(jī)航跡就可以等效為優(yōu)化k時(shí)刻載機(jī)的飛行速度vn,k和朝向角θn,k。

2.3 量測(cè)模型

為簡(jiǎn)化起見，假設(shè)每部機(jī)載雷達(dá)只能接收自身發(fā)射信號(hào)的目標(biāo)回波，且所有機(jī)載雷達(dá)均從回波信號(hào)中提取目標(biāo)的時(shí)延、多普勒頻移和方位角信息。于是，k時(shí)刻第n部機(jī)載雷達(dá)對(duì)目標(biāo)的量測(cè)方程可以表示為[23]

其中，Pt,n,k為k時(shí)刻第n部機(jī)載雷達(dá)輻射功率；Td,n,k為k時(shí)刻第n部機(jī)載雷達(dá)駐留時(shí)間；Gt為機(jī)載雷達(dá)發(fā)射天線增益；Gr為機(jī)載雷達(dá)接收天線增益；σ為目標(biāo)RCS；λt為機(jī)載雷達(dá)發(fā)射信號(hào)波長(zhǎng)；GRP為機(jī)載雷達(dá)接收機(jī)處理增益；Tr為雷達(dá)脈沖重復(fù)周期；kB為 玻爾茲曼常數(shù)；T0為 雷達(dá)接收機(jī)噪聲溫度；Br為雷達(dá)接收機(jī)匹配濾波器帶寬；Fr為雷達(dá)接收機(jī)噪聲系數(shù)；Rn,k為k時(shí)刻目標(biāo)與第n部機(jī)載雷達(dá)的距離。

3 機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)與航跡規(guī)劃聯(lián)合優(yōu)化算法

3.1 目標(biāo)跟蹤精度衡量指標(biāo)

從雷達(dá)輻射資源控制角度出發(fā)，增加雷達(dá)對(duì)目標(biāo)照射的輻射資源，能夠提高目標(biāo)回波信噪比，從而改善目標(biāo)跟蹤性能。從航跡規(guī)劃角度出發(fā)，規(guī)劃合理的航跡有利于降低雷達(dá)與目標(biāo)之間的距離，并從合適的方位角對(duì)目標(biāo)進(jìn)行照射，可以進(jìn)一步提升目標(biāo)跟蹤精度。因此，在建立優(yōu)化模型之前，需要推導(dǎo)表征目標(biāo)精度衡量指標(biāo)的解析表達(dá)式。在參數(shù)無偏估計(jì)的條件下，BCRLB表示均方誤差的下界，可以用來衡量機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的目標(biāo)跟蹤精度[26-28]。由于量測(cè)方程的非線性特征，目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的BCRLB解析表達(dá)式可近似為

3.2 射頻隱身性能衡量指標(biāo)

截獲接收機(jī)對(duì)雷達(dá)信號(hào)的截獲概率可用于衡量雷達(dá)的射頻隱身性能。在考慮實(shí)際戰(zhàn)場(chǎng)對(duì)抗環(huán)境下，假設(shè)目標(biāo)自身搭載截獲接收機(jī)，并可覆蓋機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的工作頻段。本文討論的雷達(dá)被截獲概率是指被跟蹤目標(biāo)上搭載的截獲接收機(jī)對(duì)雷達(dá)發(fā)射信號(hào)的前端截獲概率，即[29,30]

其中，e rfc(·)為 互補(bǔ)誤差函數(shù)；GIP為截獲接收機(jī)處理增益；T0是 截獲接收機(jī)噪聲溫度；BI為截獲接收機(jī)帶寬；FI為截獲接收機(jī)噪聲系數(shù)。在給定雷達(dá)發(fā)射機(jī)輻射功率和駐留時(shí)間的條件下，k-1時(shí)刻第n部機(jī)載雷達(dá)的被截獲概率預(yù)測(cè)值可以表示為

其中，Rt,k|k-1為k-1時(shí) 刻目標(biāo)與第n部機(jī)載雷達(dá)之間的距離。

3.3 優(yōu)化模型建立

本文提出了一種面向目標(biāo)跟蹤的機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)與航跡規(guī)劃聯(lián)合優(yōu)化算法，通過聯(lián)合優(yōu)化各載機(jī)飛行速度、朝向角等平臺(tái)運(yùn)動(dòng)參數(shù)以及各機(jī)載雷達(dá)輻射功率、駐留時(shí)間、發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度和信號(hào)帶寬等射頻輻射參數(shù)，在滿足給定系統(tǒng)射頻資源、載機(jī)機(jī)動(dòng)能力和射頻隱身性能約束的條件下，最小化機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的目標(biāo)跟蹤誤差，可建立如下優(yōu)化模型

3.4 優(yōu)化模型求解

優(yōu)化模型(21)為含有6個(gè)變量的非凸、非線性、高維優(yōu)化問題。雖然傳統(tǒng)智能算法，如粒子群算法、遺傳算法、模擬退火算法等[31,32]均可用于求解上述優(yōu)化問題，但優(yōu)化參數(shù)間存在耦合，極其容易陷入局部最優(yōu)解，不利于算法收斂，且求解時(shí)間復(fù)雜度過高。為此，本文結(jié)合循環(huán)最小法和粒子群算法，提出了一種5步分解迭代方法，對(duì)機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)與航跡進(jìn)行自適應(yīng)聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)，具體求解步驟如下：

步驟1 固定各機(jī)載雷達(dá)發(fā)射波形參數(shù)Wk=和λk=，則優(yōu)化模型(21)可以簡(jiǎn)化為

步驟2 由于優(yōu)化模型(22)仍然是非凸、非線性優(yōu)化問題，目標(biāo)函數(shù)還受到機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射功率Pt,k、駐留時(shí)間Td,k和 各載機(jī)飛行參數(shù)vk,θk的影響，直接采用粒子群算法進(jìn)行求解容易得到局部最優(yōu)解，且收斂速度慢，求解效果不佳。因此，在步驟2中建立機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的輻射功率Pt,k、駐留時(shí)間Td,k和 各載機(jī)的飛行參數(shù)vk,θk之間的函數(shù)關(guān)系，極大地減少了粒子群算法中粒子變量維度，即省略了機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射功率和駐留時(shí)間的維度，加快了粒子群算法的收斂速度。

值得注意的是，當(dāng)機(jī)載雷達(dá)的駐留時(shí)間取最小值時(shí)，其輻射功率可能會(huì)超過自身輻射功率的上限。于是，在滿足第n部機(jī)載雷達(dá)輻射功率約束的條件下，其輻射功率可以表示為

由于第n部機(jī)載雷達(dá)輸出信噪比與駐留時(shí)間和輻射功率的乘積成正比，因此，求其最大輸出信噪比就等價(jià)為求駐留時(shí)間和輻射功率乘積的最大值，即

步驟3 采用粒子群算法對(duì)優(yōu)化模型(23)進(jìn)行求解，在固定機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)發(fā)射信號(hào)波形參數(shù)Wk,λk的 條件下，得到各載機(jī)飛行參數(shù)優(yōu)化結(jié)果vk,opt,θk,opt和機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Pt,k,opt,Td,k,opt。

在循環(huán)迭代過程中，每個(gè)粒子都代表一種潛在可行解，根據(jù)全局最優(yōu)粒子和個(gè)體最優(yōu)粒子的位置，不斷調(diào)整粒子的速度和位置

具體步驟如表1所示。

表1 粒子群算法求解模型(23)Tab.1 Particle swarm algorithm to solve the model (23)

步驟4 固定步驟3獲得的各載機(jī)飛行參數(shù)優(yōu)化結(jié)果vk,opt,θk,opt和機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Pt,k,opt,Td,k,opt，則優(yōu)化模型(21)可以進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

值得注意的是，優(yōu)化模型(29)同樣可以通過粒子群算法進(jìn)行求解。

步驟5 跳轉(zhuǎn)到步驟3，直到連續(xù)兩次得到的目標(biāo)函數(shù)之差小于一個(gè)固定值ε，即可得到k時(shí)刻各載機(jī)飛行參數(shù)優(yōu)化結(jié)果vk,opt,θk,opt以及機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)優(yōu)化結(jié)果Pt,k,opt,Td,k,opt,Wk,opt,λk,opt，即

4 仿真結(jié)果及分析

為了驗(yàn)證面向目標(biāo)跟蹤的機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)與航跡規(guī)劃聯(lián)合優(yōu)化算法的有效性，本節(jié)進(jìn)行如下仿真：假設(shè)機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)系統(tǒng)由N=4部機(jī)載雷達(dá)組成，各部機(jī)載雷達(dá)的系統(tǒng)參數(shù)均相同，重訪時(shí)間間隔為T=1 s，跟蹤過程持續(xù)時(shí)間為Mtot=80 s，用于算法結(jié)束循環(huán)的固定值設(shè)置為ε=0.1。其中，機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)和截獲接收機(jī)仿真參數(shù)設(shè)置分別如表2和表3所示。

表2 機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)參數(shù)設(shè)置Tab.2 Parameter setting of airborne radar network

表3 截獲接收機(jī)參數(shù)設(shè)置Tab.3 Parameter setting of intercept receiver

在仿真場(chǎng)景中，機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如表4所示，被截獲概率閾值設(shè)定為pth=0.0003。機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景如圖2所示。機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的飛行速度和朝向角優(yōu)化結(jié)果分別如圖3和圖4所示。從圖中可以看出，各載機(jī)能夠根據(jù)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)自適應(yīng)地調(diào)節(jié)飛行速度和朝向角，且呈現(xiàn)出距離目標(biāo)越來越近的趨勢(shì)。圖5和圖6分別示出了各部機(jī)載雷達(dá)的輻射功率和駐留時(shí)間優(yōu)化結(jié)果。從圖中可以看出，各部機(jī)載雷達(dá)能夠根據(jù)目標(biāo)實(shí)時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，自適應(yīng)地選擇最小功率策略或最小駐留時(shí)間策略對(duì)目標(biāo)進(jìn)行照射，從而在滿足機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)射頻隱身性能要求的條件下，提升系統(tǒng)的目標(biāo)跟蹤精度。圖7和圖8分別給出了各部機(jī)載雷達(dá)發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度和信號(hào)帶寬優(yōu)化結(jié)果。從圖中可以看出，各部機(jī)載雷達(dá)發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度和信號(hào)帶寬均隨著目標(biāo)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的變化而自適應(yīng)地進(jìn)行調(diào)整，以最大限度地降低目標(biāo)跟蹤誤差，從而提升了機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的目標(biāo)跟蹤性能。

圖2 目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景Fig.2 Target tracking scene

圖3 飛行速度優(yōu)化結(jié)果Fig.3 Flight speed optimization results

圖4 飛行朝向角優(yōu)化結(jié)果Fig.4 Flight heading angle optimization results

圖5 輻射功率優(yōu)化結(jié)果Fig.5 Transmit power optimization results

圖6 駐留時(shí)間優(yōu)化結(jié)果Fig.6 Dwell time optimization results

圖7 發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度優(yōu)化結(jié)果Fig.7 Transmit signal Gaussian pulse length optimization results

圖8 發(fā)射信號(hào)帶寬優(yōu)化結(jié)果Fig.8 Transmit signal bandwidth optimization results

表4 機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)初始狀態(tài)Tab.4 The initial state of airborne radar network

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文算法的優(yōu)越性，將所提算法的目標(biāo)跟蹤精度與以下4種算法進(jìn)行比較：

(1) 機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射資源和波形參數(shù)聯(lián)合優(yōu)化算法(Fixed Path Planning and Optimal Transmit Resource Scheduling,FPP-OTRS)：固定各載機(jī)飛行速度和朝向角，僅優(yōu)化各機(jī)載雷達(dá)輻射功率、駐留時(shí)間、發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度和信號(hào)帶寬。

(2) 機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射資源和航跡規(guī)劃聯(lián)合優(yōu)化算法(Cooperative Online Path Planning and Transmit Parameter Optimization,COPP-TPO)：固定各機(jī)載雷達(dá)發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度和信號(hào)帶寬，僅優(yōu)化各載機(jī)飛行速度、朝向角以及各機(jī)載雷達(dá)輻射功率、駐留時(shí)間。

(3) 機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)發(fā)射波形和航跡規(guī)劃聯(lián)合優(yōu)化算法(Cooperative Online Path Planning and Waveform Parameter Selection,COPP-WPS)：固定各機(jī)載雷達(dá)輻射功率和駐留時(shí)間，只優(yōu)化各載機(jī)的飛行速度、朝向角以及各機(jī)載雷達(dá)發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度、信號(hào)帶寬。

(4) 機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)航跡規(guī)劃算法(Online Path Planning and Fixed Transmit Resource Scheduling,OPP-FTRS)：固定各機(jī)載雷達(dá)輻射功率、駐留時(shí)間、發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度和信號(hào)帶寬，只優(yōu)化各載機(jī)飛行速度和朝向角。

定義k時(shí)刻目標(biāo)跟蹤的均方根誤差(Root Mean Square Error,RMSE)和平均均方根誤差(Average Root Mean Square Error,ARMSE)分別為

其中，MC為蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)次數(shù)；Mtot為跟蹤過程持續(xù)時(shí)間；為第n次蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)時(shí)得到的目標(biāo)位置估計(jì)。

圖9示出了本文所提算法和上述4種算法的ARMSE對(duì)比圖。由于FPP-OTRS算法未優(yōu)化各載機(jī)飛行航跡，其所得目標(biāo)跟蹤性能劣于本文所提算法，從而說明了航跡規(guī)劃能夠有效提升目標(biāo)跟蹤精度；由于COPP-TPO算法未優(yōu)化各雷達(dá)發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度和信號(hào)帶寬，目標(biāo)跟蹤性能略差于本文所提算法。由此可見，雷達(dá)發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度和信號(hào)帶寬對(duì)于提升目標(biāo)跟蹤精度具有一定影響。由于COPP-WPS算法未優(yōu)化各機(jī)載雷達(dá)輻射功率和駐留時(shí)間，其目標(biāo)跟蹤性能并不理想，這說明雷達(dá)輻射功率和駐留時(shí)間對(duì)于目標(biāo)跟蹤性能具有較大影響。總的來說，本文所提算法能夠在滿足預(yù)先設(shè)定的機(jī)載雷達(dá)射頻隱身性能要求的條件下，通過聯(lián)合優(yōu)化設(shè)計(jì)各載機(jī)飛行速度、朝向角等平臺(tái)運(yùn)動(dòng)參數(shù)和各部機(jī)載雷達(dá)輻射功率、駐留時(shí)間、發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度和信號(hào)帶寬等射頻輻射參數(shù)，獲得相比于其他4種算法更優(yōu)越的目標(biāo)跟蹤精度。

圖9 ARMSE對(duì)比結(jié)果Fig.9 Comparison results of ARMSE

為了進(jìn)一步探究被截獲概率閾值對(duì)優(yōu)化結(jié)果的影響，圖10給出了不同被截獲概率閾值下目標(biāo)跟蹤RMSE對(duì)比。從仿真結(jié)果可以看出，隨著被截獲概率閾值的增加，機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的目標(biāo)跟蹤RMSE逐漸減小。這是由于被截獲概率在某種程度上約束了機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射功率和駐留時(shí)間，給定的被截獲概率閾值越大，機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)能夠獲得的輻射功率和時(shí)間資源就越多，機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的接收信噪比也越大，從而得到更優(yōu)的目標(biāo)跟蹤精度。

圖10 不同被截獲概率閾值的RMSE對(duì)比結(jié)果Fig.10 Comparison results of RMSE with different intercept probability thresholds

5 結(jié)語

本文考慮了航跡規(guī)劃對(duì)機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)目標(biāo)跟蹤精度的影響，提出了一種面向目標(biāo)跟蹤的機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)與航跡規(guī)劃聯(lián)合優(yōu)化算法。針對(duì)機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)，在單目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景下，以最小化目標(biāo)跟蹤誤差作為優(yōu)化目標(biāo)，以滿足機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)射頻資源、載機(jī)動(dòng)力學(xué)限制和預(yù)先設(shè)定的被截獲概率閾值為約束條件，通過聯(lián)合優(yōu)化各載機(jī)飛行速度、朝向角等平臺(tái)運(yùn)動(dòng)參數(shù)以及各雷達(dá)輻射功率、駐留時(shí)間、發(fā)射信號(hào)高斯脈沖長(zhǎng)度、信號(hào)帶寬等射頻輻射參數(shù)，提升了機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)的目標(biāo)跟蹤性能。仿真結(jié)果表明，本文所提算法能夠在滿足各部機(jī)載雷達(dá)射頻隱身性能的條件下，有效提高目標(biāo)跟蹤精度。另外，給定的被截獲概率閾值越高，機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)可獲得的射頻輻射資源就越多，目標(biāo)跟蹤精度也就越高。在實(shí)際戰(zhàn)場(chǎng)中，可根據(jù)具體威脅環(huán)境設(shè)定被截獲概率閾值，從而獲得滿足作戰(zhàn)任務(wù)要求的目標(biāo)跟蹤精度。下一步將圍繞多目標(biāo)跟蹤場(chǎng)景下機(jī)載組網(wǎng)雷達(dá)輻射參數(shù)與航跡規(guī)劃聯(lián)合優(yōu)化問題進(jìn)行研究。

附錄

其中，Z表示先驗(yàn)信息費(fèi)希爾矩陣；Vn表示k時(shí)刻第n部雷達(dá)的數(shù)據(jù)費(fèi)希爾矩陣。隨后，對(duì)式(A-2)進(jìn)一步推導(dǎo)，可以得到