基于數(shù)字巖心的裂縫性碳酸鹽巖儲層電性數(shù)值模擬

聶昕，李秉科，張杰，張超謨，張占松

1.油氣資源與勘探技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(長江大學(xué))，湖北 武漢 430100 2.長江大學(xué)地球物理與石油資源學(xué)院，湖北 武漢 430100 3.儲層微觀結(jié)構(gòu)演化及數(shù)字表征實(shí)驗(yàn)室(長江大學(xué))， 湖北 武漢 430100

碳酸鹽巖儲層貢獻(xiàn)了全球超過50%的儲量[1]。但是，由于碳酸鹽巖非均質(zhì)性較強(qiáng)，裂縫溶洞等次生孔隙空間發(fā)育，其儲層評價是研究難點(diǎn)。儲層巖石電性資料在儲層評價、測井解釋以及儲量預(yù)測中均具有重要作用[2]。導(dǎo)電特性研究主要包括巖石物理實(shí)驗(yàn)和基于數(shù)字巖心的技術(shù)。巖石物理實(shí)驗(yàn)費(fèi)用高、周期長，且裂縫性碳酸鹽巖的原生孔隙度很小，油氣的儲集能力很差，主要的儲集空間是經(jīng)過改造后的次生裂縫孔隙，其與碎屑巖相比孔隙結(jié)構(gòu)更加復(fù)雜，各向異性突出，很難獲取不同裂縫特征的代表性巖心，而數(shù)字巖心技術(shù)則可以避免上述問題[3]。

數(shù)字巖心技術(shù)是通過構(gòu)建三維數(shù)字巖心模型，并且利用數(shù)值模擬手段對目標(biāo)巖石的物理性質(zhì)進(jìn)行有效模擬的方法[4-6]。利用數(shù)字巖心進(jìn)行巖石導(dǎo)電特性的數(shù)值模擬有基爾霍夫節(jié)點(diǎn)電壓法[7]、格子玻爾茲曼法[8-10]和有限元法[11, 12]。針對碳酸鹽巖數(shù)字巖心的建模，也已經(jīng)開展了大量研究[13-15]。筆者在綜合前人研究的基礎(chǔ)上，基于現(xiàn)有的碳酸鹽巖X-CT掃描三維圖像，利用分形布朗運(yùn)動模型建立了具有不同裂縫形態(tài)的碳酸鹽巖儲層巖石模型，并利用數(shù)學(xué)形態(tài)法建立了不同含油飽和度的模型。在此基礎(chǔ)上，利用有限元法對裂縫性碳酸鹽儲層的導(dǎo)電特性進(jìn)行了模擬，并分析了裂縫參數(shù)對碳酸鹽巖導(dǎo)電特性的影響。

1 裂縫性碳酸鹽巖數(shù)字巖心建模

1.1 數(shù)據(jù)情況

為了得到不同孔隙度和裂縫形態(tài)對碳酸鹽巖儲集層的導(dǎo)電特性的影響，利用帝國理工大學(xué)的碳酸鹽巖X-CT掃描數(shù)字巖心圖像進(jìn)行建模[16]。該立方體樣品尺寸為400×400×400體素，分辨率為2.85μm，孔隙度為23.3%，3個方向的平均滲透率為1102mD。

為了提高研究的可靠性，增加研究樣本的數(shù)量，將該樣品均分為8個子樣，即圖1中的樣品1～8，每個子樣的尺寸均為200×200×200體素。樣品1～8的孔隙度分別為17.63%、19.44%、25.72%、21.19%、19.34%、21.83%、26.49%、34.45%，整體平均孔隙度為23.26%；樣品1的孔隙度最小，樣品3的孔隙度較大，因此選擇它們作為重點(diǎn)研究樣本，可以反映兩種不同情況。

圖1 基于X-CT掃描的碳酸鹽巖數(shù)字巖心樣品(整體) Fig.1 Carbonate digital core samples based on X-CTscanning (as a whole)

1.2 基于分形布朗運(yùn)動模型構(gòu)造裂縫

近年來，很多的研究表明了巖石的裂縫表面具有極高的空間相關(guān)性和自仿射分形特征。分形布朗運(yùn)動模型就是一種常用的自仿射分形，因此可選擇利用分形布朗運(yùn)動模型模擬裂縫的構(gòu)造[13,17]。其滿足以下公式：

E[(GH(X+h)-GH(X))2]=|h|2Hσ2

(1)

根據(jù)中心極限定理，式(1)可以變?yōu)椋?/p>

σ2(h)=σ2(1)h2H

(2)

標(biāo)準(zhǔn)差σ為：

(3)

式中：E為數(shù)學(xué)期望；GH(X)為滿足分形布朗運(yùn)動的隨機(jī)行走；h為偏移的距離，滿足高斯分布；H為裂縫粗糙度指數(shù)，約為0.8[18]，且與儲層巖性及裂縫模式無關(guān)；σ為標(biāo)準(zhǔn)差；σ0為標(biāo)準(zhǔn)差初始值，0～1隨機(jī)賦值；j為迭代運(yùn)算次數(shù)。

基于分形布朗運(yùn)動模型，采用改進(jìn)型隨機(jī)增加法(MSRA)生成大小為200×200個像素的裂縫粗糙表面，將制作的二維裂縫粗糙表面進(jìn)行三維化處理，并通過平移和旋轉(zhuǎn)等處理手段即可形成具有不同裂縫角度和裂縫寬度形態(tài)的數(shù)字巖心模型[13]。設(shè)定基于上述分形布朗運(yùn)動模型生成的二維裂縫粗糙表面z=f(x,y)為三維空間中裂縫下表面；設(shè)裂縫的寬度為d，則裂縫上表面為Z，Z=z+d。由于CT掃描的數(shù)字巖心模型中骨架為1，孔隙空間為0，所以設(shè)定裂縫上下表面之間的值為0。通過改變d的值，可以獲得1～10個像素不同裂縫寬度的形態(tài)，單位像素間距為2.85μm。將三維裂縫數(shù)據(jù)與CT掃描獲得的數(shù)字巖心數(shù)據(jù)相結(jié)合，便可獲得不同裂縫寬度的裂縫性碳酸鹽巖巖心模型(見圖2)。

圖2 不同裂縫寬度的裂縫性碳酸鹽巖數(shù)字巖心切面圖Fig.2 Sections of fractured carbonate digital cores with different fracture widths

裂縫按照產(chǎn)狀分類可以劃分為高角度縫(裂縫傾角θ>75°)、斜交縫(15°<θ<75°)、低角度縫(θ<15°)。為了模擬不同產(chǎn)狀的裂縫形態(tài)，以5個像素為寬度，像素分辨率為2.85μm。對裂縫體進(jìn)行旋轉(zhuǎn)操作，并與CT掃描的數(shù)字巖心相結(jié)合，可以得到0、15、30、45、60、75、90°等不同角度的裂縫性碳酸鹽巖巖心模型(見圖3)。

圖3 不同裂縫角度的裂縫性碳酸鹽巖數(shù)字巖心模型Fig.3 Models of fractured carbonate digital cores with different fracture angles

1.3 基于數(shù)學(xué)形態(tài)法建立含油飽和度模型

經(jīng)過孔隙和骨架二值化后的三維數(shù)字巖心圖像本質(zhì)上是由0和1組成的三維數(shù)據(jù)體，因此可以使用數(shù)學(xué)形態(tài)法進(jìn)行處理。數(shù)學(xué)形態(tài)法是使用某一特定形態(tài)的結(jié)構(gòu)元素去量度和提取圖像中的對應(yīng)形狀，從而分析識別圖像的方法。其主要包括4種基本的運(yùn)算方式：膨脹運(yùn)算、腐蝕運(yùn)算、開運(yùn)算和閉運(yùn)算[19]。其中開運(yùn)算是先進(jìn)行腐蝕運(yùn)算后再進(jìn)行膨脹運(yùn)算，可以模擬水驅(qū)油的過程。圖4是不同含水飽和度下的水濕碳酸鹽巖流體分布切面圖，分別選取半徑為1～5個像素球形作為結(jié)構(gòu)元素，在孔隙空間中應(yīng)用數(shù)學(xué)形態(tài)法中的開運(yùn)算，去掉的孔隙空間可以模擬水驅(qū)油后水占據(jù)的孔隙。將其與未做運(yùn)算的原圖對比，可獲得如圖4(b)～(f)經(jīng)過運(yùn)算后的結(jié)果。

注：灰色代表骨架，紅色代表油，藍(lán)色代表水。圖4 不同含水飽和度的水濕碳酸鹽巖數(shù)字巖心切面圖Fig.4 Sections of water wet carbonate digital cores with different saturation

2 裂縫性碳酸鹽巖儲層導(dǎo)電性數(shù)值模擬研究

2.1 有限元方法

純的碳酸鹽巖骨架是由幾乎絕緣的白云巖和石灰?guī)r組成，所以整體的導(dǎo)電性主要受孔隙中存在的流體分布和流體導(dǎo)電性能影響。通過數(shù)值模擬方法，可以克服常規(guī)巖石物理實(shí)驗(yàn)手段中存在的巖石儲集空間結(jié)構(gòu)難以定量確定的問題。

利用有限元法研究巖石電導(dǎo)率的數(shù)值巖心技術(shù)最核心的部分就是變分思想，即將每個單元點(diǎn)上的電壓求解轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)整體能量極值求解的問題，從而算出整個三維數(shù)據(jù)體的有效電導(dǎo)率。為使能量En取極小值，需滿足能量對變量μi(結(jié)點(diǎn)電壓)的偏導(dǎo)數(shù)均為零，即：

(4)

式(4)在求解時，當(dāng)En對i個結(jié)點(diǎn)電壓的偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的梯度矢量的平方和小于某一給定允許誤差時，可近似認(rèn)為式(4)成立，即確定了三維數(shù)字巖心中的電壓分布和有效電性參數(shù)[20]，最終根據(jù)不同方向的電壓和電流即可求出等效電阻率。

2.2 裂縫寬度對地層因素的影響

基于樣品1和樣品3不同裂縫寬度的數(shù)字巖心模型(見圖5)，令孔隙中全部充填地層水，水的電導(dǎo)率為1S/m，骨架的電導(dǎo)率為0S/m。利用有限元法進(jìn)行導(dǎo)電性的數(shù)值模擬，獲得X、Y和Z共3個方向的等效電阻率，再利用阿爾奇公式中的地層因素F與等效電阻率的關(guān)系，即地層因素為飽含水巖石電阻率ρ0與地層水電阻率ρw的比值，分別計(jì)算出3個方向的地層因素(見圖6)：

注：藍(lán)色部分為孔隙空間；透明部分為骨架。圖5 樣品1和樣品3的裂縫性碳酸鹽巖數(shù)字巖心孔隙空間示意圖Fig.5 Schematic diagram of the pore space of fractured carbonate digital cores of sample 1 and sample 3

圖6 樣品1和樣品3的地層因素與裂縫寬度交會圖Fig.6 Crossplots of formation factors and fracture widths for sample 1 and sample 3

(5)

式中：a為巖性系數(shù)；φ為總孔隙度；m為膠結(jié)指數(shù)。

從圖6可以看出，兩個樣品在平行于裂縫方向(X和Y方向)的F隨著裂縫寬度的增加而明顯降低，但垂直于裂縫方向(Z方向)的F變化較小。

利用式(5)求取m。圖7為m與φ的關(guān)系圖，可以看出，在平行于裂縫的X與Y方向，m隨φ的增加而減??；而在垂直于裂縫的Z方向，m隨φ的增加而增大。主要是因?yàn)槌錆M地層水的水平裂縫相當(dāng)于一條導(dǎo)電電路，在水平方向上基質(zhì)孔隙流體與裂縫孔隙流體并聯(lián)，導(dǎo)致電阻率減小明顯，而φ變化較小，所以m下降。與此對應(yīng)，在Z方向則是相當(dāng)于基質(zhì)孔隙流體與電阻率極小的裂縫孔隙流體串聯(lián)，導(dǎo)致電阻率變化不明顯，而φ變大，所以m上升。在實(shí)際情況下，隨著裂縫發(fā)育程度的增加，裂縫對于導(dǎo)電性的影響更加突出。

圖7 樣品1和樣品3的m與φ交會圖Fig.7 Crossplots of m and φ for sample 1 and sample 3

2.3 裂縫寬度對電阻率增大系數(shù)的影響

基于樣品3不同裂縫寬度的數(shù)字巖心模型，利用以1～4個像素為半徑的球體作為結(jié)構(gòu)元素進(jìn)行開運(yùn)算，獲得不同含油飽和度的巖心模型，并進(jìn)行了導(dǎo)電性模擬，獲得了X、Y和Z共3個方向的等效電阻率，再利用阿爾奇公式的電阻率增大系數(shù)I和含水飽和度Sw的關(guān)系進(jìn)行擬合，求出飽和度指數(shù)n：

(6)

式中：ρt為地層電阻率；b為巖性系數(shù)。

圖8～10分別是樣品3在X、Y和Z方向上I與Sw的交會圖，可以看出，在Sw大于0.6時，I與Sw呈現(xiàn)較好的對數(shù)線性關(guān)系，與砂巖儲層類似，適用于阿爾奇公式。

圖8 樣品3在X方向不同裂縫寬度下I與Sw交會圖Fig.8 Crossplots of I & Sw with different fracure widths in X direction of sample 3

圖9 樣品3在Y方向不同裂縫寬度下I與Sw交會圖Fig.9 Crossplots of I & Sw with different fracure widths in Y direction of sample 3

圖10 樣品3在Z方向不同裂縫寬度下I與Sw交會圖Fig.10 Crossplots of I & Sw with different fracure widths in Z direction of sample 3

表1為樣品3在不同裂縫寬度下的巖電參數(shù)b、n統(tǒng)計(jì)表，圖11為樣品3在X、Y、Z方向上n與φ的交會圖。由表1和圖11可以看出，樣品3的b約為1；隨著裂縫寬度的增加，φ會增大，在X和Y方向上的n亦變大，而在Z方向上，n呈相反的趨勢。綜上所述，裂縫性碳酸鹽巖的φ增加，使得平行于裂縫方向的n增加，而垂直于裂縫方向的n降低。

圖11 樣品3的n與φ交會圖Fig.11 The crossplot of n and φ for sample 3

表1 樣品3在不同裂縫寬度下的巖電參數(shù)b、n統(tǒng)計(jì)表Table 1 Statistics of rock electricity parameters b & n of sample 3 with different fraction widths

2.3 裂縫角度對儲層導(dǎo)電性的影響

基于樣品1和樣品3建立了具有0、15、30、45、60、75、90°等不同裂縫角度的數(shù)字巖心模型，并開展了導(dǎo)電性模擬，獲得了X、Y和Z共3個方向的等效電阻率。圖12為添加了30、45、60°裂縫角度的樣品1的孔隙形態(tài)示意圖，可以看出，當(dāng)裂縫角度為0～45°時，裂縫面貫穿X和Y兩個方向，當(dāng)裂縫角度為45～90°時，裂縫面則貫穿Y和Z兩個方向。模擬結(jié)果如圖13所示。

注：藍(lán)色部分為孔隙空間；透明部分為骨架。圖12 樣品1的不同裂縫角度的裂縫性碳酸鹽巖數(shù)字孔隙空間形態(tài)示意圖Fig.12 Schematic diagram of digital pore space morphology of fractured carbonate rocks withdifferent fracture angles of sample 1

圖13 樣品1和樣品3的裂縫性碳酸鹽巖數(shù)字巖心F與裂縫角度關(guān)系圖Fig.13 Figures of relationship between digital core F and fracture angle of fractured carbonate rocksof sample 1 and sample 3

從圖13中分析可知，隨著裂縫角度從0°變化到90°，儲層的導(dǎo)電性特征變化如下：

1)X方向。X方向的F隨著裂縫角度的增加而增大。當(dāng)裂縫角度為0°時，裂縫面平行于XY面，裂縫面將基質(zhì)流體電阻率與裂縫流體電阻率進(jìn)行并聯(lián)，此時電阻率最低。當(dāng)裂縫角度由0°逐漸增加到45°時，裂縫流體電阻率與基質(zhì)孔隙流體電阻率串聯(lián)的部分越來越大，電阻率逐漸變大。但由于非均質(zhì)性較強(qiáng)，導(dǎo)致電阻率在部分角度時出現(xiàn)了低值。當(dāng)裂縫角度由45°逐漸增加到90°時，在X軸方向，裂縫中的流體與巖石基質(zhì)孔隙度中的導(dǎo)電通道相串聯(lián)，而此時隨著裂縫角度的增大，其裂縫孔隙度逐漸變小，因此電阻率也逐漸變大。

2)Y方向。Y方向的F變化幅度較小。不論裂縫旋轉(zhuǎn)的角度怎樣變化，裂縫面始終與Y軸相平行，貫穿Y方向。因此雖然裂縫角度在變化，裂縫中流體始終與原生孔隙中流體并聯(lián)，電阻率變化幅度較小。

3)Z方向。Z方向的F隨著裂縫角度的增加而減小。這是因?yàn)榱芽p與X軸夾角增加意味著與Z軸夾角減小，其并聯(lián)串聯(lián)機(jī)理是一致的。

3 結(jié)論

1)基于X-CT掃描圖像，利用分形布朗運(yùn)動模型建立裂縫粗糙表面，可以模擬天然裂縫的形態(tài)特征；利用數(shù)學(xué)形態(tài)法可以獲取不同飽和度的模型。

2)在裂縫性碳酸鹽儲層中，隨著裂縫寬度的增加，平行于裂縫延伸方向的膠結(jié)指數(shù)降低，而垂直于裂縫延伸方向的膠結(jié)指數(shù)升高；平行于裂縫方向的飽和度指數(shù)增加，而垂直于裂縫方向的飽和度指數(shù)降低。

3)裂縫性碳酸鹽巖儲層導(dǎo)電性受裂縫角度影響較大，而且各向異性較強(qiáng)，所以相同巖樣不同方向上的電導(dǎo)率差異非常明顯：X方向的地層因素隨著裂縫角度的增加而增大；Y方向的地層因素變化幅度較??；Z方向的地層因素隨著裂縫角度的增加而減小。