開管管口校正數(shù)與計(jì)溫律高計(jì)算公式驗(yàn)證—基于黃鐘律管的三組實(shí)驗(yàn)

□史凱敏、劉 勇

獲取律管音高的基本方法有二：一為利用聲學(xué)理論公式計(jì)算，二為制管驗(yàn)聲。前者由于方便、簡潔而受到多數(shù)研究者的青睞。然而，由于所采用的公式和管口校正數(shù)的差異，往往結(jié)論也很不一致。制管驗(yàn)聲之法得到的結(jié)果應(yīng)較為可信，但不可否認(rèn)的是：因吹奏角度、力度等主觀因素的差異的確會(huì)造成音高測(cè)定的不穩(wěn)定。這種差異尤其在溫度較低或口唇位置不一致的情況下尤為突出，因而，研究管律需要取得較為可信的管口校正數(shù)和計(jì)算公式。要實(shí)現(xiàn)這一目的，唯有制管驗(yàn)聲，雙向推導(dǎo)，算驗(yàn)相合，方得真數(shù)。

一、學(xué)界常用的律管管口校正數(shù)

目前，經(jīng)研究者推定、使用的管口校正量（簡稱管校數(shù)）約有十種說法。（1）P.M莫爾斯的《振動(dòng)與聲》①〔美〕P．M莫爾斯：《振動(dòng)與聲》，南京大學(xué)《振動(dòng)與聲》翻譯組譯，科學(xué)出版社，1974年，第243頁。認(rèn)為，開口管管口校正量為8a/3π（a為半徑）。（2）比利時(shí)聲學(xué)家馬容（V.Mahillon， 1841～1924）提出，開管管口校正量約等于管的直徑2r，閉管管口校正量約等于半徑r。②繆天瑞：《律學(xué)》，人民音樂出版社，1996年，第11頁。（3）音樂聲學(xué)家羅興認(rèn)為，開管管口校正數(shù)=2×0.61r，閉管管口校正數(shù)為0.61r（r為管的半徑）③Thomas D． Rossing． The Science of Sound．Addison-Wesly． 1982, pp．52-53．轉(zhuǎn)引自韓寶強(qiáng)《音的歷程—現(xiàn)代音樂聲學(xué)導(dǎo)論》，人民音樂出版社，2016年，第129—130頁。。（4）馬大猷、沈?提出的開管校正量為1.7d，閉口校正量1.4d（d為管的直徑）①馬大猷、沈?：《聲學(xué)手冊(cè)》，科學(xué)出版社，1986年，第808—809頁。；在胡企平、夏季、劉存?zhèn)b的研究中，均認(rèn)為1.7d的開管校正量是可信的。②分別見胡企平：《中國傳統(tǒng)管律文化通論》，上海音樂出版社，2003年，第209頁；夏季：《中國古代早期管樂器及黃鐘律管研究》，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)2006年博士論文，第46頁；劉存?zhèn)b：《朱載堉異徑管律的理論研究》，《中央音樂學(xué)院學(xué)報(bào)》2006年第1期。（5）王光祈曾做過實(shí)驗(yàn)，得出長度23公分，內(nèi)徑0.9公分的銅律管在15°時(shí)，閉管校正值為1.5公分。③王光祈：《中國音樂史》，音樂出版社，1957年，第52—55頁。以此反推管口校正數(shù)比值1.5=0.9×5/3，也就是說閉管校正量為5d/3。陳正生曾推算，楊蔭瀏在《中國音樂史綱》中計(jì)算律高所采用的閉管校正量為5d/3。度量衡學(xué)者丘光明、邱隆在研究中也使用了5d/3④分別見丘光明、邱隆、楊平：《中國科學(xué)技術(shù)史·度量衡卷》，科學(xué)出版社，2001年，第47頁。丘光明：《中國歷代度量衡考》，科學(xué)出版社，1992年，第2頁。但均未標(biāo)明公式來源。。（6）徐飛認(rèn)為閉管校正值為1.6667D（D為直徑，5d/3≈1.6667d），而開管為0.306D，但計(jì)算時(shí)，由于兩端均有管口校正，要取2×0.306D=0.612D⑤徐飛：《黃鐘律管管口校正考》，《中央音樂學(xué)院學(xué)報(bào)》1996年第3期。。陳正生運(yùn)用公式的檢測(cè)驗(yàn)證閉管律管，5d/3的管口校正值是可信的⑥陳正生：《黃鐘正律析》，《藝苑》1989年第2期。，但開管的管口校正量0.306D遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于閉管的校正量，這顯然是不正確的⑦陳正生：《談?wù)勯_管律管與閉管律管頻率計(jì)算公式—與徐飛同志商榷》，《中國音樂》1997年第1期。。在律管實(shí)證研究的基礎(chǔ)上，陳正生強(qiáng)調(diào)5d/3或0.6r（r為半徑）這兩個(gè)量只是律管和笛管管口校正量中的特例。5d/3這一管口校正量，只有用正確的吹律方法，吹奏兩端管徑完全相等的閉管律管時(shí)才具有的管端校正量，而且只適用于同徑管，不適用于異徑管，管徑差越大，誤差越明顯；0.6r（即0.3d）乃是兩端管徑完全相同之管的末端校正量。⑧陳正生：《我國歷代管口校正研究述評(píng)》，《交響》（西安音樂學(xué)院學(xué)報(bào)）1997年第3期。（7）吳南薰引用的物理學(xué)家瑞利的閉管管口校數(shù)為2.7R（R為半徑）⑨吳南薰：《律學(xué)會(huì)通》，科學(xué)出版社，1964年，第397頁。。但戴念祖所引用的瑞利的吹口校正數(shù)為5d/3，而開口校正數(shù)為0.29D⑩James Jeans, Science and Music． Dover 1986, pp．137—139． 轉(zhuǎn)引自戴念祖《朱載堉—明代的科學(xué)和藝術(shù)巨星》，人民出版社，1986年，第98頁。在閉吹狀態(tài)下，吹口校正數(shù)即閉管校正數(shù)。。（8）陳奇猷將開閉管的管口校正數(shù)均設(shè)為3.3r（r為半徑），隗芾也采用同樣的公式?分別見陳奇猷：《黃鐘管長考》，《中華文史論叢第一輯》，中華書局，1962年，第185—189頁；隗芾：《隋至宋樂律遞變考（上）》，《社會(huì)科學(xué)戰(zhàn)線》1985年第1期。。（9）劉勇、張謙在對(duì)頂端不開豁口的律管測(cè)音后，推算閉管校正量約等于0.9d，開管約等于1.45d?劉勇、張謙：《關(guān)于管口校正量的一個(gè)實(shí)驗(yàn)》，《中國音樂學(xué)》1993年第4期。。（10）唐林認(rèn)為對(duì)簡單的圓柱形管，閉口管校正值為0.425d，開口管為0.306d?唐林、張永德、陶純孝：《音樂物理學(xué)導(dǎo)論》，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，1991年，第107—108頁。。將以上管口校正數(shù)統(tǒng)一以管內(nèi)直徑（d）換算后，整理為表1以代入公式計(jì)算并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行比較。

表1 閉管、開管管口校正數(shù)統(tǒng)計(jì)

二、開管管口校正數(shù)的驗(yàn)證思路

需要注意的是一個(gè)似乎人所共知卻常被忽略的重要問題：隨著溫度的升高，聲波在空氣中傳播速度加快，多次吹奏后，隨著管內(nèi)溫度的上升，管樂器發(fā)音會(huì)越來越高。陳奇猷《黃鐘管長考》設(shè)0℃音速為33200毫米/秒帶入溫度變化系數(shù)0.003665，代入15℃起算（N表示頻率，L為管長，t為溫度，a為管口校正數(shù)3.3，A=1+0.003665）①陳奇猷：《黃鐘管長考》，第185—189頁。，雖文中并未說明音速與溫度系數(shù)及管口校正數(shù)的來源，卻啟發(fā)了筆者對(duì)這一問題的思考。此前，盡管學(xué)者們或多或少均提及溫度影響，但計(jì)算時(shí)，一般以標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下15℃的聲速440m/s為默認(rèn)值。事實(shí)上，溫度的影響是管律研究中不可忽略的一個(gè)變量。周林生、陳正生認(rèn)為氣溫每±1℃，笛簫的音高隨之±3音分②見周林生《笛簫的溫差與音差》，《樂器》1989年第4期；陳正生《也談溫差對(duì)笛簫頻率的影響》，《樂器》1990年第3期。。笛簫演奏與研究專家趙松庭認(rèn)為：“溫度±10℃，將使一定管長的頻率升高或降低1/6—1/7個(gè)音（筆者注：約30音分），對(duì)于有訓(xùn)練的耳朵來說，這是一個(gè)不能忍受的誤差。……據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，得出管內(nèi)的實(shí)際溫度可近似地列為1/3（36℃-大氣溫度）+大氣溫度?，F(xiàn)將管內(nèi)溫度設(shè)為t0，氣溫設(shè)為t，則溫度變量可用表示（公式①）?！雹圳w松庭：《溫度與樂器音準(zhǔn)問題》，《樂器科技》1978年第1期。這一公式反映了笛簫在演奏時(shí)的溫度變化情況，但律管并非演奏樂器，形制也有差異，這個(gè)公式是否仍適用？溫度與律高的規(guī)律如何？這需要我們用實(shí)驗(yàn)來推導(dǎo)和驗(yàn)證。

學(xué)界公認(rèn)0℃、15℃、25℃空氣中聲速分別為331m/s、340m/s、346m/s。一般認(rèn)為聲音速度與溫度間的關(guān)系可簡略地表達(dá)為v=331.5+0.61t（公式②，0℃聲速約為331.5m/s，t為環(huán)境溫度）。2007年，新疆大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院研究團(tuán)隊(duì)使用超聲波發(fā)生器，測(cè)量空氣中聲速與環(huán)境溫度關(guān)系的新公式計(jì)算結(jié)果與之相符合（相差1米以內(nèi)）：“在室溫下，干燥空氣中的聲速公式為，其中v0表示0℃時(shí)音速331450mm/s，t為環(huán)境溫度。”④買買提熱夏提·買買提、亞森江·吾普爾、復(fù)爾開提·夏爾丁：《簡談空氣中的聲速與溫度關(guān)系》，《物理實(shí)驗(yàn)》2007年第11期。（公式③）筆者將0～36℃環(huán)境溫度分別代入公式②和③進(jìn)行計(jì)算，聲速最大差距僅為0.84米，但新疆大學(xué)的結(jié)果更接近0℃、15℃、25℃下的默認(rèn)聲速⑤15℃、25℃、36℃時(shí)按公式②計(jì)算為340．6米/秒、346．75米/秒、353．46米/秒；按公式③計(jì)算為340．43米 /秒、346．28米 /秒、352．62米 /秒。溫度越高，二者差距越大。，因此，將之用于本文的聲速計(jì)算（見附錄）。驗(yàn)證方式如下：

首先推算不同管口校正數(shù)的理論音高，即將溫度代入聲速公式③：算出實(shí)時(shí)環(huán)境聲速V（見附錄），再將V值和以上所統(tǒng)計(jì)的9種管口校正數(shù)分別代入開口管頻率公式④（k為管口校正數(shù)）計(jì)算音高。將計(jì)算音高與律管實(shí)測(cè)音高比較后，找出最符合實(shí)測(cè)的管口校正數(shù)。此外，將環(huán)境溫度代入趙松庭的管內(nèi)溫度公式①，可推算管內(nèi)溫度，再代入公式③和④，得到的音高就可以用于檢驗(yàn)公式①（t0為管內(nèi)溫度，t為氣溫）的適用性。

管樂器的發(fā)音特點(diǎn)是“聲無定高”。即便是同一人在完全不改變角度、位置條件下吹奏的同一個(gè)長音，也會(huì)隨著吹氣對(duì)管內(nèi)溫度的增加而逐漸升高。因而，我們采用“音高區(qū)間”的統(tǒng)計(jì)方式，即從每次實(shí)驗(yàn)的測(cè)音樣本中，分別選取吹律人吹奏的最高值和最低值構(gòu)成實(shí)測(cè)的音高區(qū)間，作為驗(yàn)證管口校正數(shù)的參照。⑥限于篇幅，實(shí)驗(yàn)二、三中僅列音高區(qū)間，處于區(qū)間內(nèi)的樣音不再一一列出。以下實(shí)驗(yàn)歷時(shí)數(shù)月，是以同一套律管在不同溫度條件下的多次測(cè)音與理論推算為基礎(chǔ)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)與計(jì)算。

三、開管管口校正數(shù)及計(jì)溫公式的相關(guān)實(shí)驗(yàn)

1.實(shí)驗(yàn)一：18℃時(shí)開管吹律實(shí)驗(yàn)

本次實(shí)驗(yàn)所用的18支歷代黃鐘律管，形制數(shù)據(jù)依據(jù)文獻(xiàn)記載和歷代尺制變化來推導(dǎo)①推導(dǎo)過程另有專文討論，此處不贅。。由泉州市比鄰三維科技有限公司使用上海聯(lián)泰科技3D打印機(jī)（精度±0.1mm），光敏樹脂材料，制作壁厚2mm的18支頂端不開豁口的律管。用電子數(shù)顯卡尺（精度±0.02mm/0.001″）測(cè)量長度、內(nèi)徑。實(shí)驗(yàn)步驟：①吹律人不遮蔽律管底端開管吹奏，豎直持管，口唇遮蔽管口1/2并保持統(tǒng)一②經(jīng)實(shí)驗(yàn)，開管吹律時(shí)完全不遮蔽管口很難發(fā)聲，在內(nèi)徑13mm以下的律管上遮蔽1/2管口較易成聲，振動(dòng)較充分，但遮蔽超過1/2會(huì)使音偏低。。每次吹奏前報(bào)清律管名稱、編號(hào)、材料。②全部吹奏過程同步進(jìn)行錄音采樣、視頻錄制。③選取錄音數(shù)據(jù)中的有效樣音進(jìn)行測(cè)音。④對(duì)所測(cè)樣音數(shù)據(jù)進(jìn)行音高頻譜分析。

2020年10月15日，在中國音樂學(xué)院半消聲聲學(xué)實(shí)驗(yàn)室（本底噪聲：22dB），室內(nèi)溫度18℃下，在劉勇教授的指導(dǎo)和監(jiān)聽下，我們進(jìn)行了黃鐘律管的首輪吹律實(shí)驗(yàn)，吹律人是史凱敏、趙越。③吹律人趙越：雅樂傳習(xí)所指導(dǎo)教師。錄音及監(jiān)控：中國音樂學(xué)院圖書館技術(shù)部負(fù)責(zé)人，音樂聲學(xué)碩士羅時(shí)歡 （錄音設(shè)備：麥克風(fēng)：DPA 4015，聲卡：RME Fireface UC，工作站：Pro Tools HD，采樣率/采樣精度：48kHz/24bitt，錄像設(shè)備：SONY數(shù)碼攝錄一體機(jī)）。測(cè)音員：中國音樂學(xué)院音樂聲學(xué)碩士程馨瑤。測(cè)音軟件GMAS2．0。后面實(shí)驗(yàn)中方法一致處不再重述。由于開管豎吹的律管吹奏方式，并非簫笛演奏員日常習(xí)慣的奏法，吹律人對(duì)此演奏法所要求的氣息與口型起初并不熟練，成聲率較低。在吹奏時(shí)，前段多為氣流聲，往往在中后段才發(fā)出有效音，我們?cè)诓荒苓x出有效整段發(fā)音的情況下，退而選擇截取這部分發(fā)音的穩(wěn)定部分作為測(cè)量樣本。取音標(biāo)準(zhǔn)是：①聽覺上有明顯音高；②音準(zhǔn)比較穩(wěn)定；③在視覺上，呈現(xiàn)出的波形較為穩(wěn)定，振幅較大。結(jié)合測(cè)音員和助手的主觀耳測(cè)，每支律管取出2～3個(gè)質(zhì)量最好的有效樣音。

音準(zhǔn)判斷標(biāo)準(zhǔn)：由于“大多數(shù)音樂家的同一性音準(zhǔn)感具有±10音分的寬容度，多數(shù)音樂家的和聲性音準(zhǔn)感具有-38至+14音分的寬容性”④韓寶強(qiáng)：《音的歷程—現(xiàn)代音樂聲學(xué)導(dǎo)論》，第31頁。，因此，本文判斷±10音分以內(nèi)為音高一致；±10～22音分以內(nèi)為音高基本一致；±22～33音分為音高略有差異；±33～50音分為中立音。

兩位吹奏人氣息、嘴勁兒、口風(fēng)等必有一定差異，但從吹律統(tǒng)計(jì)結(jié)果看，發(fā)音是比較穩(wěn)定的，上下浮動(dòng)音高區(qū)間在30音分以內(nèi)，不影響律位的確定。從9種管口校正數(shù)分別代入18℃環(huán)境聲速342197mm/s（見附錄）的計(jì)算結(jié)果看，代入0.29d～1d管校數(shù)的計(jì)算結(jié)果全部偏離實(shí)測(cè)區(qū)間，因而首先排除；代入1.45d管校數(shù)僅有5個(gè)樣本處于實(shí)測(cè)區(qū)間；代入1.65d有13個(gè)樣本處于實(shí)測(cè)區(qū)間，占72.2%；只有1.7d和5d/3（約1.66667d）管校數(shù)的計(jì)算結(jié)果，始終處于“實(shí)測(cè)音高區(qū)間”以內(nèi)，最符合實(shí)測(cè)音高。筆者將1.7d與5d/3管校的計(jì)算音高分別與最高吹奏音高相比較，計(jì)算偏離最高吹奏音的音分值（“偏離音分”中負(fù)值表示低于最高吹奏音高的音分?jǐn)?shù)），二者的差數(shù)只有2音分（表2），可以忽略不計(jì)，1.7d可視為5d/3的約數(shù)。

表2 18℃開管測(cè)音與9種管校數(shù)計(jì)算音高（單位Hz）比較表

（續(xù)表）

2.實(shí)驗(yàn)二：8℃開管吹律實(shí)驗(yàn):

2021年1月16日上午11:00，在亳州學(xué)院音樂系5樓回廊，環(huán)境溫度8℃時(shí)，筆者進(jìn)行了第二輪吹律實(shí)驗(yàn)。古代靈臺(tái)定律是在冬夏二至的正午，盡管很難確定古代精確的溫度情況，但以現(xiàn)代氣候作為參照，應(yīng)相去不遠(yuǎn)。我們查詢了近五年來開封、西安和北京的二至氣溫情況，亳州當(dāng)日氣溫是-4°～4℃，放寒假時(shí)的校園十分安靜，我們使用電子溫度儀在窗口測(cè)得溫度為7℃，關(guān)閉回廊門窗后，溫度穩(wěn)定在8℃，與中原冬至正午的平均氣溫大致相符。按照律管編號(hào)，在攝像機(jī)全程記錄下，筆者依次開管豎吹1～18號(hào)黃鐘律管。

表3 冬至、夏至氣溫統(tǒng)計(jì)表（單位：攝氏度℃）

實(shí)驗(yàn)結(jié)果：

在8℃的環(huán)境聲速336269mm/s下，1.45d管校的計(jì)算結(jié)果，更符合實(shí)測(cè)音高，偏離值最大13.8音分。而5d/3管校計(jì)算值偏離則明顯偏大（表4），理論上，在角度、氣流速度穩(wěn)定的情況下，管口和末端溢出氣流的長度應(yīng)該是固定的，這一變化，應(yīng)該是由于管內(nèi)溫度高于環(huán)境溫度，管內(nèi)聲速大于環(huán)境聲速的而產(chǎn)生的。陳正生先生曾按照每±1℃，聲速加減0.61米，多次驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)“計(jì)算出的頻率難同吹出的音高相合”，認(rèn)為“律管中的聲速不該簡單地運(yùn)用大氣聲速”①陳正生：《“黃鍾正律”析—兼議律管頻率公式中的物理量》，《南京藝術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)（音樂與表演版）》1989年第2期。。因而，有必要找出適合的管內(nèi)速度計(jì)算公式來。

表4 8℃開管測(cè)音與計(jì)算音高比較表

趙松庭先生曾提出過管內(nèi)溫度的公式：管內(nèi)的實(shí)際溫度=1/3（36℃-大氣溫度）+大氣溫度，算出8℃時(shí)，管內(nèi)溫度為17℃，聲速約為341609mm/s，代入5d/3管校數(shù)的計(jì)算值已經(jīng)全部超出實(shí)際吹奏的音高浮動(dòng)區(qū)間（見表5），這說明代入的聲音速度過高，管內(nèi)溫度并沒有達(dá)到17度。于是，筆者按照附錄中的計(jì)算聲速，在EXCEL中從8℃開始逐一替換公式中的速度，當(dāng)代入12℃的聲速338653mm/s后，這一偏離值與實(shí)測(cè)“吹奏音高浮動(dòng)區(qū)間”已經(jīng)極為貼近（見表5“12℃，5d/3管?！币粰冢??？磥?，律管上，管內(nèi)溫度的變化幅度沒有笛簫上大。

表5 趙松庭管內(nèi)溫度公式驗(yàn)證表

首先，呼出氣體的溫度并非36℃。陳振華醫(yī)生曾用“德國耶格公司Master-Screen肺通氣功能檢測(cè)系統(tǒng)”觀察哮喘兒童呼出氣溫度（EBT）的變化，正常為（33.3±0.3）℃②陳振華：《呼出氣溫度在兒童哮喘急性發(fā)作時(shí)及發(fā)作后的監(jiān)測(cè)意義》，《實(shí)用臨床醫(yī)藥雜志》2020年第19期。。因而筆者首先將趙先生公式中表示體溫的36替換為33，并嘗試將1/3的比值替換為1/4、1/5、1/6、1/7……進(jìn)行驗(yàn)算，當(dāng)管內(nèi)的實(shí)際溫度=1/7（筆者按：呼氣溫度+6倍大氣溫度），即t0=（6t+33）/7（公式⑤）時(shí)，算出的溫度改變值與實(shí)驗(yàn)相符合（見附錄）。如果溫度改變，這個(gè)公式是否仍與實(shí)踐相符？于是，接下來我們進(jìn)行了23℃環(huán)境下的測(cè)音實(shí)驗(yàn)（表6）。

表6 23℃ 開管測(cè)音與計(jì)算音高比較表

3.實(shí)驗(yàn)三：23℃開管吹律實(shí)驗(yàn)

2021年1月17日下午，在亳州學(xué)院音樂系500工作室，環(huán)境溫度23℃時(shí)，筆者用同樣的方法與步驟再次進(jìn)行了第三輪實(shí)驗(yàn)。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析：

1.按照t0=（6t+33）/7計(jì)算出23℃環(huán)境下，管內(nèi)溫度為24℃，將管內(nèi)聲速345706mm/s代入公式④，算得每升高1℃，音高升高2.9音分。同時(shí)，計(jì)算值與測(cè)音音高區(qū)間基本符合（表6）。

2.代入23℃的環(huán)境聲速345123mm/s與代入345706mm/s管內(nèi)聲速的計(jì)算值極為相近。原因是，在18℃以上，管內(nèi)溫度與外界溫差在2℃以內(nèi)，這意味著，體溫對(duì)管內(nèi)的加溫作用在6音分以內(nèi)，人耳難以分辨，越接近33℃，這一影響越??；在33℃以上，管內(nèi)溫度低于外界溫度，原則上，會(huì)拉低音高，但40℃以下，這個(gè)影響不超過1℃也可以不用考慮。換言之，在19℃～40℃，可以用空氣速度與5d/3的管口校正值來計(jì)算音高。但在19℃以下，管內(nèi)溫差的影響會(huì)越來越大，有必要使用管內(nèi)聲速（見附錄）來推算音高。

3.從三次對(duì)同一套律管的測(cè)音來看，溫度對(duì)音高的影響是確定音高必須計(jì)入的一個(gè)變量。計(jì)算8～23℃是升高15℃的音高差（表7簡稱音差），8～18℃是升高10℃的音高差，據(jù)此，可算出每升高1℃，約發(fā)生1～3.3音分的變化，平均后最大為2.91音分，符合公式⑤的推算。

表7 三次黃鐘律實(shí)測(cè)音高對(duì)比表（單位：音分）

（續(xù)表）

從以上三次不同溫度環(huán)境下對(duì)同一套黃鐘律管的測(cè)音，可以看到，在計(jì)入管內(nèi)溫度影響后，使用5d/3的開管管口校正數(shù)可以得出基本符合吹奏區(qū)間的理論音高（計(jì)算音高與實(shí)測(cè)偏差在20音分以內(nèi)），這證明在開管吹律的情況下，管內(nèi)溫度t0=（6t+33）/7（公式⑤，t表示環(huán)境溫度）是可以成立的。在19°以上，是否使用這一公式對(duì)音高計(jì)算影響很?。?音分以內(nèi)），可直接用空氣溫度計(jì)算，但低于此溫度時(shí)，不代入管內(nèi)溫度，則計(jì)算值會(huì)偏低于實(shí)測(cè)音高較多。為簡化計(jì)算步驟，可將公式⑤代入（其中v0表示0℃時(shí)音速331450mm/s，t為管內(nèi)溫度），可得管內(nèi)速度公式為：，接著代入公式④，則計(jì)溫開管音高公式可推算為（F為音高頻率，k為管口校正數(shù)5/3。l表示管長，d是管內(nèi)徑，t為氣溫）。這個(gè)公式將計(jì)算管內(nèi)溫度、管內(nèi)速度、音高的三個(gè)步驟合而為一，使音高與氣溫直接關(guān)聯(lián)。

四、其他實(shí)驗(yàn)樣本對(duì)公式有效性的驗(yàn)證：

為檢驗(yàn)公式的有效性，于2021年1月20號(hào)，室溫15℃時(shí)，對(duì)3D樹脂打印的一組同形管①同形管指長徑比相同的律管。表8中的律管長徑比全部為26∶1。再次開管豎吹測(cè)音，并與此前在2020年11月15號(hào)18℃環(huán)境溫度下對(duì)這組律管的測(cè)音音高加以比對(duì)，發(fā)現(xiàn)很難得出溫度變化與音高具體變化的數(shù)值，因?yàn)榇德扇说臓顟B(tài)不可能完全一致，尤其是11號(hào)管以下，管口小于7mm，吹奏難度和口風(fēng)的影響也越來越大。但總體上看，溫度對(duì)于音高的作用是很明顯的，僅有1例外，其余升高10.02～30.37音分不等，理論計(jì)算音高與吹奏測(cè)音音高大部分都是符合的。按理論值推算音高改變?yōu)?.6音分。

表8 18～15℃同形異徑無豁口律管吹奏測(cè)音與理論計(jì)算比對(duì)表

我們還與2020年11月25日在中國音樂學(xué)院聲學(xué)實(shí)驗(yàn)室對(duì)一組不銹鋼無豁口律管的測(cè)音結(jié)果進(jìn)行了比對(duì)（表9）。13℃環(huán)境下，管內(nèi)溫度為15.9℃，算出管內(nèi)聲速為340936mm/s。在管徑超過13mm的1A和2A管上，吹奏音高明顯偏低于公式的計(jì)算。這是由于管徑過粗，口唇必須保持在氣流可以抵達(dá)邊楞的位置—遮蔽管口2/3甚至更多，才能有效發(fā)聲。遮蔽管口越多，偏低于理論計(jì)算值就會(huì)越大。而在內(nèi)徑小于13mm，長徑比大于23：1的3A～5A管上，實(shí)測(cè)與計(jì)算音高是可以吻合的，尤其是長徑比越大的管上，不同吹律人（趙越、史凱敏）間的吹奏差異也越小，越趨近于計(jì)算值。

表9 同長異徑無豁口不銹鋼律管A組測(cè)音與理論計(jì)算比對(duì)表

1991年劉勇先生復(fù)原制作的帶豁口銅制朱載堉律管，用開管豎吹測(cè)音，其中黃鐘律管長254.9mm，內(nèi)徑8.96mm，在21℃時(shí)，測(cè)得開管吹奏音高分別為e2-29、e2-18、e2-37①劉勇：《朱載堉異徑管律的測(cè)音研究》，《中國音樂學(xué)》1992年第4期。。將21℃的溫度和管長、內(nèi)徑代入本文推定的計(jì)溫開管音高公式，計(jì)算結(jié)果為637.35Hz，合341音分。經(jīng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證律管上寬、深均為4.5mm的豁口會(huì)造成音高升高30～43音分左右②實(shí)驗(yàn)過程見史凱敏《中國古代律管造型的衍變—兼談豁口作用》，《中國音樂》2022年第4期。，如果加上豁口值，理論音高為371～384音分，即e2-16到e2-29，與實(shí)測(cè)結(jié)果高度吻合。

1996年胡企平先生復(fù)原制作的康熙銅律管，在15℃室溫下，開管豎吹管長233.28mm，內(nèi)直徑8.768mm，不開豁口黃鐘律管音高為f2-34③胡企平：《中國傳統(tǒng)管律文化通論》，第198—199頁。（685Hz）。與本文公式推算值687.67Hz僅差6.7音分。內(nèi)徑8.768mm，管長103.68mm，不開豁口的半太簇管音高測(cè)為?f3-35④胡企平：《中國傳統(tǒng)管律文化通論》，第195—199頁。（1450Hz），與公式推算值1445.33Hz僅差5.5音分，二者高度吻合。

結(jié)論

通過對(duì)同一組律管在不同溫度下的3次開管吹律測(cè)音實(shí)驗(yàn)，我們檢驗(yàn)了學(xué)界常用的9種開管管口校正數(shù)的音高推算值，發(fā)現(xiàn)直接使用該溫度下的空氣聲速計(jì)算時(shí)，沒有一種管口校正數(shù)能全部符合三種溫度下的測(cè)音結(jié)果。只有在計(jì)入管內(nèi)溫度的影響算出管內(nèi)聲速（見附錄）后，以5d/3的開管管口校正值進(jìn)行音高計(jì)算的結(jié)果才與實(shí)測(cè)的音高區(qū)間最為符合。這一系列推算過程可精煉地簡化為一個(gè)開管計(jì)溫音高公式：。我們及其他學(xué)者更多的律管測(cè)音結(jié)果也驗(yàn)證了使用這一公式進(jìn)行律管音高的推算，可以得出與實(shí)際吹奏音高符合的結(jié)果?？梢哉f，在一定程度上解決了氣溫對(duì)律管音高影響難以估算的問題，提升了管律律高計(jì)算的準(zhǔn)確性。但需要說明的是，管律研究的復(fù)雜性在于實(shí)際吹奏的音高除溫度外，還受到吹氣角度、氣流速度、口唇遮蔽管口的幅度的影響，本文所使用的實(shí)驗(yàn)及驗(yàn)證的樣本全部為長徑比在26∶1以上，內(nèi)徑在11mm以下的無豁口的黃鐘律管，這種形制比例下，對(duì)氣流角度和速度的要求很高，變化幅度較小。但在長徑比小于20∶1，內(nèi)徑更大的律管上，口唇位置變化導(dǎo)致的音高變化已超過小二度，這將使公式的計(jì)算值與實(shí)測(cè)值的差異加大。這也是目前所有管律聲學(xué)公式均未能完全解決的一個(gè)問題，也說明對(duì)于管律的研究僅靠數(shù)理推算有其自身的局限性，還需配合制管驗(yàn)聲，算驗(yàn)相合，方獲真知。