金屬/陶瓷功能梯度懸臂板的振動(dòng)抑制研究

呂書(shū)鋒， 李宏潔， 張 偉， 宋曉娟

(1. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 力學(xué)系，呼和浩特 010051；2. 北京工業(yè)大學(xué) 材料與制造學(xué)部 機(jī)械結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)與強(qiáng)度北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100124；3. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，呼和浩特 010051)

航空航天領(lǐng)域中的很多結(jié)構(gòu)都可以簡(jiǎn)化為懸臂板模型，如飛機(jī)機(jī)翼、火箭翼和太陽(yáng)能帆板等，在外部激勵(lì)作用下，這類(lèi)結(jié)構(gòu)極易發(fā)生由于振動(dòng)導(dǎo)致的失穩(wěn)等問(wèn)題，對(duì)飛行穩(wěn)定性和工作精度等造成重大影響。功能梯度材料(functionally graded material ，F(xiàn)GM)具有較高的強(qiáng)度和韌性，可作為飛行器的蒙皮材料以提高壁板結(jié)構(gòu)的剛度，再結(jié)合有效的控制策略可以極大改善懸臂板結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性。因此，開(kāi)展功能梯度懸臂板結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性及振動(dòng)抑制研究具有非常重要的理論和工程應(yīng)用價(jià)值。許多學(xué)者已經(jīng)對(duì)FGM板殼的振動(dòng)特性問(wèn)題進(jìn)行了研究。尹碩輝等[1]基于一階剪切變形板理論，采用等幾何有限元法，討論了體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、邊界條件及長(zhǎng)厚比對(duì)金屬陶瓷功能梯度板自由振動(dòng)頻率的影響。周鳳璽等[2]運(yùn)用打靶法數(shù)值求解了功能梯度矩形板自由振動(dòng)特性。Yang等[3-4]運(yùn)用一維微分求積法、伽遼金法，分析了熱環(huán)境下初始應(yīng)力功能梯度板的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)特性，以及在分布脈沖橫向荷載作用下初始應(yīng)力功能梯度矩形薄板在彈性基礎(chǔ)上的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。Huang等[5]基于高階剪切變形板理論，研究了帶有壓電層的功能梯度板在熱環(huán)境下的非線性振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)。Zhang等[6]采用Rayleigh-Ritz方法，分析了具有復(fù)雜邊界條件功能梯度矩形板的振動(dòng)特性。Katili等[7]基于有限單元方法研究了功能梯度材料板的自由振動(dòng)特性。Talha等[8]研究了功能梯度板的隨機(jī)振動(dòng)特性。

在現(xiàn)有研究中，對(duì)抑制功能梯度材料板振動(dòng)的研究大多集中在運(yùn)用速度反饋控制器、機(jī)械載荷反饋控制器、LQR控制器、以及自適應(yīng)模糊控制器等策略進(jìn)行振動(dòng)控制，采用魯棒控制器開(kāi)展功能梯度懸臂板振動(dòng)抑制的研究較少。由于建模方法、測(cè)量誤差或外部擾動(dòng)影響，智能結(jié)構(gòu)模型總會(huì)存在各種不確定性，這將會(huì)直接影響振動(dòng)主動(dòng)控制的效果，相比其他控制方法，魯棒控制可以在保證系統(tǒng)穩(wěn)定的條件下，控制系統(tǒng)對(duì)外部擾動(dòng)具有相當(dāng)大的穩(wěn)定裕度。因此本文運(yùn)用魯棒控制策略，研究功能梯度懸臂板的振動(dòng)抑制問(wèn)題，其創(chuàng)新之處首先在于考慮了系統(tǒng)存在不確定性，其次是引入了全維狀態(tài)觀測(cè)器對(duì)魯棒控制策略進(jìn)行改進(jìn)，以達(dá)到抑制振動(dòng)的作用。

1 功能梯度懸臂板的動(dòng)力學(xué)方程

假設(shè)該懸臂板長(zhǎng)為a，寬為b，厚為h。在板的上下表面分別貼有厚度為hp的壓電片，中間層的Ti-6Al-4V/Aluminum oxide(鈦合金/氧化鋁)沿厚度方向按體積分?jǐn)?shù)冪律進(jìn)行梯度分布?？紤]氣動(dòng)載荷作用下，附有作動(dòng)器和傳感器的功能梯度懸臂板模型如圖1所示。

由于功能梯度板組成材料具有溫度依賴(lài)性，因此材料有效性能是關(guān)于溫度和坐標(biāo)z的函數(shù)，具體表示為

Peff(T,z)=PM(T)VM(z)+PC(T)[1-VM(z)]

(1)

式中：Peff為功能梯度材料的有效性能；VM為T(mén)i-6Al-4V的體積分?jǐn)?shù)；PC和PM分別為Aluminum oxide和Ti-6Al-4V的熱物參數(shù)，隨溫度的變化規(guī)律為[24]

P=P0(P-1T-1+1+P1T+P2T2+P3T3)

(2)

式中，P0，P-1，P1，P2和P3為溫度相關(guān)系數(shù)。

VM符合冪率分布形式為

(3)

式中，n(0≤n≤∞)為體積分?jǐn)?shù)指數(shù)，在體積分?jǐn)?shù)指數(shù)不同的條件下，VM隨無(wú)量綱厚度的變化由圖2給出。

由圖2可以發(fā)現(xiàn)，隨著體積分?jǐn)?shù)指數(shù)n的增加，Ti-6Al-4V的體積分?jǐn)?shù)隨之下降。當(dāng)n=0時(shí)，懸臂板由Ti-6Al-4V材料組成，而當(dāng)n趨近于無(wú)窮時(shí)，懸臂板由Aluminum oxide材料組成。

應(yīng)用經(jīng)典層合板理論構(gòu)建功能梯度復(fù)合懸臂板位移場(chǎng)[25]

(4a)

(4b)

w(x,y,z,t)=w0(x,y,t)

(4c)

式中，u0，v0，w0為中面沿x，y，z坐標(biāo)方向的任意點(diǎn)的位移分量。

FGM懸臂板的位移-應(yīng)變關(guān)系可表示為

(5)

忽略結(jié)構(gòu)的彎扭耦合效應(yīng)，功能梯度懸臂板的本構(gòu)方程可表示為

(6)

式中：Qij(z)(i，j=1，2，6)為功能梯度復(fù)合材料懸臂板的剛度矩陣；α11=α22=αf(T,z)為功能梯度復(fù)合材料懸臂板的熱膨脹系數(shù)；ΔT=T-T0為無(wú)熱應(yīng)變T0的參考溫度的溫度增量。

在忽略熱效應(yīng)和磁效應(yīng)的情況下，給出壓電片的本構(gòu)方程為

(7a)

Ei=-hklεk+βijDj

(7b)

利用Hamilton原理推導(dǎo)功能梯度懸臂板的運(yùn)動(dòng)微分方程可表示為

(8)

式中：K為動(dòng)能；U為勢(shì)能；δW為外力虛功。

功能梯度懸臂板的動(dòng)能表示為

(9)

式中，I=ρh+2ρphp，ρ和ρp分別為功能梯度懸臂板和壓電片的密度。

FGM懸臂板的應(yīng)力勢(shì)能具體表達(dá)式為

(10)

假設(shè)壓電作動(dòng)器和傳感器是各向同性材料，具有相同的幾何參數(shù)。因此，將式(7)代入壓電片的應(yīng)力勢(shì)能δUP表達(dá)式為[26]

(11)

氣動(dòng)力作用下功能梯度懸臂板的虛功δw表示為[27-28]

(12)

(13)

利用變分法，將式(9)～式(12)代入式(8)，可以得到以下5個(gè)表達(dá)式

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

其中，

式中：上標(biāo)a和ap均為壓電作動(dòng)器；上標(biāo)s和sp均為壓電傳感器。

考慮到結(jié)構(gòu)以橫向振動(dòng)為主，本文主要研究了功能梯度懸臂板的橫向線性振動(dòng)，為方便求解控制方程，引入如下無(wú)量綱變量

(19)

當(dāng)滿足懸臂板邊界條件下，給出如下二階橫向振動(dòng)位移模態(tài)函數(shù)

w0=w1(t)X1(x)Y1(y)+w2(t)X2(x)Y2(y)

(20)

式中，w1(t)和w2(t)分別為一階和二階振動(dòng)模態(tài)的無(wú)量綱幅值。

利用Galerkin方法，得到懸臂板的兩自由度運(yùn)動(dòng)控制方程

(21)

式中：M為系統(tǒng)的質(zhì)量矩陣；Z為系統(tǒng)的阻尼矩陣；K為系統(tǒng)的剛度矩陣；F為系統(tǒng)外部載荷矩陣。

2 功能梯度懸臂板的主動(dòng)振動(dòng)控制

2.1 壓電傳感器的建模

壓電傳感器作為實(shí)際控制系統(tǒng)所需的重要元件，可為控制器提供與系統(tǒng)響應(yīng)相關(guān)的控制信號(hào)，從而決定控制系統(tǒng)性能，因此有必要對(duì)壓電傳感器進(jìn)行建模。

定義一個(gè)狀態(tài)變量X，表達(dá)式如下

(22)

將懸臂板的兩自由度運(yùn)動(dòng)控制方程寫(xiě)為狀態(tài)變量形式

(23)

式中，

式(23)描述了在輸入Va(t)作用下系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的演化。同樣運(yùn)用狀態(tài)變量X來(lái)描述系統(tǒng)輸出，即對(duì)壓電傳感器建模，則輸出方程

Y=[C]X

(24)

式中：Y為反饋信號(hào)；C為輸出系數(shù)矩陣。

2.2 魯棒控制器的設(shè)計(jì)

本節(jié)將設(shè)計(jì)魯棒控制器來(lái)抑制FGM懸臂板的振動(dòng)。由于模型中機(jī)電耦合的復(fù)雜性，控制系統(tǒng)的參數(shù)一般存在一定的不確定性。因此，在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，有必要考慮參數(shù)不確定性的影響，則控制方程如下

(25)

Y=[C]X

(26)

式中，ΔA和ΔB為系統(tǒng)參數(shù)不確定部分，具體表達(dá)式如下

(27)

式中：M，E1和E2為具有適當(dāng)維數(shù)的常數(shù)矩陣；G(t)為滿足以下條件的時(shí)變矩陣函數(shù)

G(t)TG(t)≤I

(28)

狀態(tài)反饋控制器如下所示

Va(t)=-KaX(t)

(29)

式中：X(t)為可測(cè)的狀態(tài)變量；Ka為狀態(tài)反饋控制器的反饋增益矩陣。

由于不可能測(cè)量所有的狀態(tài)變量，狀態(tài)反饋控制器的控制效率將受到影響，為此在反饋封閉系統(tǒng)中引入了全維狀態(tài)觀測(cè)器。全維狀態(tài)觀測(cè)器的表達(dá)式如下[29]

(30)

式中：X(t)0為觀測(cè)狀態(tài)變量；L為觀測(cè)器增益矩陣。

將全維狀態(tài)觀測(cè)器引入到狀態(tài)反饋控制器中，式(29)可以改寫(xiě)為

Va(t)=-KaX(t)0

(31)

利用狀態(tài)矢量誤差矩陣e=X(t)-X(t)0，由式(25)、式(26)、式(30)得到閉環(huán)回路控制方程

(32)

(33)

為實(shí)現(xiàn)對(duì)懸臂板振動(dòng)的抑制，需求解式(32)、式(33)中的反饋增益矩陣與觀測(cè)增益矩陣，為此引入定理1進(jìn)行求解。

定理1如果存在矩陣Mi(i=1, 2, 3 )，Ni(i=1, 2, 3 )和正定標(biāo)量εi(i=1～5 )，且滿足下列矩陣不等式，則系統(tǒng)的控制方程是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

(34)

在設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)，總是需要保證系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定。由于滿足定理1的條件等價(jià)于系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的，為此需要運(yùn)用李雅普諾夫直接法結(jié)合引理1來(lái)證明該系統(tǒng)滿足定理1的條件，且趨于漸進(jìn)穩(wěn)定。

證明利用反證法，假設(shè)振動(dòng)控制系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的，構(gòu)建一個(gè)標(biāo)量函數(shù)，具體表示為

V=eTQe+XTPX

(35)

(36)

引理1對(duì)于合適維度的定常矩陣H與R，若有任意ε>0，那么下列不等式成立

(37)

將式(27)、式(32)以及式(33)分別代入式(36)，并利用引理1與式(28)，可以得到如下不等式矩陣方程

(38)

其中，

ξ=P(A-BKa)+(A-BKa)TP+

P[(ε3+ε5)MMT+ε4BBT]P+

(39)

將式(39)前后乘以P-1，利用Schur補(bǔ)引理，可得如下形式

(40)

證明完畢。

2.3 線性二次型最優(yōu)控制

LQR是一種最優(yōu)化控制方法。在最優(yōu)控制中，反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)目的是為了使得與需要的系統(tǒng)響應(yīng)成比例的性能指標(biāo)最小化。從代數(shù)的角度來(lái)說(shuō)，可定義響應(yīng)的二次型作為性能指標(biāo)，這樣將在很大程度上簡(jiǎn)化最優(yōu)化問(wèn)題。性能指標(biāo)為

(41)

式中：Q為狀態(tài)變量的加權(quán)矩陣；R為輸入變量的加權(quán)矩陣。

結(jié)合式(23)、式(24),最優(yōu)控制的輸入表示為

U(t)=-GLX(t)

(42)

式中，GL為反饋增益矩陣，具體表達(dá)如下

GL=R-1BTλ(t)

(43)

式中，λ(t)為拉格朗日乘子矢量。

假設(shè)：

λ(t)=PX(t)

(44)

可以得到反饋增益矩陣GL=R-1BTP。其中，P為待定矩陣，滿足如下Riccati方程

PA+ATP-PBR-1BTP+CTQC=0

(45)

由于可能存在不完全可控的系統(tǒng)狀態(tài)，二次型性能指標(biāo)函數(shù)無(wú)法達(dá)到最優(yōu)。因此需要驗(yàn)證系統(tǒng)的可控性。所謂系統(tǒng)狀態(tài)完全可控或可控是指對(duì)于一個(gè)狀態(tài)變量X屬于n維實(shí)空間的線性定常系統(tǒng)，若在tf>t0有限的時(shí)間內(nèi)，存在一個(gè)能在tf內(nèi)使n維實(shí)空間任意狀態(tài)X(t0)轉(zhuǎn)移到X(tf)的控制輸入U(xiǎn)(tf,t0)。系統(tǒng)狀態(tài)完全可控的條件是如下n維的可控矩Qc陣的秩為n

Qc=[BABA2B…An-1B]

(46)

3 算例分析

由Ti-6Al-4V/Aluminum oxide組成的FGM懸臂板，長(zhǎng)為a=1 m，寬為b=1 m，板厚為h=0.004 m，壓電片厚為hp=0.1 mm。Aluminum oxide材料常數(shù)：ρ=3 750 kg/m3，其溫度相關(guān)系數(shù)如表1所示。Ti-6Al-4V材料常數(shù)：ρ=4 429 kg/m3其溫度相關(guān)系數(shù)如表2所示。G_1195N壓電作動(dòng)器/傳感器材料常數(shù)為：Ep=63×109N/m2，ρp=7 600 kg/m3，νp=0.3，β33=6.667×107m/F，h31=h32=-39.37×108V/m，d31=d32=254×10-12m/V。

表1 Aluminum oxide的溫度相關(guān)系數(shù)

表2 Ti-6Al-4V的溫度相關(guān)系數(shù)

3.1 算例對(duì)比

在相同參數(shù)下，將含壓電層的FGM懸臂板與He等研究中的前兩階固有頻率進(jìn)行了比較分析。板的長(zhǎng)和寬均為0.4 m，厚度為5 mm，壓電片厚度為0.1 mm。懸臂板的前二階固有頻率如表3所示。由表3中可知，本文所得結(jié)果與He等的研究結(jié)果基本一致。

表3 功能梯度懸臂板一階與二階固有頻率

3.2 不同參數(shù)對(duì)懸臂固有頻率的影響

本節(jié)采用數(shù)值方法研究體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和長(zhǎng)寬比等不同參數(shù)對(duì)FGM懸臂板動(dòng)力學(xué)特性的影響。表4給出了不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和長(zhǎng)寬比下的FGM懸臂板前兩階無(wú)量綱固有頻率值。

表4 不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和長(zhǎng)寬比下FGM懸臂板無(wú)量綱固有頻率

從表4可以得出，對(duì)于不同的體積分?jǐn)?shù)指數(shù)下，F(xiàn)GM懸臂板的一階與二階無(wú)量綱固有頻率隨體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的增加而增大。這是由于隨著體積分?jǐn)?shù)指數(shù)n增大，Aluminum oxide體積分?jǐn)?shù)增高，故懸臂板剛度不斷增大，進(jìn)而FGM懸臂板的一階與二階固有頻率增加。在同質(zhì)量情況下，三種不同的長(zhǎng)寬比(a/b=1.0,a/b=1.5和a/b=2.0)，板的一階與二階無(wú)量綱固有頻率隨長(zhǎng)寬比的增加而減小，這是因?yàn)殡S著長(zhǎng)寬比的增加，結(jié)構(gòu)的剛度減小，進(jìn)而造成板的固有頻率降低。

3.3 不同參數(shù)下控制器的有效性

本節(jié)在參數(shù)不同的條件下，驗(yàn)證魯棒控制器的有效性。圖3和圖4分別給出了長(zhǎng)寬比a/b=1.0，體積分?jǐn)?shù)指數(shù)n=0.5,n=1.0和n=5.0時(shí)，功能梯度懸臂板振動(dòng)控制前后的一階無(wú)量綱時(shí)間歷程圖和在兩種控制器下的控制電壓圖。

從圖3可以看出，當(dāng)體積分?jǐn)?shù)指數(shù)為n=0.5,n=1.0和n=5.0，所設(shè)計(jì)的魯棒控制與LQR相比，系統(tǒng)衰減到穩(wěn)定狀態(tài)所需時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)，控制效果相對(duì)較弱。但相比于控制前的一階模態(tài)的無(wú)量綱振動(dòng)幅值，施加控制策略后的無(wú)量綱振動(dòng)幅值在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后均呈衰減趨勢(shì)，直至收斂為零。

從圖4可以看出，所設(shè)計(jì)的魯棒控制器的控制電壓比LQR的控制電壓小，即控制作用的成本相對(duì)較小，整個(gè)控制過(guò)程中所消耗的能量相對(duì)較低。原因在于采用LQR控制的系統(tǒng)衰減到穩(wěn)定狀態(tài)所用的時(shí)間短，但是這是以犧牲控制電壓為代價(jià)的，從而增加控制成本。

綜合圖3和圖4可以得出，在不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)下，所設(shè)計(jì)的控制器能夠有效地抑制FGM懸臂板在氣動(dòng)力下的振動(dòng)幅值。

圖5和圖6分別給出了體積分?jǐn)?shù)指數(shù)n=5，長(zhǎng)寬比a/b=0.75，a/b=1.00和a/b=1.50時(shí)，功能梯度懸臂板振動(dòng)控制前后的一階無(wú)量綱時(shí)間歷程圖和在兩種控制器下的控制電壓圖。

從圖5和圖6可以看出，當(dāng)長(zhǎng)寬比為a/b=0.75,a/b=1.00和a/b=1.50時(shí)，所設(shè)計(jì)的魯棒控制與LQR相比，控制響應(yīng)的速率相對(duì)較慢，控制效果相對(duì)較弱，但所需的輸入控制電壓相對(duì)較小，即控制過(guò)程所耗能量相對(duì)較低。且相比于控制前一階模態(tài)的無(wú)量綱振動(dòng)幅值，施加控制策略后的無(wú)量綱振動(dòng)幅值在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后均呈現(xiàn)收斂趨勢(shì)，直至收斂為零。即改變結(jié)構(gòu)長(zhǎng)寬比，所設(shè)計(jì)的控制器仍可以有效地抑制FGM懸臂板在氣動(dòng)力下的振動(dòng)幅值。

FGM材料溫度相關(guān)性在FGM板振動(dòng)問(wèn)題中起重要作用，因此，有必要討論溫度變化的影響。圖7和圖8分別給出了當(dāng)體積分?jǐn)?shù)指數(shù)n=5，溫度T=300 K，T=400 K和T=500 K情況下，控制前后功能梯度懸臂板一階無(wú)量綱時(shí)間歷程圖和在兩種控制器下的控制電壓圖。

從圖7和圖8可以看出，在溫度參數(shù)不同的情況下，所設(shè)計(jì)的控制器相較于LQR，其控制效果較弱但所需要的輸入控制電壓較少。應(yīng)用控制策略后的無(wú)量綱振幅均呈遞減趨勢(shì)至趨近于零，由此可見(jiàn)，考慮溫度影響時(shí)，所設(shè)計(jì)的控制器可以有效地抑制FGM懸臂板在氣動(dòng)力下的振動(dòng)幅值。

3.4 材料參數(shù)不確定下控制器的有效性

本節(jié)在考慮材料參數(shù)不確定情況下，驗(yàn)證所設(shè)計(jì)控制器的有效性。假設(shè)功能梯度懸臂板與壓電層的材料參數(shù)值有一定的偏差，其中壓電材料的密度ρp、彈性模量Ep和功能梯度懸臂板的彈性模量E1，E2，剪切模量G12均為原材料參數(shù)值的90%。

圖9和圖10分別給出了材料參數(shù)不確定情況下功能梯度懸臂板一階無(wú)量綱時(shí)間歷程圖，以及在兩種控制器下的控制電壓圖。

從圖9和圖10可以看出，當(dāng)材料參數(shù)不確定時(shí)，與原系統(tǒng)相比，施加控制魯棒策略后，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間變長(zhǎng)，控制速率降低，需要的輸入控制電壓逐漸減少，系統(tǒng)的控制效果明顯減弱，無(wú)量綱振幅仍呈衰減趨勢(shì)，最終收斂至零。而施加LQR后，控制電壓無(wú)變化，控制器失效。因此，在材料參數(shù)不確定情況下，當(dāng)前設(shè)計(jì)的魯棒控制器可以抑制功能梯度懸臂板的振動(dòng)。

4 結(jié) 論

本文提出了一種抑制金屬/陶瓷功能梯度懸臂板振動(dòng)的魯棒控制方法。運(yùn)用Hamilton原理和Galerkin方法，推導(dǎo)出功能梯度懸臂板受氣動(dòng)力作用的動(dòng)力學(xué)方程，研究了體積分?jǐn)?shù)指數(shù)和長(zhǎng)寬比對(duì)FGM懸臂板振動(dòng)特性的影響。算例分析表明，隨著體積分?jǐn)?shù)指數(shù)的增加，功能梯度懸臂板的一階與二階無(wú)量綱固有頻率增大。當(dāng)改變結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)時(shí)，功能梯度懸臂板的一階與二階無(wú)量綱固有頻率隨著板長(zhǎng)寬比的增大而減小。

基于得到的動(dòng)力學(xué)方程，構(gòu)造全維狀態(tài)觀測(cè)器，設(shè)計(jì)魯棒控制器，形成控制系統(tǒng)閉合回路，從而達(dá)到抑制FGM懸臂板振動(dòng)的目的。在控制策略上，引入LQR，并分析兩種控制器的控制效率。同時(shí)通過(guò)比較施加控制策略前后懸臂板的一階無(wú)量綱時(shí)間歷程圖，發(fā)現(xiàn)所提出的控制器在不同體積分?jǐn)?shù)指數(shù)、長(zhǎng)寬比、溫度以及材料參數(shù)不確定情況下均能有效抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)幅值。且所設(shè)計(jì)的魯棒控制器的控制電壓比LQR的控制電壓小，即控制作用的成本相對(duì)較小，整個(gè)控制過(guò)程中所消耗的能量相對(duì)較低。