門式框架結(jié)構(gòu)平面外的動(dòng)力失穩(wěn)試驗(yàn)研究

沈 超， 張 愿， 李遇春

(同濟(jì)大學(xué) 土木工程學(xué)院, 上海 200092)

門式框架是一種常見的工程結(jié)構(gòu)型式，門式框架橫梁可能受到周期荷載的作用，如電機(jī)轉(zhuǎn)子的不平衡產(chǎn)生的周期荷載等。當(dāng)周期荷載的頻率約等于結(jié)構(gòu)(或子結(jié)構(gòu))自振頻率的兩倍時(shí)，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)可能發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)或參數(shù)共振[1]。與普通共振[2]不同，參數(shù)共振屬于非線性共振現(xiàn)象，外周期荷載作用方向與結(jié)構(gòu)振動(dòng)方向垂直，參數(shù)共振時(shí)，微小的激勵(lì)會(huì)引發(fā)大幅度的動(dòng)力響應(yīng)，其危害性巨大。門式框架結(jié)構(gòu)一般在其平面內(nèi)具有比較大的剛度，但其平面外剛度一般較小，更容易發(fā)生參數(shù)共振或動(dòng)力失穩(wěn)。

關(guān)于結(jié)構(gòu)的參數(shù)共振研究，Xie、Bolotin[3]與Majorana等[4]研究了不同支撐條件下單跨梁的參數(shù)振動(dòng)問題；Mishra等[5]研究了橫向裂紋梁的參數(shù)失穩(wěn)問題；Fu[6]研究了耦合擺梁系統(tǒng)的參數(shù)共振問題，并給出其動(dòng)力學(xué)軌跡；Carboni等[7]等研究了在面內(nèi)激勵(lì)的非線性壓電梁的參數(shù)共振問題；Catellani等[8]采用Galerkin法分析了具有幾何缺陷的圓柱殼參數(shù)不穩(wěn)定性問題；鐘子林等[9]對(duì)矩形薄板的參數(shù)共振失穩(wěn)進(jìn)行了理論與試驗(yàn)分析。

當(dāng)結(jié)構(gòu)由多個(gè)構(gòu)件組成時(shí)，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生所謂的自參數(shù)共振。Tondl等[10]給出了自參數(shù)共振的定義，當(dāng)結(jié)構(gòu)由兩個(gè)子系統(tǒng)組成時(shí)：一個(gè)子系統(tǒng)稱為主系統(tǒng)；另一個(gè)子系統(tǒng)稱為次系統(tǒng)，主系統(tǒng)在外部周期荷載的作用下產(chǎn)生振動(dòng)，那么主系統(tǒng)的振動(dòng)將作為次系統(tǒng)的參數(shù)激勵(lì)，這種次系統(tǒng)在主系統(tǒng)振動(dòng)激勵(lì)下的參數(shù)共振稱為自參數(shù)共振。在自參數(shù)共振系統(tǒng)中，當(dāng)次系統(tǒng)的固有頻率約為主系統(tǒng)固有頻率的1/2時(shí)，自參數(shù)系統(tǒng)中存在著自參數(shù)內(nèi)共振現(xiàn)象，即當(dāng)外力的激振頻率接近主系統(tǒng)的固有頻率時(shí)，主系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)普通的共振，而主系統(tǒng)的共振會(huì)激發(fā)次系統(tǒng)的參數(shù)共振，這就是所謂的自參數(shù)內(nèi)共振，自參數(shù)內(nèi)共振是自參數(shù)振動(dòng)中最危險(xiǎn)的一種，可能給結(jié)構(gòu)系統(tǒng)帶來災(zāi)難性的后果。Xia等[11]研究了斜拉梁系統(tǒng)的自參數(shù)振動(dòng)；陳丕華等[12]對(duì)斜拉索的面內(nèi)參數(shù)振動(dòng)進(jìn)行了理論和試驗(yàn)研究；王濤等[13]對(duì)大跨度鐵路斜拉橋索-梁的共振與參數(shù)共振問題進(jìn)行了數(shù)值模擬分析；Li等[14-15]利用數(shù)值和試驗(yàn)方法研究了框架結(jié)構(gòu)的自參數(shù)共振問題。

現(xiàn)有研究主要集中在梁、殼體和斜拉索橋等結(jié)構(gòu)，且多為平面內(nèi)失穩(wěn)。關(guān)于門式框架結(jié)構(gòu)平面外的動(dòng)力失穩(wěn)(參數(shù)共振)問題的研究尚未見到相關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道。本文擬采用試驗(yàn)方法研究門式框架結(jié)構(gòu)平面外的動(dòng)力失穩(wěn)問題，鑒于目前的參數(shù)振動(dòng)試驗(yàn)一般采用接觸式的激振器，約束了結(jié)構(gòu)的位移，難以激發(fā)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的內(nèi)共振現(xiàn)象，本文將采用一種新型的非接觸式激振方法用于激發(fā)門式框架的自參數(shù)內(nèi)共振，通過試驗(yàn)分析門式框架結(jié)構(gòu)出平面外的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)的發(fā)生機(jī)理并探索其產(chǎn)生共振的不穩(wěn)定區(qū)域，可為工程設(shè)計(jì)提供參考依據(jù)。

1 試驗(yàn)研究

1.1 試驗(yàn)?zāi)Ｐ驮O(shè)計(jì)

本試驗(yàn)擬研究門式框架結(jié)構(gòu)出平面外自參數(shù)內(nèi)共振和非內(nèi)共振兩種共振工況。試驗(yàn)采用鉸接式門式框架(見圖1，坐標(biāo)如圖1所示)，即門式框架橫梁的兩端與框架柱鉸接， 將門式框架橫梁視為主系統(tǒng)，兩個(gè)柱視為次系統(tǒng)。設(shè)門式框架的橫梁與柱的自振頻率分別為fHL與fSL，作用在橫梁中點(diǎn)上的周期荷載頻率為f，當(dāng)f=2fSL，但fHL≠2fSL時(shí)，橫梁傳遞給柱的軸力頻率為柱彎曲振動(dòng)頻率的二倍，這時(shí)柱將發(fā)生z方向自參數(shù)共振(為非內(nèi)共振情形)；當(dāng)f=fHL=2fSL時(shí)，外激勵(lì)荷載將激發(fā)橫梁的普通共振，由橫梁的普通共振導(dǎo)致柱在z方向的參數(shù)共振，此為內(nèi)共振情形。

為研究平面外自參數(shù)共振特性，要保證主系統(tǒng)的受迫振動(dòng)和其引起的次系統(tǒng)的參數(shù)共振不在同一平面內(nèi)，本試驗(yàn)設(shè)計(jì)了如圖1所示的門式框架結(jié)構(gòu)模型，其中橫梁(以下簡(jiǎn)稱HL)和兩個(gè)柱(以下簡(jiǎn)稱SL)所在平面垂直。HL和SL采取鉸接方式，連接處用合頁連接，SL可沿HL的端部截面自由旋轉(zhuǎn)。SL的另一端通過夾具固定在剛性底板上，模擬固支邊界條件。選用不銹鋼作為模型材料，其密度為7 850 kg/m3，泊松比ν=0.3，彈性模量E=1.549×1011Pa。

自參數(shù)內(nèi)共振和非內(nèi)共振模型分別如圖1(a)及圖1(b)所示。在圖1(a)中為了保證HL局部(y方向)振動(dòng)頻率fHL大致為SL出平面外(z方向)振動(dòng)頻率fSL的兩倍，在HL中間設(shè)置了36 g的磁鐵作為集中質(zhì)量進(jìn)行調(diào)頻，可得fHL≈2fSL；在圖1(b)中為了使fHL≠2fSL，在兩個(gè)SL的頂部分別設(shè)置144 g的集中質(zhì)量(磁鐵)調(diào)頻，可使fHL遠(yuǎn)離2fSL。

1.2 試驗(yàn)設(shè)備

本試驗(yàn)的工作設(shè)備包括激振系統(tǒng)和數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)兩個(gè)部分，試驗(yàn)設(shè)備與模型示意圖如圖2所示，試驗(yàn)設(shè)備照片如圖3所示。

1.2.1 激振系統(tǒng)

試驗(yàn)的激勵(lì)信號(hào)由信號(hào)發(fā)生器(型號(hào)為：EM32003B)產(chǎn)生，該信號(hào)發(fā)生器有較高的數(shù)字調(diào)頻分辨率和頻率穩(wěn)定度，主波形輸出頻率為1 μHz～5 MHz，擁有多種基本波形，本試驗(yàn)中采用正弦波；正弦信號(hào)被發(fā)送給功率放大器(型號(hào)為：GF100)放大后，提供給激振器使電磁激振器產(chǎn)生激振力；為保證主系統(tǒng)振動(dòng)時(shí)位移不受激勵(lì)裝置約束，本試驗(yàn)中采用DJ-20型非接觸式電磁激振器對(duì)橫梁中點(diǎn)進(jìn)行非接觸激振。本試驗(yàn)中非接觸式的電磁力難以直接測(cè)量，本文可測(cè)量激振點(diǎn)處的位移，可將這個(gè)位移看成激勵(lì)位移，事實(shí)上可根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)原理，可將這個(gè)激勵(lì)位移轉(zhuǎn)化成等效的激勵(lì)力。

1.2.2 數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)

試驗(yàn)采用激光位移傳感器(型號(hào)為：HL-G112-S-J)進(jìn)行測(cè)點(diǎn)的位移信號(hào)捕捉，位移信號(hào)由數(shù)據(jù)采集儀(型號(hào)為：INV306N)采集后傳輸至電腦，對(duì)應(yīng)使用的數(shù)據(jù)處理軟件為Coinv DASP V10(以下簡(jiǎn)稱DASP)，DASP是一個(gè)數(shù)據(jù)采集和信號(hào)處理軟件，具有波形、頻譜分析以及數(shù)字信號(hào)處理等多種功能，通過DASP可以實(shí)時(shí)觀測(cè)和記錄模型的振動(dòng)位移數(shù)據(jù)。試驗(yàn)中可同時(shí)測(cè)量橫梁中點(diǎn)y方向的位移(可看成位移激勵(lì))及柱中點(diǎn)z方向的位移。

1.3 模態(tài)分析

開始試驗(yàn)前需對(duì)模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行模態(tài)分析，研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性。本文采用ANSYS軟件進(jìn)行理論模態(tài)分析和試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析結(jié)合的方式，對(duì)比驗(yàn)證得到各模態(tài)的模態(tài)振型、固有頻率和阻尼比。

1.3.1 ANSYS計(jì)算模態(tài)

使用ANSYS建立模型，進(jìn)行模態(tài)分析，自參數(shù)內(nèi)共振模型和自參數(shù)非共振模型的分析結(jié)果如圖4和圖5所示， 兩個(gè)模型的一階振型均為出平面外(z方向)整體振動(dòng)(實(shí)為柱的振動(dòng))，二階振型為橫梁上下(y方向)局部振動(dòng)。對(duì)應(yīng)的計(jì)算頻率如圖中所示。

1.3.2 試驗(yàn)?zāi)B(tài)

用“自由衰減法”測(cè)定門式框架各部分的自振頻率及阻尼比系數(shù)，即在結(jié)構(gòu)上施加一個(gè)初位移，使結(jié)構(gòu)發(fā)生自由衰減振動(dòng)。根據(jù)ANSYS計(jì)算的模態(tài)結(jié)果，分別對(duì)結(jié)構(gòu)施加水平初位移和對(duì)HL施加豎向初位移測(cè)量一階、二階自振頻率及阻尼比系數(shù)。在HL和SL中點(diǎn)處放置激光位移計(jì)，記錄衰減振動(dòng)位移時(shí)程曲線，對(duì)位移時(shí)程曲線進(jìn)行FFT分析后，可得到的頻響函數(shù)曲線，在頻響函數(shù)曲線中讀取的振幅峰值對(duì)應(yīng)的頻率即結(jié)構(gòu)的自振頻率；根據(jù)衰減位移曲線可得到對(duì)應(yīng)阻尼比系數(shù)，具體測(cè)量方法可參見2017年Li等的研究。經(jīng)過五次測(cè)量，得到實(shí)測(cè)頻率的平均值，將兩模型的實(shí)測(cè)值與ANSYS計(jì)算的理論值列于表1和表2，可見頻率的實(shí)測(cè)值與理論值吻合度良好。

表1 自參數(shù)內(nèi)共振模型自振頻率與阻尼比

表2 自參數(shù)非內(nèi)共振模型自振頻率與阻尼比

2 試驗(yàn)結(jié)果

2.1 自參數(shù)內(nèi)共振試驗(yàn)

本模型中HL作為主系統(tǒng)，SL作為次系統(tǒng)，橫梁自振頻率比較接近二倍的柱自振頻率，即fHL≈2fSL。試驗(yàn)時(shí)調(diào)節(jié)支架并固定電磁激振器，使激勵(lì)源正對(duì)橫梁中部，并在HL和SL的中點(diǎn)處分別放置激光位移計(jì)，記錄位移數(shù)據(jù)。根據(jù)頻率測(cè)量結(jié)果，設(shè)置激振頻率為f=7.50 Hz，即滿足f≈fHL≈2fSL，保持頻率不變，逐漸增大激勵(lì)，直到結(jié)構(gòu)發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)，記錄下失穩(wěn)的整個(gè)過程。圖6～圖8為模型動(dòng)力失穩(wěn)過程中HL和SL的位移時(shí)程曲線，因?yàn)镠L的位移響應(yīng)幅值在之后近似保持穩(wěn)定在3.13 mm左右，此處僅展示0～15 s的曲線，并截取0～2 s曲線如圖7所示，從圖7可以明顯看到開始時(shí)HL的位移響應(yīng)幅值在短時(shí)間內(nèi)線性增長，為典型的普通共振曲線，表明HL在外部激勵(lì)作用下發(fā)生了普通共振，將共振的穩(wěn)態(tài)激勵(lì)振幅3.13 mm(見圖7)可看成是SL參數(shù)共振的位移激勵(lì)幅值。圖8顯示在HL共振產(chǎn)生的位移激勵(lì)作用下，SL的位移響應(yīng)非線性(指數(shù))增長，在SL的位移時(shí)程曲線中截取30個(gè)周期，計(jì)算出SL的響應(yīng)頻率為3.75 Hz，其響應(yīng)頻率為激勵(lì)頻率f=7.50 Hz的一半，說明SL發(fā)生了主參數(shù)共振。且SL的位移響應(yīng)增長經(jīng)歷了較長一段時(shí)間，在57 s后幅值達(dá)到穩(wěn)定，開始進(jìn)行穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)，這種穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)稱為參數(shù)共振的“極限環(huán)運(yùn)動(dòng)”。整個(gè)自參數(shù)內(nèi)共振失穩(wěn)的過程可以見鏈接視頻https:∥www.bilibili.com/video/BV12A411g71w。

2.2 自參數(shù)非內(nèi)共振試驗(yàn)

與自參數(shù)內(nèi)共振試驗(yàn)相似，根據(jù)試驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，柱(一階)振動(dòng)頻率fSL=2.80 Hz，設(shè)置激振器激勵(lì)頻率f=2fSL=5.60 Hz，得到的HL和SL的位移時(shí)程曲線分別如圖9和圖10所示，截取0～5 s內(nèi)HL的位移時(shí)程曲線如圖9所示，得到HL響應(yīng)頻率為5.60 Hz，說明HL在外激勵(lì)作用下受迫振動(dòng)，其中HL振幅近似為5.54 mm作為SL振動(dòng)的位移激勵(lì)。圖10顯示SL位移幅值非線性增長后達(dá)到穩(wěn)定，進(jìn)行穩(wěn)定的“極限環(huán)運(yùn)動(dòng)”，其響應(yīng)頻率為2.80 Hz，等于結(jié)構(gòu)一階自振頻率，且為激勵(lì)頻率的一半，說明SL在HL位移激勵(lì)的作用下發(fā)生了主參數(shù)共振。該工況中結(jié)構(gòu)發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)的全過程可見鏈接視頻https:∥www.bilibili.com/video/BV1J5411g7EE。

2.3 不穩(wěn)定邊界測(cè)量和對(duì)比

根據(jù)非線性動(dòng)力學(xué)的理論，當(dāng)激勵(lì)頻率f在次系統(tǒng)自振頻率(fSL)2倍附近時(shí)，激勵(lì)位移大于失穩(wěn)的激發(fā)值時(shí)，才會(huì)觸發(fā)結(jié)構(gòu)的自參數(shù)共振，因此存在使得結(jié)構(gòu)剛好失穩(wěn)的臨界頻率-振幅，即不穩(wěn)定邊界。為測(cè)量不穩(wěn)定邊界，可以在2fSL附近設(shè)置掃頻區(qū)間，從低頻到高頻對(duì)結(jié)構(gòu)逐次施加周期性激勵(lì)，對(duì)同一頻率的激勵(lì)，從小到大逐漸增加激勵(lì)幅值的大小，直到柱結(jié)構(gòu)產(chǎn)生動(dòng)力失穩(wěn)。當(dāng)激勵(lì)振幅較大時(shí)，動(dòng)力失穩(wěn)的現(xiàn)象十分明顯，柱會(huì)發(fā)生大幅劇烈振動(dòng)，激勵(lì)頻率越接近2fSL，臨界激勵(lì)振幅越小。試驗(yàn)中，觀察到柱振動(dòng)幅值較大，且響應(yīng)頻率與激勵(lì)頻率滿足1 ∶2的關(guān)系時(shí)，認(rèn)為結(jié)構(gòu)發(fā)生了自參數(shù)共振。

首先進(jìn)行自參數(shù)內(nèi)共振模型的不穩(wěn)定邊界測(cè)量。已知fSL=3.74 Hz，因此設(shè)置掃頻區(qū)間為7.45 Hz～7.59 Hz，步長為0.01 Hz進(jìn)行掃頻試驗(yàn)，位移激勵(lì)的幅值按圖7的方式近似讀取。測(cè)得邊界上的激勵(lì)頻率f-激勵(lì)振幅A如表3所示，將得到的數(shù)據(jù)散點(diǎn)繪制成圖并進(jìn)行曲線擬合，得到實(shí)測(cè)激勵(lì)頻率f-激勵(lì)振幅A的散點(diǎn)及擬合結(jié)果如圖11所示。

表3 內(nèi)共振模型不穩(wěn)定邊界測(cè)量結(jié)果

同理，對(duì)于自參數(shù)非內(nèi)共振模型的不穩(wěn)定邊界測(cè)量，已知fSL=2.80 Hz，設(shè)置掃頻區(qū)間5.55 Hz～5.65 Hz進(jìn)行掃頻試驗(yàn)，步長為0.01 Hz，測(cè)得的激勵(lì)頻率f-激勵(lì)振幅A如表4所示，并進(jìn)行曲線擬合，得到實(shí)測(cè)激勵(lì)頻率f-激勵(lì)振幅A點(diǎn)及擬合結(jié)果如圖12所示。

表4 非內(nèi)共振不穩(wěn)定邊界測(cè)量結(jié)果

對(duì)比圖11和圖12，自參數(shù)內(nèi)共振的動(dòng)力不穩(wěn)定域明顯更寬，即在較大一段頻率區(qū)間內(nèi)都可能發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)，實(shí)際上自參數(shù)內(nèi)共振工況下的振幅是由HL共振引起的，所需外激勵(lì)力比非內(nèi)共振(HL為一般的強(qiáng)迫振動(dòng))要小很多(這一問題的理論說明見2021年Li等的研究，此處不再贅述)，表明自參數(shù)內(nèi)共振具有更大的危害性。

3 結(jié) 論

本文通過試驗(yàn)的方法研究了(鉸接式)門式框架結(jié)構(gòu)平面外動(dòng)力失穩(wěn)問題，分別對(duì)門式框架結(jié)構(gòu)自參數(shù)內(nèi)共振和非內(nèi)共振模型進(jìn)行了試驗(yàn)分析。試驗(yàn)結(jié)果表明:

(1)在門式框架結(jié)構(gòu)中，在橫梁上施加相當(dāng)于柱自振頻率兩倍的周期性激勵(lì)時(shí)，橫梁的振動(dòng)會(huì)作為參數(shù)激勵(lì)引起柱在垂直于作用力的平面內(nèi)發(fā)生主參數(shù)共振失穩(wěn)，即發(fā)生自參數(shù)共振，且在自參數(shù)共振失穩(wěn)后，柱位移響應(yīng)呈非線性(指數(shù))增長，最后趨向于“極限環(huán)運(yùn)動(dòng)”，振幅維持穩(wěn)定。

(2)當(dāng)門式框架發(fā)生自參數(shù)內(nèi)共振時(shí)，橫梁發(fā)生普通共振，位移響應(yīng)呈線性增長后穩(wěn)定在某個(gè)值，這個(gè)值作為參數(shù)激勵(lì)能夠激發(fā)柱在垂直于外激勵(lì)的平面內(nèi)發(fā)生主參數(shù)共振，且柱位移響應(yīng)呈非線性(指數(shù))增長，柱參數(shù)振動(dòng)的增長滯后于橫梁普通共振的增長，說明參數(shù)共振存在能量積攢的過程。

(3)對(duì)比門式框架結(jié)構(gòu)自參數(shù)內(nèi)共振和非內(nèi)共振的不穩(wěn)定邊界，發(fā)現(xiàn)自參數(shù)內(nèi)共振的動(dòng)力不穩(wěn)定區(qū)域更寬，即更易發(fā)生動(dòng)力失穩(wěn)。

自參數(shù)共振尤其是自參數(shù)內(nèi)共振對(duì)門式框架結(jié)構(gòu)的動(dòng)力穩(wěn)定性影響極大，在工程設(shè)計(jì)中應(yīng)結(jié)合不穩(wěn)定區(qū)域考慮在使用過程中結(jié)構(gòu)是否存在失穩(wěn)風(fēng)險(xiǎn)，并通過調(diào)整結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)其進(jìn)行規(guī)避，減少門式框架結(jié)構(gòu)動(dòng)力失穩(wěn)的發(fā)生。