基于改進(jìn)滑模趨近律的振動(dòng)基機(jī)械臂的有限時(shí)間軌跡跟蹤控制

郭宇飛， 許盛悅， 李慧子， 王志剛， 郝志強(qiáng)

(1. 武漢科技大學(xué) 冶金裝備及其控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430081；2. 武漢科技大學(xué) 精密制造研究院，武漢 430081；3. 武漢科技大學(xué) 機(jī)器人與智能系統(tǒng)研究院，武漢 430081； 4. 中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，武漢 430064)

隨著機(jī)器人技術(shù)的不斷地發(fā)展，機(jī)械臂的應(yīng)用越來越多樣化，人們對(duì)其性能寄寓了更高的期望。振動(dòng)基機(jī)械臂[1]是一類安裝基座存在隨機(jī)振動(dòng)的機(jī)械系統(tǒng)的總稱，包括：太空自由漂浮機(jī)械臂[2]、水下作業(yè)機(jī)械臂[3]、水面起重機(jī)[4]、坦克彈藥傳輸機(jī)械臂[5]等。受基座振動(dòng)帶來的非線性耦合力的影響，振動(dòng)基機(jī)械臂的控制一直都是相關(guān)領(lǐng)域的研究的熱點(diǎn)和難點(diǎn)?！叭绾我种苹駝?dòng)的影響，實(shí)現(xiàn)機(jī)械臂系統(tǒng)的精確位置和軌跡跟蹤控制”，吸引了許多學(xué)者的關(guān)注。

根據(jù)機(jī)械臂的任務(wù)空間的不同，振動(dòng)基機(jī)械臂通?？梢苑譃橐韵聝深悾阂活愂侨肿鴺?biāo)振動(dòng)基機(jī)械臂，機(jī)械臂工作在全局笛卡爾坐標(biāo)系下，例如太空自由漂浮空間機(jī)械臂、水下作業(yè)機(jī)械臂、水面起重機(jī)等；另一類是隨動(dòng)坐標(biāo)振動(dòng)基機(jī)械臂，機(jī)械臂工作在基座的隨動(dòng)坐標(biāo)系下，如坦克彈藥傳輸機(jī)械臂等。

對(duì)于第一類振動(dòng)基機(jī)械臂，現(xiàn)有控制策略大多基于基座振動(dòng)可測(cè)或可預(yù)估的前提，然后進(jìn)行系統(tǒng)的解耦和補(bǔ)償控制。如Toda等[6]將海浪擾動(dòng)假設(shè)在已知頻率范圍內(nèi)，簡(jiǎn)化了振動(dòng)基系統(tǒng)并提出了一種基于線性H∞的控制方法，實(shí)現(xiàn)了振動(dòng)基系統(tǒng)的魯棒軌跡跟蹤控制。Küchler等[7]將海上起重機(jī)非線性模型的輸入、輸出線性化，并結(jié)合卡爾曼濾波方法對(duì)波浪運(yùn)動(dòng)進(jìn)行預(yù)測(cè)，實(shí)現(xiàn)了起重機(jī)的升降魯棒控制。Chu等[8]為解決船體垂直垂蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)海上起重機(jī)運(yùn)輸?shù)挠绊懀岢鲇蒙窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的船舶運(yùn)動(dòng)預(yù)測(cè)方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行主動(dòng)補(bǔ)償。對(duì)于第二類振動(dòng)基機(jī)械臂系統(tǒng)，基座振動(dòng)產(chǎn)生的非線性耦合力(如離心力、科氏力等)更加復(fù)雜，其控制器的設(shè)計(jì)也更具挑戰(zhàn)。坦克彈藥傳輸機(jī)械臂是這類系統(tǒng)的典型代表。如圖1所示，坦克車體(基座)在受到來自火炮后坐力和不平路面的共同激勵(lì)，對(duì)傳輸機(jī)械臂系統(tǒng)產(chǎn)生難以測(cè)量和預(yù)估的基座振動(dòng)，因此對(duì)控制器的魯棒性要求較高。

對(duì)坦克彈藥傳輸機(jī)械臂的前期研究中，基于隱式Lyapunov方法的連續(xù)型反饋控制方法[9]和基于分段線性反饋控制算法[10]，已被證明夠克服車體振動(dòng)的干擾，具有良好的魯棒性。但是上述方法并未考慮控制器的有限時(shí)間性能。有限時(shí)間控制是一些振動(dòng)基機(jī)械臂在實(shí)際中面臨的另一個(gè)難點(diǎn)，如何實(shí)現(xiàn)坦克彈藥傳輸機(jī)械臂的快準(zhǔn)裝填面臨著巨大挑戰(zhàn)。

滑模控制，因?yàn)槠鋵?duì)系統(tǒng)模型依賴性較小，在系統(tǒng)受到外界干擾和參數(shù)攝動(dòng)時(shí)具有不變性，是一種魯棒性、抗干擾性強(qiáng)的非線性控制方法，已被廣泛應(yīng)用在振動(dòng)基機(jī)械臂的控制器設(shè)計(jì)中。Kim等[11]將四旋翼無人機(jī)和機(jī)械臂作為一個(gè)組合系統(tǒng)建立動(dòng)力學(xué)模型，設(shè)計(jì)一種自適應(yīng)滑?？刂破鞑⑼瓿蔁o人機(jī)機(jī)械臂的拾取控制；Ngo等[12]考慮到海浪等因素對(duì)水面起重機(jī)產(chǎn)生影響，設(shè)計(jì)一種新的滑模面并結(jié)合電車動(dòng)力學(xué)、船舶動(dòng)力學(xué)與搖擺動(dòng)力學(xué)提出滑模控制方法很好的消除了系統(tǒng)的橫向搖擺干擾；Iwamura等[13]通過引入一個(gè)非線性滑模面來實(shí)現(xiàn)對(duì)振動(dòng)基機(jī)械臂的變?cè)鲆娣e分控制。

滑?？刂票举|(zhì)上是一種變結(jié)構(gòu)控制方法，系統(tǒng)狀態(tài)在達(dá)滑模切換面附近時(shí)系統(tǒng)慣性必然存在，這也使得在實(shí)際中滑?？刂葡到y(tǒng)的抖振必然存在[14]。為了改善滑模控制抖振問題，高為炳院士[15]首先將趨近律運(yùn)用在滑?？刂浦?，并提出了等速趨近律、指數(shù)趨近律、冪次趨近律和一般趨近律。

通過趨近律的設(shè)計(jì)，除了可以抑制抖振還能調(diào)節(jié)到達(dá)滑模面的速率，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)快速控制。廖瑛等[16]提出一種雙冪次的組合趨近律，并利用fal函數(shù)的性質(zhì)加快了趨近速率。王要強(qiáng)等[17]在傳統(tǒng)冪次趨近律的基礎(chǔ)上，加入指數(shù)項(xiàng)并且在冪次項(xiàng)指數(shù)中引入系統(tǒng)狀態(tài)變量，使系統(tǒng)能平穩(wěn)進(jìn)入滑模面并解決了冪次趨近律遠(yuǎn)離滑模面趨近速度慢的缺點(diǎn)。鄭美茹等[18]利用分?jǐn)?shù)階次積分型符號(hào)函數(shù)特性，有效解決滑?？刂浦汹吔俣群投墩癯潭乳g的矛盾，但控制器設(shè)計(jì)復(fù)雜實(shí)現(xiàn)不易。Pan等[19]將冪次趨近律與等速趨近律相結(jié)合提出改進(jìn)的趨近律，來實(shí)現(xiàn)變結(jié)構(gòu)控制的全局快速收斂性，但是抖振問題仍然間斷性而存在。

本文以坦克彈藥傳輸機(jī)械臂為背景，針對(duì)一類基座振動(dòng)未知的隨動(dòng)坐標(biāo)系振動(dòng)基機(jī)械臂，設(shè)計(jì)了一種快速的軌跡跟蹤控制器。具體上，提出一種新型的對(duì)數(shù)冪次趨近律，然后結(jié)合快速終端滑模面提出一種新型的有限時(shí)間滑?？刂扑惴?，最后基于雙環(huán)控制策略在Labview環(huán)境下搭建了系統(tǒng)的控制回路。試驗(yàn)結(jié)果證明了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。

1 系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分析

對(duì)于圖1所示的傳輸機(jī)械臂系統(tǒng)，將來自車體的強(qiáng)烈擾動(dòng)視為系統(tǒng)的外部干擾，采用拉格朗日法將其動(dòng)力學(xué)模型由二階非線性微分方程表示為

(1)

性質(zhì)1慣量矩陣H(θ)為正定對(duì)稱矩陣，且上下有界，即對(duì)任意向量λ有

mλ2≤‖λTHλ‖≤Mλ2

式中， 0

性質(zhì)2系統(tǒng)的慣量矩陣H(θ)，其偏微分大小具有有界性，即‖?H(θ)/?θi‖≤N(N>0)。

性質(zhì)3存在常數(shù)S0>0，使得系統(tǒng)的基座擾動(dòng)力項(xiàng)S滿足‖S‖≤S0。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 趨近律的設(shè)計(jì)

在滑模變結(jié)構(gòu)控制中，將系統(tǒng)的滑模運(yùn)動(dòng)分為兩個(gè)過程：趨近運(yùn)動(dòng)和滑模運(yùn)動(dòng)。趨近運(yùn)動(dòng)是指系統(tǒng)在軌跡跟蹤的過程中從任意系統(tǒng)狀態(tài)到滑模面的運(yùn)動(dòng)。為了提高趨近運(yùn)動(dòng)的性能，許多學(xué)者將改進(jìn)的指數(shù)[20]、冪次[21]函數(shù)以及其他非線性函數(shù)[22]應(yīng)用在趨近律函數(shù)中，但是目前對(duì)數(shù)函數(shù)在趨近律的研究中卻極少。本文將對(duì)數(shù)函數(shù)引入趨近律中，提出了一種新的對(duì)數(shù)冪次趨近函數(shù)，趨近律方程為

(2)

式中： 0<α<1；ν為正偶數(shù)；K1，K2，K3>0。

由式(2)可知對(duì)數(shù)冪次趨近律函數(shù)由三項(xiàng)組成，式中第一項(xiàng)在滑模狀態(tài)遠(yuǎn)離滑模面時(shí)起主導(dǎo)作用，后二項(xiàng)在滑模狀態(tài)趨近于滑模面時(shí)起主導(dǎo)作用。通過合理的選擇參數(shù)可以提高系統(tǒng)趨近運(yùn)動(dòng)的速度并抑制滑模抖振。

為了與不同趨近律函數(shù)的比較，將式(2)與下列三種常見的趨近律方程列舉出來，代數(shù)式中選擇相同的系數(shù)常數(shù)并畫出方程曲線。

(1) 指數(shù)趨近律

(3)

(2) 快速冪次趨近律[23]

(4)

(3) 雙冪次趨近律[24]

(5)

式中：K1=K2=K3=5；α=0.5，β=1.5，ν=4。

在圖2中，橫坐標(biāo)表示滑模趨近運(yùn)動(dòng)的滑模狀態(tài)，縱坐標(biāo)表示趨近運(yùn)動(dòng)中的趨近速率。從圖2中四種趨近律函數(shù)的比較可以看出，當(dāng)滑模狀態(tài)在σ=0(滑動(dòng)模態(tài)區(qū))附近時(shí)，對(duì)數(shù)冪次趨近函數(shù)的值小于其他三種趨近函數(shù)，減小了滑模狀態(tài)在滑模面上切換時(shí)的速率，從而減小系統(tǒng)慣性，使滑模狀態(tài)較平滑的進(jìn)入滑模面來減弱抖振現(xiàn)象；當(dāng)滑模狀態(tài)遠(yuǎn)離σ=0附近時(shí)，對(duì)數(shù)冪次趨近函數(shù)值大于其他三種趨近律函數(shù)，滑模狀態(tài)可以更快的趨向滑動(dòng)模態(tài)區(qū)。綜上述，合理選擇對(duì)數(shù)冪次趨近律參數(shù)可以使系統(tǒng)提高收斂速度并在滑模態(tài)附近有效的緩解系統(tǒng)抖振。

接下來將為對(duì)數(shù)冪次趨近律的有限時(shí)間特性進(jìn)行驗(yàn)證。

引理1針對(duì)非線性系統(tǒng)，若存在定義在包含原點(diǎn)鄰域U?Rn內(nèi)的連續(xù)可微的正定函數(shù)V(x)，滿足

(6)

定理1式(2)將在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)領(lǐng)域內(nèi)，有限時(shí)間為Tq。

證明：選擇Lyapunov函數(shù)為

V(σ)=σ2/2

(7)

將式(2)代入求導(dǎo)后的式(7)得

(8)

由引理1可知c=K32＾(3+α/4)，κ=(3+α)/4， 式(2)將在有限時(shí)間內(nèi)收斂于平衡點(diǎn)領(lǐng)域，有限時(shí)間Tq為

(9)

2.2 改進(jìn)滑模控制器設(shè)計(jì)

滑模變結(jié)構(gòu)控制中，滑模運(yùn)動(dòng)目的是讓系統(tǒng)的軌跡狀態(tài)到達(dá)滑模面后能夠漸近趨于原點(diǎn)收斂。傳統(tǒng)的終端滑模面在接近原點(diǎn)時(shí)具有快速收斂能力，但是在遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，收斂速度低于線性滑模面?？焖俳K端滑引入線性項(xiàng)，解決了這一問題?？紤]振動(dòng)基機(jī)械臂在外界干擾下系統(tǒng)狀態(tài)的不確定性強(qiáng)，選擇傳統(tǒng)滑模面將為機(jī)械臂的軌跡控制帶來了許多不可控的問題。所以，本文將采用一種快速終端滑模面，通過對(duì)滑模面的參數(shù)設(shè)計(jì)可確定滑模運(yùn)動(dòng)的收斂時(shí)間上界?；Ｃ嬖O(shè)計(jì)如下

(10)

式中：θd為期望軌跡；μ，λ均大于0；l，m，p，r為正奇數(shù)且滿足l>m，r>p。給出式(10)的有限時(shí)間收斂上界ts[25]。

(11)

結(jié)合定理1可知，滑模變結(jié)構(gòu)控制中滑模運(yùn)動(dòng)過程和趨近運(yùn)動(dòng)過程均可完成有限時(shí)間內(nèi)收斂，由此可知，基于式(2)和式(10)的滑?？刂品椒梢詫?shí)現(xiàn)系統(tǒng)的有限時(shí)間全局收斂穩(wěn)定，收斂時(shí)間上限為ta=tq+ts具體表達(dá)式為

(12)

為得到本文方法的控制項(xiàng)，將式(1)代入求導(dǎo)后的式(10)可得

(13)

使用魯棒項(xiàng)Ur=ξtanh(σ)替代S，其中ξ>S0，將式(2)與式(13)結(jié)合，可得出振動(dòng)基機(jī)械臂系統(tǒng)的控制項(xiàng)為

(14)

3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)及驗(yàn)證

3.1 試驗(yàn)臺(tái)介紹

為了不失一般性，本文根據(jù)坦克彈藥傳輸機(jī)械臂的工作特性搭建垂直振動(dòng)基-二連桿機(jī)械臂試驗(yàn)臺(tái)來驗(yàn)證控制方法的有效性。將試驗(yàn)臺(tái)主體分為振動(dòng)基座、連桿1、連桿2三個(gè)部分，在基座下加入垂直振動(dòng)干擾如圖3所示。

試驗(yàn)臺(tái)所選的關(guān)節(jié)電機(jī)型號(hào)為瑞士Maxon514100，控制器為EPOS2數(shù)字控制器，通過USB與上位機(jī)交換數(shù)據(jù)。振動(dòng)基座底部的振動(dòng)機(jī)構(gòu)可產(chǎn)生振幅為77.05 mm 頻率為1.5 Hz的垂直正弦基座振動(dòng)干擾。試驗(yàn)平臺(tái)響應(yīng)時(shí)間約3 s。試驗(yàn)臺(tái)的動(dòng)力學(xué)模型圖如圖4所示。

對(duì)應(yīng)式(1)中動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)各個(gè)矩陣的具體表達(dá)式為

式中：連桿質(zhì)量和長(zhǎng)度分別為m2=m3=0.228 kg，L2=L3=0.21 m；電機(jī)關(guān)節(jié)質(zhì)量md3=0.61 kg；關(guān)節(jié)的驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Jd2=0.000 018 1 kg·m2，Jd3=0.000 019 04 kg·m2； 關(guān)節(jié)1和關(guān)節(jié)2的相對(duì)質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J2=J3=0.000 005 kg·m2。

3.2 試驗(yàn)驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文控制方法對(duì)基座振動(dòng)干擾和負(fù)載變化的魯棒性以及本文控制方法的優(yōu)越性。設(shè)置三組試驗(yàn)，如表1所示。

表1 試驗(yàn)分組表Tab.1 Table of experiments

將試驗(yàn)1設(shè)置為標(biāo)稱試驗(yàn)組，分別與變負(fù)載試驗(yàn)組(試驗(yàn)2)和對(duì)比試驗(yàn)組(試驗(yàn)3)進(jìn)行對(duì)照來驗(yàn)證所提出控制方法的有效性。設(shè)置試驗(yàn)時(shí)長(zhǎng)為100 s。期望軌跡為

(sin 0.5t,0.5cos 0.5t,sin 0.5t,0.5cos 0.5t)

試驗(yàn)1：為了驗(yàn)證本文所設(shè)計(jì)的控制器對(duì)的有效性，針對(duì)振動(dòng)基試驗(yàn)臺(tái)進(jìn)行軌跡跟蹤控制，控制參數(shù)為K1=13，K2=15，K3=5，α=0.5，ν=2，μ=15，λ=5，l=p=3，ξ=5.5，m=1，r=5，試驗(yàn)曲線如圖5～圖7所示。

由圖5～圖7可知，本文所設(shè)計(jì)的控制器，在垂直振動(dòng)的干擾下表現(xiàn)出良好的跟蹤性能。由圖5(a)可知，電機(jī)關(guān)節(jié)1在啟動(dòng)后用時(shí)0.883 s完成有效的位移軌跡跟蹤控制。跟蹤位移軌跡平穩(wěn)，在軌跡波峰及波谷處有最大穩(wěn)態(tài)誤差約為0.035 rad；由圖5(b)可知，電機(jī)關(guān)節(jié)2在平臺(tái)響應(yīng)時(shí)間內(nèi)自轉(zhuǎn)，控制啟動(dòng)后實(shí)際軌跡迅速趨向期望軌跡，用時(shí)2.79 s完成有效的跟蹤控制，跟蹤位移軌跡平穩(wěn)，穩(wěn)態(tài)誤差約為0.02 rad；由圖6可知，在保證機(jī)械臂的位置控制前提下，機(jī)械臂的速度也能很好的跟蹤期望曲線。由圖7中電流響應(yīng)曲線可知，并未出現(xiàn)傳統(tǒng)滑模控制中強(qiáng)烈的抖振現(xiàn)象。綜上述，本文所提出的控制器在基座振動(dòng)的干擾下對(duì)機(jī)械臂的位移的軌跡跟蹤表現(xiàn)出了具有良好的控制性能，同時(shí)對(duì)速度也具有良好的跟隨性，在控制過程中未出現(xiàn)強(qiáng)烈的抖振現(xiàn)象。

試驗(yàn)2：為了驗(yàn)證本文所提出的控制方法對(duì)系統(tǒng)有效載荷具的不確定性具有魯棒性，將負(fù)載質(zhì)量增加0.125 kg加載位置為位于末端連桿即連桿2的質(zhì)心處，試驗(yàn)臺(tái)和控制器的其他參數(shù)與試驗(yàn)1保持一致。

試驗(yàn)結(jié)果如圖8～圖10所示。試驗(yàn)響應(yīng)的試驗(yàn)結(jié)果和預(yù)期情況一致，改變負(fù)載后，系統(tǒng)達(dá)到有效跟蹤時(shí)間相比試驗(yàn)1有所變化，關(guān)節(jié)1有效跟蹤所用的時(shí)間減少了0.383 s，但是關(guān)節(jié)2有效跟蹤所用的時(shí)間增加0.495 s。除此之外，對(duì)于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差和跟蹤表現(xiàn)基本沒有異樣，這表明了該控制方法對(duì)負(fù)載變化具有較好的魯棒性。

試驗(yàn)3：為驗(yàn)證本文所提出的控制方法的優(yōu)越性，對(duì)振動(dòng)基機(jī)械臂系統(tǒng)進(jìn)行了一組對(duì)比軌跡跟蹤控制試驗(yàn)。保持試驗(yàn)臺(tái)的其他參數(shù)不變，將傳統(tǒng)的滑模軌跡跟蹤控制器代替本文的改進(jìn)滑?？刂破鳎刂破鞣匠虨?/p>

(15)

式中：μ=3；K1=1；ξ=7。

由圖11可見，在無基座振動(dòng)干擾的條件下，關(guān)節(jié)1的位移軌跡跟蹤基本能實(shí)現(xiàn)，但曲線在跟蹤過程中具有小幅震蕩現(xiàn)象；在加入基座振動(dòng)后，關(guān)節(jié)1無法完成軌跡跟蹤任務(wù)，位移跟蹤曲線在35.62 s，48.78 s，88.43 s 處均出現(xiàn)脫離期望軌跡的現(xiàn)象。這可能與關(guān)節(jié)1電機(jī)與振動(dòng)基座固定安裝，受到的振動(dòng)影響較直接有關(guān)；關(guān)節(jié)2的位移軌跡跟蹤曲線在有、無基座振動(dòng)的條件下，試驗(yàn)曲線相似，主要區(qū)別在于加入基座振動(dòng)后位移曲線在趨近期望軌跡過程中有小幅波動(dòng)。由圖12和圖13明顯可見，傳統(tǒng)滑?？刂品椒ㄏ?，系統(tǒng)的速度響應(yīng)和電流響應(yīng)曲線震蕩幅值較大。表明了傳統(tǒng)滑模方法并不能克服基座振動(dòng)干擾，并且具有明顯的抖振現(xiàn)象。

綜上所述，結(jié)合試驗(yàn)1、試驗(yàn)2可知，本文提出的控制器對(duì)于不確定的有效載荷具有較好的魯棒性，結(jié)合試驗(yàn)1、試驗(yàn)3可知，本文所提出的改進(jìn)滑?？刂破飨啾扔趥鹘y(tǒng)的滑?？刂品椒▽?duì)于基座振動(dòng)干擾具有更好的魯棒性，且具有較好的控制響應(yīng)速度和控制精度，并且可以有效地抑制滑模的抖振現(xiàn)象。

4 結(jié) 論

(1) 以坦克彈藥傳輸機(jī)械臂為背景，研究在基座垂直振動(dòng)以及有效載荷不確定的條件下機(jī)械臂的軌跡跟蹤問題，建立了包含基礎(chǔ)振動(dòng)干擾項(xiàng)的拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程。

(2) 設(shè)計(jì)了一種新型對(duì)數(shù)冪次滑模趨近律并結(jié)合快速終端滑模面提出了改進(jìn)型的滑?？刂品椒ǎ⒆C明此滑模面和趨近律組合的控制器具有有限時(shí)間收斂的特性。

(3) 搭建簡(jiǎn)化試驗(yàn)臺(tái)驗(yàn)證所提出的控制方法的魯棒性和優(yōu)越性。與傳統(tǒng)的滑?？刂品椒ㄏ啾龋疚奶岢龅姆椒▽?duì)基座的垂直振動(dòng)干擾的抑制能力較強(qiáng)，響應(yīng)速度較快，控制精度較高。

(4) 本文控制器的設(shè)計(jì)方法不僅僅只適用受到強(qiáng)基座振動(dòng)干擾的坦克彈藥傳輸機(jī)械臂，對(duì)與其他受到弱基座振動(dòng)干擾的系統(tǒng)比如移動(dòng)車載機(jī)械臂、無人機(jī)機(jī)械臂等同樣具有工程參考意義。