把握問(wèn)題本質(zhì) 啟發(fā)數(shù)學(xué)思考*
——以微專題“一元二次方程在解析幾何中的應(yīng)用”教學(xué)為例

徐所扣

(江蘇省揚(yáng)州中學(xué),225002)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)指出:“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本,落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù),培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí),提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).”在發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo)下,我們一線教師需要確立與之相適應(yīng)的教學(xué)觀:把握數(shù)學(xué)的本質(zhì),啟發(fā)思考,改進(jìn)教學(xué).基于核心素養(yǎng)的數(shù)學(xué)課堂應(yīng)立足于學(xué)生思維品質(zhì)的養(yǎng)成,剖析問(wèn)題的本質(zhì),啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考.這是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵.

運(yùn)算是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一.對(duì)于圓錐曲線的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題,如果選擇合適的解題方法,能夠直達(dá)問(wèn)題的本質(zhì),使計(jì)算的過(guò)程得以簡(jiǎn)化,故以圓錐曲線為知識(shí)載體評(píng)價(jià)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)是高考常態(tài).基于此,筆者在高三第二輪復(fù)習(xí)過(guò)程中開(kāi)展了一次“一元二次方程在解析幾何中的應(yīng)用”微專題教學(xué)實(shí)踐. 陳省身說(shuō):“數(shù)學(xué)是自己思考的產(chǎn)物,首先要能夠思考起來(lái),用自己的見(jiàn)解和別人的見(jiàn)解交換,才會(huì)有很好的效果.”現(xiàn)整理成文,與同仁分享.

一、教學(xué)實(shí)錄

問(wèn)題在平面直角坐標(biāo)系xOy中,設(shè)二次函數(shù)f(x)=x2+2x+b(x∈R)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn),經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C,則圓C是否過(guò)定點(diǎn)?

師:如何研究動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)呢?

生1:先求出圓C的方程,圓C的方程含有參數(shù)b,再通過(guò)方程研究過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.

師:說(shuō)得對(duì)!求解本題的關(guān)鍵就是先求圓C的方程.那么如何求呢?

生2:設(shè)圓的一般式方程,設(shè)拋物線與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo),代入方程組解求出交點(diǎn).感覺(jué)能做到,計(jì)算會(huì)比較繁一點(diǎn),我還沒(méi)算好.

師:確實(shí)如此,這是求圓的方程的基本解法——待定系數(shù)法.還有其他解法嗎?

師:非常好,這位同學(xué)平面幾何學(xué)得很好,他充分利用了圓的幾何性質(zhì),直接得出了圓心的坐標(biāo),非常簡(jiǎn)潔(掌聲).還有其他想法嗎?

沉默…….

師:圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,D,反過(guò)來(lái)?yè)Q個(gè)說(shuō)法,即A,B,D三點(diǎn)是拋物線、坐標(biāo)軸、圓共同的交點(diǎn),我們能否從這個(gè)角度去思考，促使問(wèn)題解決呢?

生4:可以的.我對(duì)生1的解法進(jìn)行了改進(jìn),還是設(shè)圓的一般式方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,得x2+Dx+F=0,這與x2+2x+b=0是同解方程,故D=2,F=b;令x=0,得y2+Ey+b=0,此方程有一個(gè)根為b,代入得E=-b-1.所以圓C的方程為x2+y2+2x-(b+1)y+b=0,變形得x2+y2+2x-y-b(y-1)=0,從而圓C過(guò)兩定點(diǎn)(0,1),(-2,1).

師:這位同學(xué)設(shè)出圓的一般式方程后,對(duì)系數(shù)的求解沒(méi)有按常規(guī)強(qiáng)行計(jì)算,而是利用了一元二次方程同解的原理得出了系數(shù)的值,非常巧妙(掌聲).這就是本節(jié)微課我們重點(diǎn)要研究的內(nèi)容(板書(shū)課題——一元二次方程在解析幾何中的應(yīng)用).

1.利用一元二次方程的同解性,獲得參數(shù)的值

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(i)證明:直線AB與圓x2+y2=1相切;

(ii)若直線AB與橢圓C相交于M,N兩點(diǎn),求?OMN外接圓面積的最大值.

生5:一開(kāi)始我也沒(méi)有想到,用小猿搜題查了一下,看懂了之后然后再做的.

師:這位同學(xué)很誠(chéng)實(shí)(笑聲),不看解答確實(shí)不容易想到這樣做,不過(guò)平時(shí)作業(yè)還是要養(yǎng)成獨(dú)立思考的習(xí)慣.大家想想,能不能用今天講的同解方程的方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢?

(1+2k2)x2+4kmx+2m2-3=0,

①

(1+k2)x2+(2km+D+Ek)x+m2+Em=0.

②

師:這位同學(xué)看出了問(wèn)題的本質(zhì),即點(diǎn)M,N是直線AB與橢圓、圓的共同交點(diǎn),從而嘗試用同解方程來(lái)求解.由此可見(jiàn),在平時(shí)的學(xué)習(xí)中要多總結(jié)、多思考,將學(xué)到的知識(shí)、方法在解題中靈活加以應(yīng)用,古人云:“舉一隅不以三隅反,則不復(fù)也.”

2.換元構(gòu)造一元二次方程,關(guān)聯(lián)韋達(dá)定理

(1)求C的方程;

(2)點(diǎn)M,N在C上,且AM⊥AN,AD⊥MN,D為垂足.證明:存在定點(diǎn)Q,使得|DQ|為定值.

生7:由AM⊥AN,可得直線MN具有某種性質(zhì),這個(gè)性質(zhì)我們通過(guò)直線MN的方程來(lái)研究:先考慮斜率不存在的情況;再考慮斜率存在時(shí),設(shè)MN方程為y=kx+m,由AM⊥AN可得k與m的關(guān)系式.

師:這種解法就是大家在教輔資料中常見(jiàn)的齊次化方法.這里我們由橢圓方程和直線方程,巧妙地構(gòu)造了關(guān)于x-2和y-1的二次齊次式方程,相除換元后得到一個(gè)一元二次方程,而這個(gè)方程的兩個(gè)根就是直線AM,AN的斜率;再利用韋達(dá)定理,得出m,n滿足的關(guān)系式.

師:大家想一想,由以上解題的過(guò)程,我們還能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論?

生9:本題中k1k2=-1,其實(shí)k1k2=t(t為非零常數(shù))時(shí),都可得出直線MN過(guò)定點(diǎn).

生10:我還發(fā)現(xiàn),當(dāng)k1+k2=t(t∈R)時(shí),也可得出直線MN過(guò)定點(diǎn).

二、課后反思

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)很大程度上依賴于“用數(shù)學(xué)”的過(guò)程,數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的價(jià)值集中體現(xiàn)在“用數(shù)學(xué)”解決實(shí)際問(wèn)題.“用數(shù)學(xué)”是在充分理解數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想方法的基礎(chǔ)上用數(shù)學(xué)的眼光看問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題,用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)自己的觀點(diǎn)和研究成果.數(shù)學(xué)解題就是“用數(shù)學(xué)”的一種學(xué)習(xí)活動(dòng)．本節(jié)課,作為微專題是通過(guò)兩道題的師生交流,引領(lǐng)學(xué)生實(shí)現(xiàn)從聯(lián)想一元二次方程到構(gòu)造一元二次方程的思維進(jìn)階．在此過(guò)程中,例1利用了圓錐曲線的“截距”是一元二次方程的解,由方程的同解性直接得出參數(shù)的值.學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)達(dá)成根據(jù)問(wèn)題的特征形成合適的運(yùn)算思路的一級(jí)水平．例2是將圓錐曲線方程變形為關(guān)于斜率分子、分母的二次齊次式,通過(guò)相除換元法構(gòu)造一元二次方程,再通過(guò)關(guān)聯(lián)韋達(dá)定理確定運(yùn)算對(duì)象,學(xué)生的運(yùn)算素養(yǎng)進(jìn)階到“提出運(yùn)算問(wèn)題,并借此探討問(wèn)題”的二級(jí)水平．

數(shù)學(xué)解題教學(xué)真正的價(jià)值在于將數(shù)學(xué)問(wèn)題的邏輯通路從學(xué)生心理上產(chǎn)生,只有關(guān)注學(xué)生形成數(shù)學(xué)能力的心理過(guò)程,并仔細(xì)斟酌，做好相應(yīng)得體的教學(xué)設(shè)計(jì),教師才能有意識(shí)地將自己解決問(wèn)題的方法變成促使學(xué)生素養(yǎng)形成的有效手段.當(dāng)然,教學(xué)還要著眼于學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),為學(xué)生提供有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題,調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性,激發(fā)其潛能,從而達(dá)到超越其最近發(fā)展區(qū)而達(dá)到下一發(fā)展階段的水平.

王尚志教授認(rèn)為,培養(yǎng)并提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),不能依賴模仿、記憶,更需要理解、感悟,需要主動(dòng)、自覺(jué).雖然,思考數(shù)學(xué)問(wèn)題、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題都能發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),但培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的意識(shí)更為重要.