等和線定理的認(rèn)識(shí)及應(yīng)用

潘振芹

(山東省濟(jì)南市章丘中學(xué))

根據(jù)高中數(shù)學(xué)教材知識(shí)易知,平面向量中三點(diǎn)共線的結(jié)論為已知為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量,設(shè),則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件為x＋y＝1.由于此類問題在各類試題中考查較多,且高頻出現(xiàn),所以本文著重給出平面向量中關(guān)于三點(diǎn)共線理論知識(shí)的拓展,即引入等和線定理,并通過舉例加以具體說明,旨在幫助讀者切實(shí)提高處理此類問題的求解能力,進(jìn)一步提升直觀想象等方面的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 等和線的定義

如圖1所示,直線DE∥AB,C為直線DE上任一點(diǎn),設(shè)

圖1

(1)當(dāng)直線DE經(jīng)過點(diǎn)P時(shí),容易得到x＋y＝1.

(2)當(dāng)直線DE不過點(diǎn)P時(shí),直線PC與直線AB的交點(diǎn)記為F,因?yàn)辄c(diǎn)F在直線AB上,所以由三點(diǎn)共線結(jié)論可知若(λ,μ∈R),則λ＋μ＝1.

2 等和線定理

3 應(yīng)用舉例

例1給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量它們的夾角為,如圖2所示,點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧AB上運(yùn) 動(dòng),若(x,y∈R),則x＋y的最大值是_________.

圖2

解析坐標(biāo)法以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo) 系,如圖3所示,則點(diǎn)

圖3

等和線法作l∥AB,且與已知圓弧相切于點(diǎn)D,連接OD交AB于點(diǎn)E.設(shè)x＋y＝k,則結(jié)合圖4 易知:與直線AB平行且與圓弧有公共點(diǎn)的所有直線中,直線l距離圓心最遠(yuǎn),此時(shí)k取得最大值,由圖易得此時(shí)＝2.故x＋y的最大值為2.

圖4

例2(2017年全國(guó)Ⅲ卷理12)在矩形ABCD中,AB＝1,AD＝2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若,則λ＋μ的最大值為( ).

解析坐標(biāo)法建立如圖5 所示的平面直角坐標(biāo)系,則點(diǎn)C(2,1).

圖5

設(shè)BD與圓C切于點(diǎn)E,連接CE,則CE⊥BD.因?yàn)镃D＝1,BC＝2,所以

等和線法如圖6所示,過動(dòng)點(diǎn)P作等和線,設(shè)λ＋μ＝k,則k＝.由圖易知,當(dāng)?shù)群途€與EF(直線EF與圓C相切,切點(diǎn)為F)重合時(shí),k取最大值,此時(shí)k＝

圖6

又因?yàn)镋F∥BD,所以＝3,即λ＋μ的最大值為3.故選A.

例3如圖7所示,圓O是邊長(zhǎng)為的等邊△ABC的內(nèi)切圓,其與BC邊相切于點(diǎn)D,點(diǎn)M為圓上任意一點(diǎn),(x,y∈R),則2x＋y的最大值為( ).

圖7

解析坐標(biāo)法如圖8所示,連接DA,以點(diǎn)D為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,則圓心O(0,r),A(0,3),D(0,0).

圖8

等和線法設(shè)內(nèi)切圓與邊AB相切于點(diǎn)E,與AC邊相切于點(diǎn)N,易 知,如圖9所示,作出值為1 的等和線DE,則AC是過圓上的點(diǎn)最遠(yuǎn)的等和線,此時(shí)設(shè)2x＋y＝k,則k＝＝2.

圖9

從而2x＋y的最大值2.故選C.

(完)