淺談運(yùn)用“割”“補(bǔ)”策略解圖形面積問題

?甘肅省天水市秦州區(qū)娘娘壩中學(xué) 李亞軍

1 策略一：割

所謂“割”，即是對(duì)原圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線，將原圖形分為若干個(gè)常見的規(guī)則圖形(如正方形、直角三角形等)，并利用各個(gè)圖形的面積和進(jìn)行求解.使用“割”策略求解的關(guān)鍵在于合理將原圖形進(jìn)行分割，使得分割后的每個(gè)圖形的面積都易于求解.除此之外，還需要對(duì)各個(gè)基本圖形的面積計(jì)算公式了然于心，即可保證正確求解.

例1已知⊙O是△ABC內(nèi)切圓，D，E，F(xiàn)分別是BC,AC,AB邊上的切點(diǎn)，如果BC=a，AC=b，AB=c，內(nèi)切圓O的半徑為r，求△ABC的面積.

分析：本題不知道三角形的高，所以無法直接運(yùn)用三角形的面積公式求解，而找出三角形的高具有一定難度，且耗費(fèi)時(shí)間較多.若采用“割”的手段，以圓心O作為三角形頂點(diǎn)，以⊙O的半徑作為三角形的高，分別求出△AOB，△AOC，△BOC的面積即可順利求解.

解：如圖1，連接OA，OB，OC，OD，OE，OF，把△ABC分割為△AOB，△AOC，△BOC三個(gè)部分.

圖1

∵D，E，F(xiàn)是切點(diǎn)，

∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB.

∴OD=OE=OF=r.

練習(xí)1如圖2所示，是由一個(gè)大圓和四個(gè)相同的小圓組成的圖案，若大圓的半徑等于2，則陰影部分的面積為______.

圖2

分析：本題陰影部分面積的求解，考查的是勾股定理的應(yīng)用，圓的對(duì)稱性與正方形的性質(zhì)，以及對(duì)扇形面積與弓形面積的理解.正多邊形與圓是解題的關(guān)鍵.

解：如圖3所示，由圓的對(duì)稱性與割補(bǔ)法可得，陰影部分的面積為大圓的面積減去正方形的面積.

圖3

∵大圓的半徑等于2，∠ACB=90°，AC=BC，

∴AB=4，AC2+BC2=16.

∴AC2=8.

∴陰影部分的面積S=π×22-AC2=4π-8.

2 策略二：補(bǔ)

所謂“補(bǔ)”，是指通過對(duì)原圖形添加輔助線的方式將原圖形轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則圖形，使問題簡(jiǎn)單化，進(jìn)而利于求解的策略.一般來說，需要“補(bǔ)”的圖形都不規(guī)則，不易計(jì)算，因此需要將其“補(bǔ)”成一個(gè)規(guī)則圖形幫助求解.“補(bǔ)”的關(guān)鍵在于根據(jù)原圖形的特點(diǎn)將其添補(bǔ)成一個(gè)常見的且易于求解的圖形，最后利用相關(guān)圖形的面積公式相加或者相減即可得解.如例題2.

圖4

分析：本題要結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)求解，旋轉(zhuǎn)變換前后，對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變.將原正方形ABCD旋轉(zhuǎn)后得到的陰影部分的圖形極其不規(guī)則，不易直接計(jì)算其面積，“割”的手段也不甚好用，但添加輔助線可將其轉(zhuǎn)變?yōu)榈妊苯翘菪?，利用已知條件和公式可輕松得出陰影部分的面積.

解：如圖5，設(shè)DC與B′C′交于點(diǎn)E，連接AE.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠BAB′=30°.

圖5

∵AD=AB′，AE=AE，∠D=∠B′=90°，

∴△AB′E≌△ADE.

∵∠B′AD=∠DAB-30°

=60°，

∴∠B′AE=∠DAE=30°.

練習(xí)2如圖6所示，邊長等于1的兩個(gè)正方形互相重合，若摁住其中一個(gè)不動(dòng)，使另一個(gè)繞頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積為______.

圖6

分析：本題考查正方形的性質(zhì)和圖形的旋轉(zhuǎn)變換，可將AD′延長作輔助線，由于原圖形旋轉(zhuǎn)了45°，因此AD′的延長線經(jīng)過點(diǎn)C，再用△ABC的面積減去△CD′E的面積即可.

解：如圖7所示，連接D′C，設(shè)BC與C′D′交于點(diǎn)E.

圖7

∵正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)了45°，

∴點(diǎn)D′位于正方形ABCD的對(duì)角線AC上.

∴∠D′CE=45°.

∵∠AD′E=90°，

∴∠ED′C=180°-∠AD′E=180°-90°=90°.

∴△CD′E是等腰直角三角形，即CD′=D′E.

在Rt△ABC中，由勾股定理，可得

3 策略三：割補(bǔ)并舉

當(dāng)單獨(dú)使用“割”或者“補(bǔ)”都不能順利求解時(shí)，就可以利用割補(bǔ)并舉的方式求解，這種策略在等積變形中最常見.割補(bǔ)并舉是指將原圖形上的某一部分切割下來放到其他合適的位置上，使其成為一個(gè)較為規(guī)則的圖形，進(jìn)而簡(jiǎn)化求解.運(yùn)用此策略根據(jù)圖形的特點(diǎn)進(jìn)行靈活割補(bǔ)，結(jié)合題目已知條件計(jì)算求解即可.

例3如圖8所示，圖中的三塊陰影部分由兩個(gè)半徑等于1的圓和其外公切線分割而得，如果中間一塊陰影的面積等于上下兩塊面積之和，則這兩個(gè)圓的公共弦長等于( ).

圖8

分析：本題只利用“割”或者“補(bǔ)”較難求解，既需要“割”又需要“補(bǔ)”.根據(jù)已知條件可得圓的面積恰好等于矩形ABCD的面積，在此基礎(chǔ)上結(jié)合垂徑定理即可解得公共弦長.

故選正確答案：D.

練習(xí)3如圖9所示，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=8 cm，把△ABC以點(diǎn)B為中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊的延長上點(diǎn)C′處，求AC邊掃過的圖形(圖中陰影部分)的面積為______(結(jié)果保留π).

圖9

分析：本題可將△A′BC′中陰影部分割補(bǔ)到△ABC中，將原陰影部分轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)規(guī)則的環(huán)形，再利用大扇形的面積減去小扇形的面積即可得到所求陰影面積.

解：由題意可知，點(diǎn)A走過的路徑為弧AA′，且其所對(duì)的圓心角為∠ABA′=180°-∠A′BC′=180°-60°=120°.

在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AB=8.

又∵△ABC旋轉(zhuǎn)到△A′BC′，

∴∠A′BC′=∠ABC=60°.

在初中數(shù)學(xué)知識(shí)中，內(nèi)角和定理、勾股定理等常用割補(bǔ)法證明，解答與梯形有關(guān)的問題也可利用“割”“補(bǔ)”的策略進(jìn)行求解.總而言之，“割”“補(bǔ)”的方法在解題中十分常見，對(duì)提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力大有裨益，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的化歸思想.