光杠桿法測楊氏模量實驗的一種改進方法

張 莉，榮振宇，王晗語，姜恒鈞，韓玉晶，陳小藝

(濟南大學 物理科學與技術學院，山東 濟南 250022)

楊氏模量是反映固體材料抵抗彈性形變能力的物理量，它的測定在科學研究和技術應用中都具有重要意義.在大學物理實驗中，楊氏模量的測量方法大致分為靜態(tài)拉伸法和動態(tài)法兩類.靜態(tài)拉伸法是將被測金屬絲拉伸后，通過對金屬絲微小伸長量的測量實現(xiàn)楊氏模量的測量.實驗中，金屬絲的微小伸長量可以借助光杠桿[1]或激光杠桿[2,3]進行放大測量，也可以借助箔式應變片[4]、霍爾位置傳感器[5]、位移光柵尺[6]等傳感器進行測量，還可以利用莫爾條紋[7]、劈尖干涉[8]、數(shù)字激光散斑照相術[9]等光學手段實現(xiàn)測量.動態(tài)法則是通過對做受迫振動或自由阻尼振動[10]的被測材料的頻率等參數(shù)進行測量，進而實現(xiàn)其楊氏模量的測量.靜態(tài)拉伸法中的光杠桿法原理直觀、簡單，因此在大學物理實驗教學中應用較多.

傳統(tǒng)的光杠桿法測楊氏模量的實驗中需要測量光杠桿平面鏡到標尺的距離，且該距離一般要求一米以上，因此會導致測量的不便.本論文通過對傳統(tǒng)的光杠桿法測楊氏模量的實驗裝置的改進，將原本光杠桿平面鏡到標尺距離的測量，改為測量該距離的改變量，由此實現(xiàn)楊氏模量的測量.

1 光杠桿法測楊氏模量的改進

在彈性形變范圍內(nèi)，固體材料應力與應變的比值定義為楊氏模量.對于一條原長度為L0、橫截面面積為S(直徑為d)的金屬絲，在拉力F的作用下發(fā)生了ΔL的微小伸長量，則其楊氏模量可以表示為

(1)

金屬絲的微小伸長量ΔL采用光杠桿進行測量.如圖1所示，設光杠桿兩前足連線與后足的距離為b，光杠桿平面鏡到標尺的距離為D0，則待測金屬絲的微小伸長量ΔL可以近似表示為

(2)

其中，Δx為未施加拉力時與施加拉力F后標尺刻度的變化量.將式(2)代入式(1)，可得

(3)

式(3)即傳統(tǒng)光杠桿法測楊氏模量的計算公式.

圖1 改進后的光杠桿法測楊氏模量實驗裝置圖

在傳統(tǒng)的光杠桿法測楊氏模量實驗中，往往取L0、d、b以及D04個物理量為恒定值，然后在增加或減小拉力F前后測量標尺刻度的變化量Δx.為了降低測量結果的相對不確定度，實驗一般要求光杠桿平面鏡到標尺的距離較大，但這樣會導致D0值測量的不便.為了解決這一問題，本論文將傳統(tǒng)楊氏模量實驗儀的望遠鏡與標尺組合安裝在一個帶有讀數(shù)裝置的一維平移臺上(如圖1所示)，平移臺可以帶動望遠鏡與標尺同步移動.實驗中在金屬絲所受拉力為某一定值且保持不變時，調(diào)節(jié)平移臺移動望遠鏡和標尺組合，利用平移臺的讀數(shù)裝置測量光杠桿平面鏡到標尺距離的改變量ΔD，并通過望遠鏡測量平移臺移動前后標尺刻度的改變量ΔX，以此替代傳統(tǒng)實驗方法中D0值和Δx值的測量.

2 改進后的光杠桿法測楊氏模量原理

改進后的光杠桿法測楊氏模量的原理圖如圖2所示.實驗前先將一維平移臺放在距離光杠桿大約1～2 m處，并按傳統(tǒng)方法調(diào)節(jié)好光杠桿和望遠鏡，使得光杠桿平面鏡為豎直狀態(tài)；再調(diào)節(jié)平移臺的移動方向，使之與此時光杠桿平面鏡的法線方向保持一致；最后調(diào)節(jié)平移臺，將望遠鏡與標尺組合移動到其可調(diào)范圍內(nèi)最接近光杠桿的位置附近.

圖2 改進后的光杠桿法測楊氏模量的原理圖

當實驗中施加給金屬絲的拉力為F時，由于光杠桿平面鏡的轉動，鏡面法線偏轉到與水平方向夾角為α.首先，調(diào)節(jié)平移臺將標尺向遠離光杠桿的方向移動到標尺的某一刻度線與望遠鏡十字叉絲重合的位置，此時標尺的刻度值與平移臺讀數(shù)裝置的示數(shù)分別作為標尺刻度的改變量ΔX與光杠桿平面鏡到標尺距離的改變量ΔD的測量“零點”；再次調(diào)節(jié)平移臺將標尺向遠離光杠桿的方向移動，當標尺刻度的改變量ΔX1=1 mm時，記錄光杠桿平面鏡到標尺距離的改變量ΔD1；然后繼續(xù)移動標尺，依次記錄標尺刻度的改變量分別為ΔX2=2 mm，ΔX3=3 mm，…時光杠桿平面鏡到標尺距離的改變量ΔD2、ΔD3、…；當平移臺在其可調(diào)范圍內(nèi)由接近光杠桿的近端移動到其遠端后，再反向移動平移臺，在相同ΔX值的條件下再測量一組ΔD值；最后，將往返兩次測量的ΔD值對應取平均值，再與相應的ΔX值進行線性擬合計算，即可計算出拉力為F的條件下光杠桿平面鏡的反射光線的斜率k，且根據(jù)圖2有

(4)

因此，由式(4)可以得出此時待測金屬絲的微小伸長量ΔL可以近似表示為

(5)

再將式(5)代入式(1)，可得楊氏模量的計算公式為

(6)

3 測量結果

圖3是本論文改進后的實驗裝置實物圖，該裝置是在杭州光學電子儀器有限公司生產(chǎn)的HG-YMC-IV型楊氏模量測定儀的基礎上加以改進，其數(shù)字拉力計的施力范圍是0～20 kg，分辨率為0.01 kg，其標尺的刻度范圍是-15～15 cm，最小刻度為1 mm；平移臺使用的是北京大恒光電生產(chǎn)的GCM-830303M型手動數(shù)顯平移臺，其移動行程為100 mm，分辨率為0.01 mm.實驗中分別利用卷尺(極限誤差為0.5 mm)、螺旋測微器(極限誤差為0.004 mm)和游標卡尺(極限誤差為0.02 mm)測量實驗用鋼絲的長度L0、直徑d以及光杠桿兩前足連線與后足的距離b，實驗數(shù)據(jù)及其處理結果如表1-3所示.

實驗裝置整體圖

改進后的望遠鏡與標尺組合實物圖圖3 改進后的實驗裝置實物圖

表1 鋼絲長度的數(shù)據(jù)處理

表2 鋼絲直徑的數(shù)據(jù)處理

表3 光杠桿兩前足連線與后足距離的數(shù)據(jù)處理

為了減小鋼絲彎曲、鋼絲夾具卡口摩擦力、彈性滯后等因素的影響，實驗測量中一是需要在實驗之初對鋼絲施加一定的初始拉力以預拉伸鋼絲，二是所施加的拉力采用先增加后減小的方式進行兩組測量.此外，結合本論文所采用的測量原理，還需要在拉力為某一定值且保持不變的情況下，調(diào)節(jié)平移臺進行往返兩組測量以降低測量的隨機誤差.

在實驗過程中，施力系統(tǒng)在施加3.00 kg砝碼相應的預拉力的基礎上，每次增加1.00 kg砝碼相應的拉力直至13.00 kg砝碼相應的拉力，之后每次再減小1.00 kg砝碼相應的拉力直至3.00 kg砝碼相應的拉力；在拉力為某一定值且保持不變的情況下，調(diào)節(jié)平移臺往返兩次測量在標尺刻度的改變量依次為1.0 mm、2.0 mm、3.0 mm、…時光杠桿平面鏡到標尺距離的改變量，然后將標尺刻度的改變量與兩次光杠桿平面鏡到標尺距離改變量的平均值作線性擬合計算，得到增加拉力和減小拉力過程中各拉力值條件下反射光線的斜率如表4所示.

表4 砝碼質量及其相應反射光線的斜率

在傳統(tǒng)的光杠桿法測楊氏模量實驗中，往往采用逐差法進行數(shù)據(jù)處理.因此，將利用逐差法得到的拉力變化量ΔF及與之相應的反射光線斜率的變化量Δk代入式(6)，則楊氏模量的計算公式又可以

(7)

還可以將上述所測得的反射光線的斜率ki與相應的拉力Fi再次進行線性擬合計算，此時所得的斜率dk/dF即表示反射光線的斜率隨拉力改變時的變化率.因此，式(7)又可以進一步寫為

(8)

式(8)即為利用本論文改進后的光杠桿法測楊氏模量最終的計算公式.

利用表(4)所得數(shù)據(jù)，以拉力Fi為自變量，反射光線斜率的平均值ki為因變量進行線性擬合計算，最終計算所得反射光線的斜率隨拉力的變化的斜率為dk/dF=(0.000 524 22±0.000 004 53) N-1.

將上述計算結果代入式(8)，計算所測鋼絲的楊氏模量的平均值為

其間接測量的相對不確定度為

則楊氏模量的總不確定度為

最終實驗測得鋼絲的楊氏模量為

EY=1.4%

4 結論

本論文在現(xiàn)有光杠桿法楊氏模量測定儀的基礎上，在標尺處安裝一個帶有讀數(shù)裝置的平移臺，一方面利用該裝置測量光杠桿平面鏡到標尺距離的改變量ΔD，從而解決傳統(tǒng)方法中測量較大的距離D0所帶來的不便，可以提高單人完成實驗的便捷性；另一方面當金屬絲受到的拉力為某一定值且保持不變時，傳統(tǒng)的光杠桿法測楊氏模量實驗僅對標尺刻度進行單次測量，而本論文通過調(diào)節(jié)平移臺可以實現(xiàn)相同實驗條件下的多次測量，從而可以降低測量中隨機誤差的影響.