坐標(biāo)、動量表象的不對稱積分投影算符與宇稱測量

王 帥，張建東，王鳳飛，朱小芹

(江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001)

量子力學(xué)表象和算符是量子力學(xué)中最基本且重要的概念，它們在量子理論中起著重要的作用.特別是，有序算符內(nèi)的積分技術(shù)(簡稱IWOP)[1]進(jìn)一步推動了量子力學(xué)表象與算符的變換理論，使狄拉克符號法更完美、更具體，能更好的表達(dá)物理規(guī)律.

(1)

(2)

它也是一個厄米算符.它與式(1)是否具有類似的性質(zhì)，對應(yīng)于同一種物理測量呢？本文將會作進(jìn)一步的探討.

在本工作中，本文將借助IWOP技術(shù)討論以上問題，給出不對稱積分型投影算符式(1)和式(2)的積分顯式，進(jìn)而討論這一類厄米算符所對應(yīng)的物理測量.

1 雙模坐標(biāo)表象的不對稱積分型投影算符

為了便于學(xué)生對量子算符的IWOP積分技術(shù)的理解，這里給出詳細(xì)的推導(dǎo)過程. 在Fock態(tài)表象中，坐標(biāo)算符的本征態(tài)|x〉可以表示為[1]

(3)

在量子力學(xué)中，雙模真空投影算符的正規(guī)乘積形式如下：

(4)

式中符號::就表示玻色算符的正規(guī)乘積排序，即所有的產(chǎn)生算符都排列在湮沒算符的左邊，在符號::內(nèi)產(chǎn)生算符和湮沒算符可以任意交換位置，而不影響結(jié)果.因此，把式(3)和式(4)代入式(1)的左邊，可得

(5)

由式(5)可見，產(chǎn)生算符都在正規(guī)乘積符號::的左邊，湮沒算符都在右邊.因此，式(5)右邊的積分已經(jīng)按正規(guī)乘積排序好了，可進(jìn)一步寫為

(6)

由于在正規(guī)乘積符號::內(nèi)，產(chǎn)生算符和湮沒算符位置可以任意交換，是對易的，故式(6)在數(shù)學(xué)上可直接進(jìn)行積分.利用數(shù)學(xué)上的積分公式：

(7)

其積分收斂條件為Re(α)>0，對式(6)積分可得

(8)

這樣，本文就利用IWOP技術(shù)給出如式(1)所示不對稱積分型投影算符的積分顯式.

(9)

然后，把式(9)泰勒展開式中的產(chǎn)生算符都排列到符號::的左邊，湮沒算符排列到右邊，再利用式(4)立即可得

(10)

(11)

顯然，與雙模Fock態(tài)表象的完備性關(guān)系

另外，比較式(8)和式(11)可見，連續(xù)變量的不對稱積分型投影算符和分離變量的不對稱求和型投影算符是同一個厄米算符，即

(12)

自然要問，式(12)表示的不對稱投影算符既然是一類厄米算符，那么它在量子力學(xué)中是否有其經(jīng)典物理對應(yīng)呢，即是否對應(yīng)于某個物理量或某種物理測量呢? 這正是本文下面要討論的另一個主要問題.

2 雙模動量表象的不對稱積分型投影算符

類似的,下面討論基于動量表象所構(gòu)造的不對稱積分型投影算符.在Fock態(tài)表象中，動量算符的本征態(tài)|p〉可以表示為[1]

(13)

與式(8)的推導(dǎo)過程類似，可導(dǎo)出式(13)的積分顯式為

(14)

在Fock態(tài)表象下，式(14)的右邊還可以寫成

(15)

(16)

雖然，式(8)與式(14)略有不同，但實質(zhì)上它們都是同一類厄米算符，也都對應(yīng)著同一種物理測量.下面，本文對此給出嚴(yán)格證明.

3 Mach-Zehnder干涉儀的宇稱測量方案

在量子度量學(xué)中，基于光學(xué)Mach-Zehnder干涉儀的相位估計方案有著重要且廣泛的應(yīng)用[6]. 宇稱測量，或稱為光子數(shù)的奇偶測量，是Mach-Zehnder干涉儀相位估計方案中的一種具體的測量方法[7]，如圖 1所示. 在圖1中，虛線框前的部分為量子態(tài)經(jīng)過第一塊平衡分束器BS1后，再經(jīng)過相移器，這一過程通常稱為參數(shù)化過程. 參數(shù)化后的量子態(tài)，本文用|Ψ〉ab來表示.這里相移器描述光經(jīng)過干涉儀的兩條光路所產(chǎn)生的相位差φ，這正是需要測量的參數(shù)．從測量的角度來講，在量子態(tài)|Ψ〉ab之后的部分均可認(rèn)為是測量部分.所以圖1虛線框所示的就是Mach-Zehnder干涉儀的宇稱測量方案.

圖1 Mach-Zehnder干涉儀中宇稱測量方案

Mach-Zehnder干涉儀的宇稱測量方案是指量子態(tài)|Ψ〉ab經(jīng)過最后一塊分束器后的光子數(shù)奇偶測量，即求測量算符的期望值：

(17)

(18)

(19)

在分束器的相位角θ=π/2和φ=0的特殊情況下,即考慮一塊平衡分束器，高洋等人把Mach-Zehnder干涉儀的宇稱測量方案表示成如下投影算符[3]：

(20)

進(jìn)而簡化了宇稱測量信號的計算. 但他們并沒有給出解析的證明.

(21)

解析證明了結(jié)果式(20)的正確性，而且還給出了該測量方案在相干態(tài)表象、糾纏態(tài)表象中的表示，做了進(jìn)一步推廣.當(dāng)θ=π/2時，即為平衡分束器時，上式簡化為

(22)

顯然，當(dāng)式(22)中參數(shù)φ=0和φ=π時，式(22)就分別等于式(8)和式(14)了.所以，式(8)和式(14)所表示的不對稱積分投影算符，都對應(yīng)于任意雙模量子態(tài)經(jīng)過一塊平衡分束器后的宇稱測量方案.因此，這里就回答了本文所提出的第2個有趣問題.

另一方面，與式(11)推導(dǎo)類似，容易給出式(22)在Fock態(tài)表象下的表示，即

(23)

當(dāng)式(23)中參數(shù)φ=0和φ=π時，式(23)就分別等于式(11)和式(15)了. 由以上討論可見，對于同一個厄米算符，可以根據(jù)不同需要，把它表示成不同量子力學(xué)表象下的不對稱投影算符形式，從而簡化相關(guān)量子算符的運算.

綜上所述，本文基于坐標(biāo)、動量表象構(gòu)造了一類簡單有趣的不對稱積分型投影算符，它們是量子力學(xué)上的一種厄米算符. 通過有序算符內(nèi)的積分技術(shù)，得到了該類不對稱積分型投影算符的正規(guī)乘積形式. 同時，本文嚴(yán)格證明了這類不對稱投影算符對應(yīng)于光學(xué)Mach-Zehnder干涉儀相位估計中的宇稱測量方案,從另一個角度展現(xiàn)了量子力學(xué)中的厄米算符和量子表象之間的緊密關(guān)系. 本文內(nèi)容比較新穎且有趣、計算推導(dǎo)過程相對簡單易懂，為量子力學(xué)中表象變換論和狄拉克符號法提供了一個教學(xué)研究范例．