夾逼定理極限理論下思政元素挖掘與呈現(xiàn)

姬紅艷

(河北工程大學 數(shù)理科學與工程學院，河北 邯鄲056038)

高等教育不僅肩負專業(yè)知識的傳授、學生綜合知識運用能力的提高，而且要全面推進思想政治建設(shè)，各類課程要與思想政治課同向同行，形成協(xié)同效應。在教學過程中要堅持顯性教育與隱性教育相統(tǒng)一，挖掘課程和教學方式中所蘊含的思想政治教育資源，實現(xiàn)全員全程全方位教書育人。

極限理論是高等數(shù)學中最基礎(chǔ)最重要的理論之一，貫穿于高等數(shù)學的始末。極限方法是借助于極限理論，利用規(guī)則的、規(guī)范的知識點來解決不規(guī)則問題、無規(guī)律問題的重要方法，同時培養(yǎng)學生相應邏輯思維能力、解決問題能力。在極限理論的夾逼原則中的放縮方法的學習中隱含著思想政治建設(shè)的創(chuàng)新導向與適度原則。

一、極限運算法則運用過程中培養(yǎng)學生未知問題向已知轉(zhuǎn)化的邏輯思維

極限理論是高等數(shù)學的重要理論，極限理論的核心是：如果一個數(shù)列或函數(shù)無限地接近于一個常數(shù)，我們就說這個數(shù)是這個數(shù)列或函數(shù)的極限。定義討論相關(guān)問題高度抽象，極限計算的四則運算法則將極限存在性證明和計算方法首次進行擴充，極限運算法則的運用條件中要求參加運算的函數(shù)個數(shù)為有限個、參加運算的函數(shù)極限都存在、分母極限不為0。但當參加運算的函數(shù)的個數(shù)為無數(shù)個的情況下不能運用運算法則時，啟發(fā)學生使用有限個函數(shù)的運算來表達上述結(jié)果，將未知問題向已知轉(zhuǎn)化，通過典型例子求解極限如圖1所示。

圖1 未知問題向已知轉(zhuǎn)化過程

例如：

不能運用運算法則直接求解，通過轉(zhuǎn)化為

來解決問題，強調(diào)在學習、生活和工作中不可死板教條要培養(yǎng)分析問題的習慣，增強未知問題向已知轉(zhuǎn)化意識，培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。

二、極限運算法則運用過程中培養(yǎng)學生轉(zhuǎn)化障礙問題的發(fā)現(xiàn)意識和創(chuàng)新意識

極限運算時參加運算的函數(shù)在自變量變化過程中極限都存在，參加運算的函數(shù)個數(shù)為無數(shù)個不能直接轉(zhuǎn)化為有限個函數(shù)的運算，例如：

該例中參加運算的函數(shù)為無數(shù)個，在自變量趨于無窮時每一個函數(shù)的極限都存在但不能運用運算法則，因為參加運算的函數(shù)為無數(shù)個不能由有限函數(shù)的運算來等值運算結(jié)果。通過分析參加運算的函數(shù)結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)求和的n個函數(shù)分母不同，無窮多項相加的結(jié)果難以向有限項轉(zhuǎn)化，和前面典型例題不同，原有方法不適合，需尋求新的解決方法。當?shù)戎禑o法轉(zhuǎn)換時考慮能不能進行非等值轉(zhuǎn)換，結(jié)合極限體現(xiàn)函數(shù)的取值動態(tài)，反之函數(shù)的取值動態(tài)決定極限情況，函數(shù)極限的比較原則啟發(fā)將參加運算的函數(shù)進行放縮，放縮為可以用有限項運算來等值的函數(shù)運算。極限運算

中n個函數(shù)向分母相同轉(zhuǎn)化

考慮放縮后的極限情況，引入夾逼原則。

在問題原轉(zhuǎn)化方式難以解決的情況下，創(chuàng)新挖掘進行放縮，融合創(chuàng)新能力的思維習慣，培養(yǎng)學生在學習和工作中學習新知識的能力和創(chuàng)新的意識，培養(yǎng)學生在學習和工作中前人栽樹后人乘涼的學習心態(tài)，同時培養(yǎng)學生主人翁意識，如圖2所示。

圖2 學生轉(zhuǎn)化障礙問題的發(fā)現(xiàn)意識和創(chuàng)新意識培養(yǎng)路徑

三、夾逼原則定理的教學環(huán)節(jié)設(shè)計中培養(yǎng)學生不忘初心，砥礪前行

由引例中得到啟發(fā)引入數(shù)列極限運算的夾逼原則，結(jié)合極限概念為局部概念思想將夾逼原則的數(shù)列極限理論進行擴充，由數(shù)列極限的夾逼原則引入函數(shù)極限的夾逼原則，教學環(huán)節(jié)設(shè)計如圖3所示。引入重要極限的典例

圖3 夾逼原則定理的教學環(huán)節(jié)設(shè)計

創(chuàng)新方法解決問題要本著問題本身不能解決的根源所在，找到解決問題的方法，在學習、生活和工作中進行創(chuàng)新不能憑空想象而要尋根索源，結(jié)果必然會柳暗花明！

四、夾逼原則中放縮法的運用培養(yǎng)學生樹立有章可循、有法可依的理念

夾逼原則運用前提是要討論極限的函數(shù)不能運用運算法則也不能等值轉(zhuǎn)化為可使用運算法則的函數(shù)運算，結(jié)合函數(shù)結(jié)構(gòu)特點未知問題通過放縮以后轉(zhuǎn)化為已知問題，放縮的目標是轉(zhuǎn)化為可運用運算法則進行討論的函數(shù)結(jié)構(gòu)。在放縮時必須是適當放縮，放大和縮小應遵循的原則：第一，放大和縮小以后的函數(shù)結(jié)構(gòu)簡單；第二，放大和縮小以后的函數(shù)極限都存在；第三，放大和縮小以后的函數(shù)極限必須相等。例如，極限計算

如果單從放大和縮小簡化函數(shù)結(jié)構(gòu)來考慮，將函數(shù)

放大為

共n個函數(shù)相加；

縮小為

放大和縮小以后的函數(shù)結(jié)構(gòu)雖然簡單，極限也存在，但是兩個函數(shù)在n趨于無窮時極限并不相等，不能夠計算出所求極限。所有方法所有變換要本著解決問題的方向出發(fā)，無論轉(zhuǎn)化的方法和構(gòu)思多么巧妙，轉(zhuǎn)化后的函數(shù)結(jié)構(gòu)多么簡單，但是轉(zhuǎn)化后的極限情況不一致就抹殺了函數(shù)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化的目的。同樣，在學習工作中，要有法可依，有章可循，不可盲目行事。

小結(jié)

本文主要通過討論高等數(shù)學中極限四則運算法則運用時不滿足法則運算條件的情況下，采用不同的解決方法時思改元素的挖掘與呈現(xiàn)：參加運算函數(shù)個數(shù)為無數(shù)個時可以用有限個函數(shù)運算來等值結(jié)果提升學生未知問題向已知問題轉(zhuǎn)化的邏輯思維能力；參加運算函數(shù)個數(shù)為無數(shù)個不能由有限個函數(shù)運算來等值結(jié)果時的情形培養(yǎng)學生在學習工作中的主體意識和創(chuàng)新意識；通過夾逼原則的適度放縮的討論學習培養(yǎng)學生解決問題時不可盲目追求表現(xiàn)形式的華麗，要追根溯源、有章可循、有法可依。