求解平面向量問題的常用方法

王 龍

(陜西省渭南市瑞泉中學(xué))

平面向量是聯(lián)系高中數(shù)學(xué)幾何知識與代數(shù)知識獨(dú)特且關(guān)鍵的橋梁,因此平面向量問題是高考數(shù)學(xué)必不可少的考題.解答平面向量問題有很多種方法,其中投影法、基底法、坐標(biāo)法最為常用,是學(xué)生必須掌握的解題方法.通過具體例題,分別介紹這三種方法對應(yīng)的解題思路與具體應(yīng)用過程,以期加深讀者對于這些方法的理解,并能熟練運(yùn)用這些方法高效、正確地求解問題.

1 投影法

投影法是求解平面向量問題的常用方法,主要是根據(jù)數(shù)量積公式a·b＝|a|·|b|cosθ(其中θ＝〈a,b〉)對模長和角度進(jìn)行分析,進(jìn)而對問題做出解答.運(yùn)用該方法解答平面向量問題的一般思路為:結(jié)合已知平面幾何關(guān)系,找到與問題所求有關(guān)的向量和對應(yīng)投影向量,再憑借向量數(shù)量積公式的幾何定義,對未知的模長或角度進(jìn)行推理分析,通過運(yùn)算得到最終答案.

圖1

2 基底法

基底法具體是指選擇一組已知向量作為基底向量,根據(jù)所給條件將問題所求等價(jià)轉(zhuǎn)化為只含基底向量的表達(dá)式,進(jìn)而通過運(yùn)算求出問題所求的對應(yīng)值大小.運(yùn)用基底法求解這一類問題時(shí),一般解題思路為:根據(jù)問題所給條件,選擇一組向量作為基底向量,運(yùn)用平面向量矢量法則,將問題所求轉(zhuǎn)化為用基底向量表示的解析式,代入基底向量具體值,即可得到問題的最終答案.

圖2

圖3

3 坐標(biāo)法

作為解答平面向量問題的常用方法,坐標(biāo)法的運(yùn)用十分廣泛,具體是指通過幾何關(guān)系建立平面直角坐標(biāo)系將所求問題的向量坐標(biāo)化,利用坐標(biāo)運(yùn)算對問題做出解答.該方法在解題中的一般思路為根據(jù)已知條件建立平面直角坐標(biāo)系,求出已知點(diǎn)的坐標(biāo),對未知點(diǎn)進(jìn)行假設(shè),通過平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,對問題做出分析與解答.

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上述三種不同的解題方法都是解答平面向量問題常見的方法,投影法在于靈活運(yùn)用數(shù)量積公式進(jìn)行投影的轉(zhuǎn)化,基底法的運(yùn)用關(guān)鍵在于選擇合適的基底向量,坐標(biāo)法則通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)行求解.每一種方法都有與之對應(yīng)的解題思路,在運(yùn)用這些方法時(shí),應(yīng)多思考、多實(shí)踐、多總結(jié).只有結(jié)合自己的理解使其成為屬于自己的解題方法,才能使這類平面向量問題迎刃而解.