平面向量問題分類討論例析

朱子琨

(甘肅省天水市第十中學(xué))

對于平面向量問題,由于它具有“數(shù)”與“形”的雙重特性,求解時往往需要對原問題進(jìn)行分類討論,以達(dá)到完整解決問題的目的,這就是數(shù)學(xué)解題中最常用的分類討論思想.下文結(jié)合具體實(shí)例探討平面向量問題中的分類源自哪里,談?wù)劮诸愑懻撍枷朐诮馄矫嫦蛄繂栴}中的應(yīng)用,供讀者參考.

1 因向量的方向不確定分類討論

解題時需要討論向量是否共線,同時,當(dāng)已知兩個向量平行或共線時,往往需討論它們的方向是同向還是反向,否則解答過程不嚴(yán)密、也不完整,容易丟分.

例1 求證:

|a＋b|2＋|a-b|2＝2(|a|2＋|b|2).

分析 在本題中,向量a與b可能共線,也可能不共線,所以解題時應(yīng)分別加以討論.

證明 若向量a,b共線.

當(dāng)向量a,b共線且方向相同時,則

所以|a＋b|2＋|a-b|2＝2(|a|2＋|b|2).

當(dāng)向量a,b共線且方向相反時,則

所以|a＋b|2＋|a-b|2＝2(|a|2＋|b|2).

若向量a,b不共線,如圖1所示.

圖1

解答本題容易犯的錯誤就是“顧此失彼”,從而導(dǎo)致證明不嚴(yán)密.對于平面向量證明題,一般可采取數(shù)形結(jié)合的方法,以確保討論問題的完整性.

在求有向線段分點(diǎn)坐標(biāo)時,不必過分強(qiáng)調(diào)公式記憶,可以轉(zhuǎn)化為向量問題后解方程組求解,同時應(yīng)注意分類討論.

2 因向量的位置關(guān)系不確定分類討論

平面向量既有大小又有方向,它的起點(diǎn)與方向確定了它的位置.對于某些平面向量中的定性問題,當(dāng)向量位置不確定時需分類討論.

例3 已知向量a,b,則對于向量c,若滿足a＋b＋c＝0,那么能說明表示a,b,c的有向線段構(gòu)成三角形嗎?

分析 題中沒有告訴我們向量a與b是否平行,此外這兩個向量也有可能是零向量,故需要分3種情形加以討論.

解 如果向量a與b中至少有一個向量是零向量,那么它們無法構(gòu)成三角形;

如果a與b平行,那么無論它們是同向還是反向,都無法構(gòu)成三角形;

圖2

判斷幾個向量能否構(gòu)成幾何圖形,既要考慮向量的方向,又要看向量的模長,滿足時可以直觀畫出滿足條件的幾何圖形.解答這類問題時應(yīng)考慮特殊情形,否則極易造成漏解或解題不嚴(yán)密的現(xiàn)象.

3 因參數(shù)不確定分類討論

當(dāng)平面向量的題目中含有參數(shù)時,由于參數(shù)的范圍沒有確定,所以也需要分類討論.這類問題往往以向量運(yùn)算為途徑,最終轉(zhuǎn)化為含參函數(shù)問題,尤其是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)含參問題.

分析 先根據(jù)條件求出a·b及|a＋b|,把它們代入f(x)得到以cosx為自變量,且含有參數(shù)λ的函數(shù)f(x).由函數(shù)解析式知,要求該函數(shù)的最小值,必須要對參數(shù)λ進(jìn)行分類討論.

解 (1)由已知條件可得2cosx.

(2)f(x)＝cos2x-4λcosx＝2(cosx-λ)2-1-2λ2.

當(dāng)λ＜0 時,當(dāng)且僅當(dāng)cosx＝0 時,fmin(x)＝-1,與已知矛盾.

對于含有參數(shù)問題,必須注意取不同的參數(shù)值是否產(chǎn)生不同的結(jié)果,解答時要有分類討論的意識.

總之,分類討論的思想是數(shù)學(xué)解題常見的重要思想.應(yīng)用這種思想的關(guān)鍵是對需解決的問題進(jìn)行正確分類,分類要堅持科學(xué)合理、互斥、無漏和最簡的原則,保證分類的科學(xué)性與有效性.對于平面向量問題來說,分類討論歸根到底是由向量的方向與大小的不確定性引起的,當(dāng)含有參數(shù)時,還要關(guān)注參數(shù)是否需要分類討論.

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