構(gòu)造向量,巧解相關(guān)代數(shù)問(wèn)題

孫 琳

(江蘇省南京市金陵中學(xué)河西分校)

由于向量模的坐標(biāo)運(yùn)算涉及“平方和”的結(jié)構(gòu)形式,向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算涉及“積與和”的結(jié)構(gòu)形式,所以利用向量知識(shí)可以求解相關(guān)代數(shù)問(wèn)題.本文著重說(shuō)明如何在適當(dāng)變形、構(gòu)造向量的基礎(chǔ)上,靈活運(yùn)用如下兩個(gè)向量不等式,巧妙求解相關(guān)代數(shù)問(wèn)題,旨在幫助學(xué)生理解、掌握向量不等式,并能夠在解題中加以靈活運(yùn)用.

向量不等式1 不等式a·b≤|a|·|b|對(duì)任意向量a,b均成立.

特別地,設(shè)a,b是非零向量,則a·b＝|a|·|b|?向量a,b共線且同向?存在λ＞0,使得b＝λa;a·b＝-|a|·|b|?向量a,b共線且反向?存在λ＜0,使得b＝λa.

向量不等式2 不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|對(duì)任意向量a,b均成立.

特別地,設(shè)a,b是非零向量,則|a|＋|b|＝|a＋b|?向量a,b共線且同向;|a|＋|b|＝|a-b|?向量a,b共線且反向;||a|-|b||＝|a＋b|?向量a,b共線且反向;||a|-|b||＝|a-b|?向量a,b共線且同向.

此外,需要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)以下各例是如何根據(jù)“平方和”的形式或“積與和”的形式,靈活構(gòu)造向量,并借助上述向量不等式巧妙求解目標(biāo)問(wèn)題.

1 構(gòu)造向量,巧證不等式

2 構(gòu)造向量,巧求最值或值域

結(jié)合上述歸類(lèi)舉例解析可知“構(gòu)造向量,巧解相關(guān)代數(shù)問(wèn)題”的關(guān)鍵在于根據(jù)“平方和”或“積與和”的外在結(jié)構(gòu)形式(有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形),先構(gòu)造向量,再靈活運(yùn)用向量不等式a·b≤|a|·|b|或||a|-|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|分析、解決目標(biāo)問(wèn)題.在求解有關(guān)函數(shù)的最值或值域問(wèn)題時(shí),需要特別關(guān)注向量不等式中的“等號(hào)”能否取到,否則極易產(chǎn)生錯(cuò)誤.