概率對偶猶豫模糊PROMETHEE多屬性群決策算法

朱鈺婷，張文宇，2，侯俊杰，張仁杰

1.中國航天系統(tǒng)科學與工程研究院，北京 100048

2.西安郵電大學 經(jīng)濟與管理學院，西安 710061

隨著參與決策人數(shù)的增加，決策過程變得更復雜，因而多屬性群決策（multi-attribute group decision making，MAGDM）在現(xiàn)代決策理論和決策科學中發(fā)展為一個極為重要的研究領(lǐng)域，在工程、物流、醫(yī)學及軍事等諸多方面都有著廣泛的應用。1965 年，Zadeh[1]提出模糊集（fuzzy sets，F(xiàn)Ss）理論以來，這一理論常用于處理實際生活中具有模糊性和不確定性的問題。Atanassov[2]定義了直覺模糊集（intuitionistic fuzzy sets，IFSs），該模糊集認為隸屬度與非隸屬度之和應小于等于1[3]。Yager[4]提出的畢達哥拉斯模糊集（pythagorean fuzzy sets，PFSs），將隸屬度和非隸屬度范圍擴大至平方和小于等于1[5]?？紤]到?jīng)Q策者在決策過程中可能會對隸屬度值存在猶豫的現(xiàn)象，Torra[6]提出了猶豫模糊集（Hesitant fuzzy sets，HFSs）。近年來，國內(nèi)外學者對猶豫模糊集[7-8]進行了較為廣泛的研究，Zhu 等[9]通過定義可能隸屬度與可能非隸屬度提出對偶猶豫模糊集（dual hesitant fuzzy sets，DHFSs）。Xu 等[10]在猶豫模糊集的基礎(chǔ)上提出了概率猶豫模糊集（probabilistic hesitant fuzzy sets，PHFSs），不僅提供了每個評價方案的所有隸屬度，并且提供了各個隸屬度對應的概率。Hao 等[11]在概率猶豫模糊集和對偶猶豫模糊集的基礎(chǔ)上定義了概率對偶猶豫模糊集（probabilistic dual hesitant fuzzy sets，PDHFSs），該模糊集既能夠從隸屬度與非隸屬度角度收集決策信息，又包含了對應的概率信息[12]。與PHFSs、DHFSs等猶豫模糊集相比，概率對偶猶豫模糊集對決策者的猶豫不決與心理偏好表達得更加準確，減少了決策過程中評價信息缺失的情況，PDHFSs作為2017年提出的理論，相關(guān)的理論研究及實際應用亟需豐富。

Brans 等[13]提出的偏好順序結(jié)構(gòu)評估法（preference ranking organization method for enrichment evaluations，PROMETHEE），是一種建立在“級別高于關(guān)系”的多準則決策方法。相比常用的信息集結(jié)算子，如加權(quán)平均算子[14]、加權(quán)幾何平均算子[15]等，PROMETHEE 方法思路清晰、簡單有效，對環(huán)境具有靈活性和適應性，能夠保證方案決策結(jié)果的穩(wěn)定性與可靠性，已經(jīng)成功地運用于各種領(lǐng)域，例如醫(yī)療服務[16]、輿情管控方案評選[17]、FMEA風險評估[18]、水資源方案評估[19]等研究。

多屬性群決策問題考慮的是個人視角很難完成的決策，需要從多視角去做出判斷的問題。因此，多屬性群決策算法的研究對現(xiàn)代決策的發(fā)展十分必要，尤其是模糊信息和猶豫決策這兩個方面已經(jīng)成為學術(shù)界的重要研究領(lǐng)域。目前尚未發(fā)現(xiàn)有研究基于概率對偶猶豫模糊集與PROMETHEE 擴展的模糊信息評價算法，并用來解決多屬性群決策問題。綜上，本文提出一種基于概率對偶猶豫模糊集與PROMETHEE結(jié)合的多屬性決策算法（以下簡稱PDHFSs-PROMETHEE）。該算法首先通過概率對偶猶豫模糊語言描述決策信息，根據(jù)改進的得分函數(shù)和偏差函數(shù)集成概率對偶猶豫模糊元素，解決了決策信息難以定量化表達的問題；其次通過PDHFWA算子將各決策者的決策信息聚合為概率對偶猶豫模糊綜合評價矩陣；最后通過PROMETHEE 方法判斷航空災難事故應急響應備選方案的優(yōu)先級，得到最優(yōu)決策方案。

1 基本概念

1.1 概率對偶猶豫模糊集

如果S(pd1)＜S(pd2)，則pd1＜pd2；

如果S(pd1)=S(pd2)，則：

（1）如果σ(pd1)＜σ(pd2)，則認為pd1優(yōu)于pd2，記為pd1＞pd2。

（2）如果σ(pd1)=σ(pd2) ，則認為pd1與pd2無差別，記為pd1～pd2。

定義5 概率對偶猶豫模糊元素的偏離度能夠反映所有信息的穩(wěn)定性，為了在得分函數(shù)中能夠充分考慮概率對偶猶豫模糊元素的偏離度，對概率對偶猶豫模糊元素的得分函數(shù)提出改進。改進的得分函數(shù)不僅克服了原始得分函數(shù)的兩步計算法與忽略偏離度的問題，只需要一步計算即可得到信息比較的結(jié)果，并且考慮了猶豫信息對隸屬度與非隸屬度不同的影響，使信息比較結(jié)果更加具有可靠性。

設(shè)pd=h?,g?=h|p,g|q為一個概率對偶猶豫模糊元素，改進的概率對偶猶豫模糊元素的得分函數(shù)表示為：

其中，γi∈h、pi∈p分別表示隸屬度部分的隸屬度值與相應的概率，ηj∈g、qj∈q分別表示非隸屬度部分的非隸屬度值與相應的概率。#h?(x)和#g?(x)分別表示隸屬度和非隸屬度中相應元素的個數(shù)。

定義6 基于定義5中改進的得分函數(shù)，兩個概率對偶猶豫模糊元素pd1和pd2之間的比較可以表示為：

（1）如果S*(pd1)＞S*(pd2)，則認為pd1優(yōu)于pd2，記為pd1＞pd2。

（2）如果S*(pd1)＜S*(pd2)，則pd1＜pd2。

（3）如果S*(pd1)=S*(pd2)，則說明pd1與pd2無法區(qū)分，記為pd1～pd2。

概率對偶猶豫模糊加權(quán)平均算子（PDHFWA）的集成結(jié)果是概率對偶猶豫模糊元，且滿足下列優(yōu)良性質(zhì)：

（1）置換不變性：令αi=ωi pdi，設(shè)(β1,β2,…,βn)是(α1,α2,…,αn)的任一置換，則PDHFWA(α1,α2,…,αn)=PDHFWA(β1,β2,…,βn)。

（2）有界性：設(shè)αi=ωih?i(x),ωig?i(x) (i=1,2,…,n)為一組加權(quán)概率對偶猶豫模糊數(shù)，αmin≤PDHFWA(α1,α2,…,αn)≤αmax。

（3）單調(diào)性：設(shè)α′i=ωih?′i(x),ωig?′i(x) (i=1,2,…,n)為另一組PDHFWA，若αi≤α′i，則PDHFWA(α1,α2,…,αn)≤PDHFWA(α′1,α′2,…,α′n)。

（4）冪等性：令pdi=＜h?i(x),g?i(x)＞(i=1,2,…,n)為一組PDHF，如果對于所有的i=1,2,…,n，都有hi=h={γ}，gi=g={η}，pd1=pd2=…=pdn=pd，可得：

1.2 PROMETHEE方法

PROMETHEE 方法通過引入優(yōu)先函數(shù)來描述在同一屬性Cj上關(guān)于決策的優(yōu)先程度，即根據(jù)各決策屬性值之間差距的大小來判斷決策對之間的優(yōu)劣程度[22]。

PROMETHEE 方法中有6 種形式的偏好函數(shù)[23]，具體如下所示。

（1）一般準則為：

（5）線性無差別區(qū)間準則為：

無論選擇哪種偏好函數(shù)，都應計算dj(Ai,Ak)=f(Ai)-f(Ak)，其表征任何兩種備選方案之間的偏好差異。因此，PROMETHEE方法對每一個指標定義一個優(yōu)先函數(shù)，函數(shù)值值域為0～1，函數(shù)值越小，方案Ai和Ak之間的差異越??；當函數(shù)值為0 時，方案Ai和Ak無差異；其值越接近1，方案Ai優(yōu)于方案Ak的程度就越高；而當函數(shù)值為1時，方案Ai嚴格優(yōu)于方案Ak。

2 基于概率對偶猶豫模糊PROMETHEE的多屬性群決策算法

本章主要介紹了PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法的步驟。首先得到各位決策專家為相關(guān)決策問題提供的評價信息；其次，利用概率對偶猶豫模糊集理論的相關(guān)知識將其集結(jié)成綜合決策信息矩陣；最后通過PROMETHEE 方法計算各個決策方案的流出值、流入值和凈流值，并根據(jù)各對決策的凈流值大小，確定決策間的級別關(guān)系從而得到?jīng)Q策結(jié)果。

PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法對應的流程圖如圖1所示。

圖1 PDHFSs-PROMETHEE多屬性群決策算法流程圖Fig.1 PDHFSs-PROMETHEE multi-attribute group decision-making method solution flow chart

基于PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法的具體步驟如下：

步驟1 構(gòu)建概率對偶猶豫模糊決策信息矩陣。

其中，1 ≤i≤m,1 ≤j≤n,1 ≤j*≤n。

步驟3 用熵值法計算指標屬性C={Cj}的權(quán)重。

信息熵是對系統(tǒng)無序程度的度量，采用熵值法確定指標的變異程度及指標水平的綜合測度，可以有效避免人工確定指標權(quán)重的主觀性[25]。在指標矩陣X中，指標的熵值越大，表明該項指標的變異程度越大。熵值法計算的步驟如下：

（1）用功效系數(shù)法對決策方案的指標數(shù)據(jù)矩陣X進行標準化處理。

步驟4 計算綜合決策評價矩陣。

（1）根據(jù)定義7 中的PDHFWA 算子，計算出各專家在每個方案下根據(jù)各指標的綜合評價值。

在具體的多屬性決策問題中，選定線性的優(yōu)先函數(shù)，可以得到pj(AI,AK) 的值，進而求得Π(AI,AK)的值。

3 算例

3.1 算例分析

近年來航空災難事故頻發(fā)，為降低航空災難事故造成的人員傷亡和財產(chǎn)損失，某應急管理機構(gòu)擬在幾個備選方案中選擇一個有效的應急響應方案[26]。經(jīng)調(diào)查研究，現(xiàn)有4個應急響應方案（A1,A2,A3,A4）進入最終的評估范圍，備選方案的評估準則（指標屬性）為：指揮能力（C1）、救援能力（C2）、響應能力（C3）、預測能力（C4）。依托4 位行業(yè)經(jīng)驗豐富的專家、高級官員（E1,E2,E3,E4）為應急響應方案評估提供智力支持。本節(jié)采用PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法對備選應急響應方案進行評估，具體求解步驟及結(jié)果如下：

步驟1 各位決策專家Ek根據(jù)指標屬性Cj對4 個應急響應方案Ai給出評價信息，得到模糊決策信息矩陣PD(k)(k=1,2,3,4)，表1～4 分別表示各決策專家的概率對偶猶豫模糊評價決策矩陣。

表1 決策專家E1 給出的評價值決策矩陣Table 1 Evaluation value decision matrix given by decision expert E1

步驟2 基于最大離差法，確定4位決策專家分別在每個指標屬性下的客觀權(quán)重，如表5所示。

表5 各決策專家在不同指標屬性下的客觀權(quán)重Table 5 Objective weights of decision-making experts on different index attributes

表2 決策專家E2 給出的評價值決策矩陣Table 2 Evaluation value decision matrix given by decision expert E2

表3 決策專家E3 給出的評價值決策矩陣Table 3 Evaluation value decision matrix given by decision expert E3

表4 決策專家E4 給出的評價值決策矩陣Table 4 Evaluation value decision matrix is given by decision expert E4

步驟3 基于熵值法，確定指標屬性C={Cj}的權(quán)重wj，計算結(jié)果如表6所示。

表6 各指標屬性的權(quán)重Table 6 Weights of each indicator attribute

步驟4 根據(jù)權(quán)重與PDHFWA 算子，得到各決策專家的綜合決策評價矩陣，如表7所示。

表7 各決策專家的綜合決策評價矩陣Table 7 Comprehensive decision-making evaluation matrix of each decision-making expert

步驟5 計算優(yōu)先指數(shù)。選擇具有線性優(yōu)先關(guān)系準則確定優(yōu)先函數(shù)，按照式（23）計算每一對方案Ai,Ak∈A的優(yōu)先指數(shù)Π(Ai,Ak)，結(jié)果如表8所示。

表8 優(yōu)先指數(shù)Π( Ai,Ak)Table 8 Priority index Π( Ai,Ak)

步驟6 按照式（24）、（25）與式（26）計算每個應急響應方案的流出、流入和凈流值，計算結(jié)果如表9所示。

表9 各方案的流出值φ+、流入值φ-和凈流值φTable 9 Outflow value φ+，inflow value φand net flow value φ of each scheme

步驟7 通過計算決策集A上各對決策的流出值、流入值與凈流值，凈流值計算結(jié)果越大，方案越優(yōu)。

故基于本文提出的PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法，4 個備選應急響應方案的排序為A2＞A4＞A3＞A1，可以確定最優(yōu)應急響應方案為A2。

3.2 算法對比

在接下來的部分，對本文提出的算法與現(xiàn)有的多屬性決策算法進行比較。在已有的研究中，王應明等[27]提出了基于前景理論的TOPSIS 決策算法，應用于評估創(chuàng)新型企業(yè)的問題；陳秀明等[28]提出改進的VIKOR 決策算法，對電影推薦項目進行排序；Hao 等[11]提出應用PDHFS 決策算法，對北極地緣政治風險進行評估。本節(jié)將以上3種多屬性決策算法應用于本文3.1節(jié)提出的航空災難事故應急響應方案評估算例，本文算法與3種多屬性決策算法的比較如表10所示。

表10 4種多屬性群決策算法比較Table 10 Comparison of four multi-attribute group decision algorithms

為了增強算法的可對比性，專家的重要程度與指標屬性的權(quán)重向量值與本文3.1節(jié)中的計算結(jié)果一致，3種決策算法的計算過程如下：

（1）TOPSIS決策算法

通過文獻[27]所提TOPSIS 決策算法，計算可得各應急響應方案Ai分別到正理想解和負理想解的猶豫模糊歐幾里得距離集，如表11和表12所示。

表11各方案到正理想解的距離集Table 11 Set of distances from each scheme to positive ideal solution

表12 各方案到負理想解的距離集Table 12 Set of distances from each scheme to negative ideal solution

通過計算可得各應急響應方案Ai的收益損失比值Ci，如表13所示。

表13 收益損失比值Table 13 Profit loss ratio

最后按照Ci值的大小對各方案進行排序，計算出的Ci值越大，方案越優(yōu)。故基于前景理論TOPSIS決策法得應急響應方案的排序為A3＞A2＞A4＞A1，方案A3為最優(yōu)應急響應方案。

（2）VIKOR決策算法

通過文獻[28]所提VIKOR決策算法，計算可得各應急響應方案Ai的正理想點m+和負理想點m-，正負理想點的具體值見表14。

表14 各方案群體偏好的理想點Table 14 Ideal point of preference for each program group

設(shè)決策機制系數(shù)為0.5 時，通過計算可得群體效用變量MU，個體遺憾變量MR與妥協(xié)解變量MC，計算結(jié)果如表15所示。

表15 模糊語言信息的MU、MR與MC值Table 15 MU，MR and MC values of fuzzy linguistic information

最后按照群體效用變量MC值的大小對方案進行排序，方案的MC值越大，則判斷方案越優(yōu)。故基于改進的VIKOR 決策算法得到應急響應方案的排序為A2＞A3＞A1＞A4，方案A2為最優(yōu)應急響應方案。

（3）PDHFS決策法

通過文獻[11]所提PDHFS決策算法，計算概率對偶猶豫模糊信息原始得分函數(shù)可得各應急響應方案Ai的得分值，結(jié)果如表16所示。

表16 4個應急響應方案的得分值Table 16 Scores for four emergency response options

最后按照得分值的大小對方案進行排序，計算出的得分值越大，方案越優(yōu)。故基于PDHFS 決策算法得到方案的排序為A2＞A4＞A3=A1，方案A2為最優(yōu)應急響應方案。

3.3 結(jié)果分析

本文基于TOPSIS、VIKOR、PDHFS 與PDHFSs-PROMETHEE 這4 種決策算法對航空災難事故應急響應方案的決策評估結(jié)果如表17所示，4種決策算法中各備選方案的效用值分布趨勢如圖2所示。

表17 4種算法的決策評估結(jié)果Table 17 Decision evaluation results of four methods

圖2 4種算法下各備選方案的效用值分布趨勢圖Fig.2 Utility value distribution trend diagram of each alternative under four methods

由計算結(jié)果可見，TOPSIS 決策算法判斷A3優(yōu)于A2，可能因為忽略了方案A3在C2指標屬性下評價不佳。VIKOR 決策算法判斷方案A3優(yōu)于A4，可能由于折衷理論在計算最終效用值上具有局限性。PDHFS決策算法在模糊信息元素比較中忽略了偏離函數(shù)的影響，最終無法判斷方案A1與A3的優(yōu)先等級。此外，應急響應方案A1在TOPSIS、PDHFS與PDHFSs-PROMETHEE這3種決策算法的排序中排名均處于最后一位，應急響應方案A2在VIKOR、PDHFS與PDHFSs-PROMETHEE這3種決策算法的排序中排名均處于第一位，說明最終決策結(jié)果的有效性。不同決策算法中的具體排名略有不同，是由于決策算法各自的特性及側(cè)重點差異所導致的。本文提出的PDHFSs-PROMETHEE 算法在進行決策的過程中，對于不同的指標屬性賦權(quán)，得到的決策結(jié)果不完全一樣，這與實際情況相符。該算法充分考慮決策者對屬性的偏好情況，且計算結(jié)果區(qū)分度大、直觀性強，決策結(jié)果更具有說服力[29-31]。每個備選的航空災難事故應急響應方案都有自己的優(yōu)勢，各指標屬性權(quán)重可以根據(jù)不同城市與航空災難事故的等級，對應急響應效果確定具體需求，從而評估得到最優(yōu)的應急響應方案。

由以上結(jié)果可以看出，本文應用的PDHFSs-PROMETHEE 多屬性群決策算法具有可行性，能夠決策出最佳的應急響應方案。與現(xiàn)有研究中的決策算法相比，本文采用的決策算法提出將概率對偶猶豫模糊集與PROMETHEE方法相結(jié)合，在概率對偶猶豫模糊元素信息比較中同步考慮了得分函數(shù)與偏離函數(shù)的計算，并通過PROMETHEE方法判斷決策方案的優(yōu)先級。該算法能夠解決多個不同類型的多屬性信息問題，得到準確的決策評價結(jié)果，具有可靠性與有效性。

4 結(jié)束語

研究基于概率對偶猶豫模糊集與PROMETHEE 結(jié)合的多屬性決策算法及其應用。主要工作體現(xiàn)在三個方面：（1）提出了將PROMETHEE方法拓展至概率對偶猶豫模糊集的概念；（2）研究了基于概率對偶猶豫模糊PROMETHEE的多屬性群決策算法，包括提出改進的得分函數(shù)，PDHFWA聚合算子與權(quán)重確定等方法，為猶豫模糊信息領(lǐng)域提供了一類新的研究途徑；（3）通過評估航空災難事故應急響應方案，驗證了本文所提PDHFSs-PROMETHEE多屬性群決策算法的有效性，并與現(xiàn)有的幾種決策算法進行了對比，證明了決策結(jié)果的可靠性。本文提出的概率對偶猶豫模糊PROMETHEE多屬性群決策算法可以應用到應急決策、物流管理、風險評估等諸多領(lǐng)域，是對猶豫模糊多屬性群決策研究領(lǐng)域的豐富與拓展。今后，將結(jié)合更多的實際問題拓展概率對偶猶豫模糊PROMETHEE多屬性群決策算法的應用研究。