非線性理論在化工過(guò)程周期操作的運(yùn)用

宗凱強(qiáng)，翟持

(昆明理工大學(xué) 化學(xué)工程學(xué)院，云南 昆明 650000)

在“雙碳”壓力下以節(jié)能、降耗、環(huán)保、集約化為目標(biāo)的化工過(guò)程強(qiáng)化技術(shù)，是旨在解決化學(xué)工業(yè)高能耗、高污染和高物耗問(wèn)題的有效技術(shù)手段[1]。非穩(wěn)態(tài)操作是過(guò)程強(qiáng)化技術(shù)領(lǐng)域的一個(gè)重要研究課題，其利用時(shí)間尺度上的非均一性，如通過(guò)施加規(guī)律性擾動(dòng)，使過(guò)程獲得優(yōu)于穩(wěn)態(tài)操作的效果。

考慮到化工生產(chǎn)過(guò)程中希望產(chǎn)品質(zhì)量在一定時(shí)間內(nèi)盡量保持恒定，且穩(wěn)態(tài)工藝設(shè)計(jì)是長(zhǎng)期理論和實(shí)踐總結(jié)得到的綜合較優(yōu)工況，所以，傳統(tǒng)化工過(guò)程設(shè)計(jì)以穩(wěn)態(tài)操作為主。然而，對(duì)某些化工過(guò)程，人為地使操作變量、反應(yīng)物流向、加料位置等因素呈周期性變化，有可能改善反應(yīng)器的時(shí)均性能[2]，甚至可以改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性[3]。從非穩(wěn)態(tài)操作的角度來(lái)看，外界擾動(dòng)有可能變成過(guò)程強(qiáng)化的積極因素，如果加以恰當(dāng)利用，不僅可以減少緩沖罐等單元設(shè)備的投資，還能得到更優(yōu)的工程效果。

強(qiáng)制周期性操作是一類較容易實(shí)現(xiàn)的非穩(wěn)態(tài)操作，其關(guān)注點(diǎn)在于以某穩(wěn)態(tài)為中心的周期性操作是否優(yōu)于對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)操作。Dauglas[4]等通過(guò)過(guò)程的平衡態(tài)解闡釋，非線性是非穩(wěn)態(tài)操作優(yōu)于穩(wěn)態(tài)操作的主要原因。Baily[5]等基于過(guò)程動(dòng)態(tài)響應(yīng)時(shí)間τc及操作周期τ，將化工過(guò)程生產(chǎn)的周期操作分為τ?τc： 過(guò)程生命周期(process life cycles)，擬穩(wěn)態(tài)周期操作(quasi-steady state operation)；τ?τc： 松弛穩(wěn)態(tài)操作(relax steady state operation)；O(τ)≈O(τc)： 時(shí)間同階周期操作(intermediate periodic operation)。本文基于非穩(wěn)態(tài)操作探討時(shí)間同階周期操作，此時(shí)，外界的擾動(dòng)對(duì)過(guò)程往往形成時(shí)間尺度的耦合作用。

顯然，周期操作需要研究過(guò)程/控制的動(dòng)態(tài)、非線性特征，本文主要工作是梳理周期操作所涉非線性理論的發(fā)展。最早的周期操作理論是基于受迫振蕩系統(tǒng)的二階變分發(fā)展而來(lái)的[6]，通過(guò)對(duì)其進(jìn)行Laplace變換形成π-準(zhǔn)則[7]。考慮到化工過(guò)程的操作點(diǎn)不一定是最優(yōu)的，Ydstie[8-10]等將π-準(zhǔn)則的條件松弛，推導(dǎo)出可用以分析任何操作點(diǎn)周期擾動(dòng)的分析準(zhǔn)則；進(jìn)一步地，由于π-準(zhǔn)則僅適用于分析小幅度振蕩的情形[11-12]，Kravaris[13]等基于中心流型定理校正π-準(zhǔn)則，用以分析高度非線性的化工過(guò)程的正弦擾動(dòng)問(wèn)題；Lyberatos[14]等運(yùn)用Carleman線性化研究脈沖擾動(dòng)問(wèn)題。近來(lái)，也有研究使用Volterra[15]級(jí)數(shù)或Laplace-Borel[16-17]變換分析反應(yīng)過(guò)程周期操作問(wèn)題。

強(qiáng)制周期操作往往是通過(guò)控制實(shí)現(xiàn)的，考慮優(yōu)化周期波型可演化為最優(yōu)周期控制(OPC)問(wèn)題[18-19]，針對(duì)OPC的求解，相序發(fā)展出基于配置法的數(shù)值優(yōu)化[20]，微分平坦[21]及極值搜索[22-23]等方法。鑒于OPC對(duì)過(guò)程約束性較高，近年來(lái)，操作-控制一體化的思路逐漸成為研究熱點(diǎn)，在最優(yōu)化理論基礎(chǔ)上發(fā)展出本質(zhì)安全設(shè)計(jì)[24]、基于模型的控制[25-26]及在線優(yōu)化等先進(jìn)操作及控制策略[27-29]，并促使economic-MPC[30]，路徑跟蹤優(yōu)化控制[31]及zone-MPC[32-34]等控制策略的探索與發(fā)展。本文重點(diǎn)論述周期操作的最優(yōu)化理論，并討論通過(guò)周期操作實(shí)現(xiàn)過(guò)程穩(wěn)定化的數(shù)學(xué)條件，為研究周期操作-控制耦合提供必要的理論基礎(chǔ)。

1 化工過(guò)程周期性操作最優(yōu)化理論的發(fā)展

強(qiáng)制周期操作利用過(guò)程動(dòng)態(tài)特性實(shí)現(xiàn)過(guò)程強(qiáng)化，那么，需要論證一個(gè)最優(yōu)的穩(wěn)態(tài)操作點(diǎn)是否可通過(guò)周期性擾動(dòng)進(jìn)一步優(yōu)化，數(shù)學(xué)上是受迫振動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)分析及優(yōu)化問(wèn)題。

1.1 周期性最優(yōu)化問(wèn)題

基于最優(yōu)化理論，假定一個(gè)既有的穩(wěn)態(tài)操作點(diǎn)是最優(yōu)解，將最優(yōu)化目標(biāo)統(tǒng)一成最小性能函數(shù)形式(如，最小能耗，最小花費(fèi)等)，對(duì)于給定周期τ∈T(0， ∞)，其綜合性能就是該周期內(nèi)的時(shí)間均值，如式(1)所示：

(1)

式中：J(u，x0，τ)——優(yōu)化的周期目標(biāo)值；u(·)——操作曲線，u(·)∈U;x(0)——初值(穩(wěn)態(tài)最優(yōu))，x(0)=x0∈Rn；L(x，u)——性能函數(shù)。并假設(shè)函數(shù)f(·，·)和L(·，·)及其一階，二階導(dǎo)數(shù)關(guān)于各個(gè)自變量連續(xù)。過(guò)程變量受約束可寫(xiě)成如式(2)所示：

x′=f(x(t)，u(t))

(2)

式中：x′——過(guò)程變量的時(shí)間變化率。

并且，周期性邊界條件如式(3)所示：

x(0)=x(τ)

(3)

定義1： 當(dāng)存在適當(dāng)?shù)闹芷讦蛹耙肭‘?dāng)?shù)牟僮鱱(·)，使得：

(4)

那么，該OPC問(wèn)題被稱為是適定的(proper)。

對(duì)化工過(guò)程，最優(yōu)設(shè)計(jì)往往因工程原因而無(wú)法實(shí)現(xiàn)。例如，在設(shè)計(jì)最佳反應(yīng)溫度時(shí)，不僅要盡量提高產(chǎn)物轉(zhuǎn)化速率，還要綜合供熱源、催化劑耐熱性等多方面的因素。因此，對(duì)化工過(guò)程的非穩(wěn)態(tài)操作而言，在任意設(shè)計(jì)點(diǎn)上分析相應(yīng)的周期操作問(wèn)題具有現(xiàn)實(shí)意義，相應(yīng)地，可提出局部適定性的定義。

定義2： 當(dāng)存在適當(dāng)?shù)闹芷讦蛹耙肭‘?dāng)?shù)牟僮鱱(·)使得：

(5)

那么，該OPC問(wèn)題被稱為局部適宜的 (locally proper)。

1.2 穩(wěn)態(tài)最優(yōu)化理論

強(qiáng)制周期操作使化工過(guò)程經(jīng)歷一系列狀態(tài)點(diǎn)，并研究對(duì)應(yīng)的時(shí)間平均性能是否得到優(yōu)化。那么，理論上需要探討OPC問(wèn)題是否存在，即式(4)是否適定。但是，在討論OPC問(wèn)題之前，需先給出穩(wěn)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題(OSS)。

OSS是經(jīng)典的最優(yōu)化問(wèn)題。這里先給出一維穩(wěn)態(tài)函數(shù)的最優(yōu)化解，一維函數(shù)局部極小值的一階判據(jù)是極值條件，二階判據(jù)是凸規(guī)劃問(wèn)題。作為類比，OSS問(wèn)題也存在一階變分及二階變分的條件。

運(yùn)用Lagrange乘數(shù)子λ∈Rn將式(2)及式(3)帶入(1)轉(zhuǎn)換成非約束問(wèn)題，如式(6)所示：

(6)

式中：vT——狀態(tài)變量x的共軛量；H(x，u，λ)——Hamiltonian算子；λT——Lagrange乘數(shù)子；上標(biāo)0——函數(shù)的穩(wěn)態(tài)值；上標(biāo)T——矩陣的轉(zhuǎn)置。

并定義Hamiltonian函數(shù)如式(7)所示：

H(x，u，λ)=L(x，u)+λTf(x，u)

(7)

定理1： 如果(x0，u0)是OSS的局部極小值，那么，存在λ0∈Rn，使得：

(8)

通過(guò)式(8)能給出u0，并且x0和λ0如式(9)所示：

x′=Hλ(x，u0，λ)，λ′=-Hx(x，u0，λ)

(9)

其中，式(9)需要滿足邊界條件，并且右邊等式由Euler-Lagrang方程給出。

證明： 對(duì)式(6)取一階變分，計(jì)算如式(10)所示：

(10)

(11)

定理1是最優(yōu)化操作的一階必要條件，類似函數(shù)極值判據(jù)。極小值原理(Pontryagin principle)就是在目標(biāo)泛函的極小化問(wèn)題中得到最優(yōu)操作的必要條件。式(1)取極小值就是Hamiltonian函數(shù)取極值，如式(12)所示：

H(x0(t)，u0(t)，λ0(t))≤H(x0(t)，
u(t)，λ0(t))

(12)

如果假設(shè)極值具有全局性，式(12)的極小值條件可以由Legendre-Clebsch條件給出，如式(13)所示：

Huu>0

(13)

定理2： 如果(x0，u0)是OSS的局部極小值，那么，存在λ，使其一階變分條件式(8)～式(10)成立，同時(shí)，存在x∈Rn，u∈Rm使得式(14)成立：

(14)

根據(jù)定理2可進(jìn)一步給出如下推論。

推論1： 假設(shè)(x0，u0)是穩(wěn)態(tài)時(shí)間泛函對(duì)，恰當(dāng)選擇λ∈Rn使一階變分條件式(8)～式(10)成立，對(duì)于滿足式(15)及式(10)的x∈Rn，并滿足式(15)中條件：

(15)

則該泛函對(duì)(x0，u0)是獨(dú)立的局部最小OSS。

證明： 對(duì)式(10)取二階變分。首先，將式(2)及式(3)施加一階擾動(dòng)，如式(16)所示：

δx′=fxδx+fuδu

(16)

(17)

需要指出，式(16)和式(17)此時(shí)被線性化替代，因此，后續(xù)所有討論均為局部性質(zhì)。根據(jù)狀態(tài)變量、周期及輸入操作的一階擾動(dòng)進(jìn)行歸類如式(18)～式(20)所示：

(18)

(19)

(20)

結(jié)合一階變分條件式(17)，對(duì)式(18)取二階變分，不計(jì)高階項(xiàng)o2(δx(0)， dτ， δu)，可得式(21)所示：

(21)

(22)

結(jié)合一階變分條件式(16)及分部積分，對(duì)式(20)取二階變分，不計(jì)高階項(xiàng)可得：

(23)

對(duì)于周期τ不變的情況，結(jié)合式(21)～式(23)，式(1)的二階變分可表述如式(24)所示：

(24)

如果確定周期及初值，式(24)右側(cè)第一項(xiàng)為零，第二項(xiàng)為二階變分項(xiàng)，推論1得證[35-36]。

以上給出OSS問(wèn)題極小值存在的必要條件(定理1)及充分條件(推論1)。其實(shí)，OSS問(wèn)題的輸入操作具有周期性，而OSS所涉Hamiltonian函數(shù)必須等于性能函數(shù)的時(shí)間均值，考慮到研究過(guò)程是自治的，Hamiltonian函數(shù)關(guān)于時(shí)間是常量，OPC問(wèn)題對(duì)此卻不作約束。

1.3 最優(yōu)周期控制問(wèn)題

由于對(duì)上述OSS問(wèn)題的周期性輸入操作采用邊界條件處理，獲得的哈密爾頓函數(shù)不是周期性的。該部分運(yùn)用Riccati方程作為周期性輸入的泛函表達(dá)，在直接回答OPC問(wèn)題以前，先以周期輸入操作為基礎(chǔ)，給出局部極小的充分條件。

定理3： 周期輸入操作u0(·)∈Ω是局部極小的充分條件是：

1)滿足一階變分必要條件，即式(3)、式(8)、式(9)。

2)滿足Legendre-Clebsch條件，即式(13)。

3)定義Φ為系統(tǒng)y′=Ay的遷移矩陣(transition matrix)，λi(Φ)Φf(τ， ·)的特征值，并且λi≠1。

4)在0≤t≤τ內(nèi)，存在如式(25)Riccati方程的實(shí)值有界對(duì)稱解，并滿足周期性條件P(0)=P(τ)。

(25)

證明： 定理1給出性能函數(shù)一階變分為零的條件，式(24)為二階變分，式(15)經(jīng)一階微分?jǐn)z動(dòng)得到公式如式(26)所示：

(26)

結(jié)合狀態(tài)方程邊界條件，式(26)可寫(xiě)成如式(27)所示：

(27)

(28)

(29)

定義3： 如果存在一個(gè)向量x∈Rn，使得(k×k)-Hermitian矩陣M滿足xTMx<0，則M稱為部分負(fù)(partially negative)。

定理4： 如果有ω>0，使得(n×n)-Hermitian矩陣為部分負(fù)，如式(30)所示，式(1)～式(3)適宜，即局部穩(wěn)態(tài)最優(yōu)可以經(jīng)周期性操作進(jìn)一步優(yōu)化。逆否命題給出對(duì)應(yīng)的充分條件： 如果式(1)～式(3)適宜，那么，存在ω>0，使得矩陣非正定。

π(ω)=GT(-jω)PG(jω)+
QTG(jω)+GT(-jω)Q+R

(30)

式中：G(s)——?jiǎng)討B(tài)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)；P，Q和R——二階項(xiàng)。

(31)

(32)

證明： 上述A和B也可由線性化動(dòng)態(tài)方程(2)的擾動(dòng)給出，如式(33)所示：

δx′=Aδx+bδu

(33)

此處結(jié)合周期性約束，選取恰當(dāng)?shù)腖agrange乘子λ0，給出性能函數(shù)變分項(xiàng)的形式，如式(34)所示：

(34)

(35)

此時(shí)取的Lagrange乘子λ0是穩(wěn)態(tài)的，問(wèn)題回歸成Lagrange乘數(shù)法處理?xiàng)l件極值的情況，因此Hx(x0，u0，λ0)=0，進(jìn)而δJ=0。系統(tǒng)線性化以式(31)所示的傳遞函數(shù)形式描述，Laplace變換將微分方程系統(tǒng)投射到復(fù)數(shù)域轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程系統(tǒng)，那么，同時(shí)也可以將Laplace變換視為微分算子s=d/dt，將狀態(tài)量δx帶入變分式(35)，積分號(hào)內(nèi)就變成δuTπ(ω)δu的形式，那么在給定周期性輸入操作δu的情況下，二階變分δ2J就獨(dú)立的由π-準(zhǔn)則決定。任何周期性輸入均可以由Fourier變換轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的級(jí)數(shù)形式，進(jìn)而成為頻率的表達(dá)式，如式(36)所示：

(36)

假設(shè)H的一階、二階導(dǎo)連續(xù)，式(30)的π(ω)是Hermitian矩陣，將輸入導(dǎo)到頻域，標(biāo)準(zhǔn)的Fourier分析可得，如式(37)所示：

(37)

式(37)提出到積分號(hào)外，是因?yàn)槭?36)的每一個(gè)系數(shù)提到積分號(hào)外。同時(shí)，將式(36)帶入一階變分可得到δJ=0，因?yàn)?，F(xiàn)ourier系數(shù)的交叉項(xiàng)周期積分為零，僅余U0項(xiàng)，系數(shù)由OSS問(wèn)題為零；同時(shí)，一階變分的級(jí)數(shù)展開(kāi)保障U0=0，即擾動(dòng)項(xiàng)級(jí)數(shù)第一項(xiàng)為一階無(wú)窮小。當(dāng)ω> 0，π(ω)部分負(fù)，則存在向量xT使得xTπ(ω)x<0。那么，取一個(gè)很小振幅的強(qiáng)制周期輸入為δu(t)=ε(xexp(jωt)+xTexp(-jωt))，就有δ2J=ε2xTπ(ω)x<0，而Fourier變換總是將周期性輸入操作以共軛兩項(xiàng)形式給出的。

接下來(lái)對(duì)定理4前半部分進(jìn)行證明。當(dāng)OPC問(wèn)題適宜，一個(gè)微小的一階擾動(dòng)輸入在二階性能函數(shù)上才有可能表現(xiàn)出，因此δJ=0。如果對(duì)應(yīng)的OSS輸入u0(t)被進(jìn)一步優(yōu)化，即δ2J≤0，那么，從局部最優(yōu)OSS問(wèn)題的充分條件不成立，就其逆否的角度而言，OSS局部最優(yōu)可以推斷出：

(38)

因此，存在ω>0，使得π(ω)非正定。如果R部分負(fù)時(shí)，存在如式(39)所示條件：

(39)

π(ω)在高頻振蕩輸入操作一定可以滿足適宜性條件。因而，π-準(zhǔn)則對(duì)于弱強(qiáng)制周期性輸入的情況，其OPC優(yōu)化分析頻率是覆蓋全頻域的。

1.4 小結(jié)

定理3為化工過(guò)程強(qiáng)制周期操作進(jìn)一步優(yōu)化既有穩(wěn)態(tài)最優(yōu)設(shè)計(jì)情況提供數(shù)學(xué)論據(jù)。采用變分法將性能函數(shù)展開(kāi)二階變分，定理4給出Hamiltonian方程并為OPC問(wèn)題的理論研究奠定基礎(chǔ)。而后基于松弛原理推導(dǎo)給出[37]，當(dāng)OSS問(wèn)題的條件違反了maximum principle，原有的穩(wěn)態(tài)最優(yōu)化操作可以經(jīng)由適宜整定參數(shù)的bang-bang操作，實(shí)現(xiàn)周期性操作的進(jìn)一步優(yōu)化，而松弛原理要求周期操作在高頻條件下，即，τ遠(yuǎn)小于τc。當(dāng)采用頻域分析方法處理上述性能函數(shù)二階變分，發(fā)展出π-準(zhǔn)則。在頻率極大時(shí)，π-準(zhǔn)則退化成松弛操作，并且在小擾動(dòng)情況下，π-準(zhǔn)則優(yōu)于松弛操作在于它可以分析全頻域的周期操作情況。

另一方面，π-準(zhǔn)則僅討論周期性操作的頻率因素，但從操作論的角度而言，要求被強(qiáng)制周期操作的穩(wěn)態(tài)工作點(diǎn)為漸進(jìn)穩(wěn)定點(diǎn)。要將π-準(zhǔn)則運(yùn)用到化工過(guò)程中，核心問(wèn)題是典型的化工穩(wěn)態(tài)操作點(diǎn)在數(shù)學(xué)上往往不滿足OSS條件，進(jìn)而將π-準(zhǔn)則的使用條件弱化成任意的穩(wěn)態(tài)設(shè)計(jì)點(diǎn)。

在討論CSTR中生化反應(yīng)的周期性操作時(shí)，周期輸入的振幅對(duì)非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的影響很大，因而使用π-準(zhǔn)則分析的時(shí)候更為受限。二階變分非零是OPC問(wèn)題的必要條件，所以性能函數(shù)的非線性性是周期性操作適宜性的前提，但是，從式(31)可以看出，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)局部線性化后才能給出傳遞函數(shù)形式。隨著周期操作的振幅增加，線性化的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)與原系統(tǒng)的偏差逐漸放大，π-準(zhǔn)則的分析偏差越大，因此，發(fā)展出基于Volterra級(jí)數(shù)或Laplace-Borel變換的分析方法。

2 基于周期性操作的化工過(guò)程穩(wěn)定化

在過(guò)程系統(tǒng)工程領(lǐng)域，運(yùn)用周期性操作穩(wěn)定化、可控化非穩(wěn)操作點(diǎn)稱為振蕩操作(vibrational stabilization)[38]。區(qū)別于π-準(zhǔn)則，振蕩操作的主要任務(wù)是采用高頻、零均值振蕩改變?cè)到y(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，進(jìn)而穩(wěn)定化非穩(wěn)定操作點(diǎn)，同時(shí)，由于同屬于周期性操作的范疇，振蕩操作也可能強(qiáng)化穩(wěn)定工作點(diǎn)。

2.1 基于攝動(dòng)理論的均值問(wèn)題

假設(shè)一個(gè)系統(tǒng)描述成如式(40)所示形式：

x′=εf(x，t，ε)

(40)

式中：f——周期為T(mén)>0的振蕩。以之對(duì)應(yīng)的自治均值系統(tǒng)定義如式(40)所示：

(41)

考慮到在實(shí)際化工過(guò)程很少遇到式(40)的形式，那么，更為一般的描述形如式(42)所示：

x=Ax+εf(x，t，ε)

(42)

假設(shè)滿足初值x(0)=x0且f光滑，取基本矩陣(fundamental matrix)做變換如式(43)所示：

x=Φ(t)yy(0)=x0

(43)

對(duì)式(43)求導(dǎo)帶入(42)左式可得：

Φ(t)y′=(A(t)Φ(t)-Φ′(t))y(t)+
y+εf(Φ(t)y，t)

(44)

對(duì)基本矩陣取如式(43)所示非擾動(dòng)形式：

Φ′(t)=A(t)Φ(t)

(45)

可以將式(42)進(jìn)行Lagrange標(biāo)準(zhǔn)化，得到類似式(40)的形式：

y′=εΦ-1(t)f(Φ(t)y(t)，t)

(46)

定理5： 存在坐標(biāo)變換Cr，形如x=y+εw(y，t)，使得式(40)轉(zhuǎn)化成均值形式：

(47)

式(47)中，f1的周期為T(mén)。并且還有以下結(jié)論：

1)假設(shè)x(t)和y(t)分別是式(40)及式(41)的解，并且滿足同初值，如果存在極值條件|x0-y0|=o(ε)，那么，在時(shí)間軸t=1/ε上，滿足|x(t)-y(t)|=o(ε)。

2)如果p0是式(41)的雙曲固定點(diǎn)(hyperbolic fixed point)，那么，存在ε0使得，存在0<ε<ε0，讓式(40)有唯一的雙曲周期軌道rε(t)=p0+o(ε)，并且二者有相同的穩(wěn)定性。

3)假設(shè)xs(t)∈Ws(rε)是式(40)的一個(gè)解并且落在雙曲周期軌道rε(t)=p0+o(ε)的穩(wěn)定流形，ys(t)∈Ws(p0)是式(41)的一個(gè)解并且落在雙曲固定點(diǎn)p0的穩(wěn)定流形，如果有|xs(0)-ys(0)|=o(ε)，那么，對(duì)t∈[0， ∞)，有|xs(t)-ys(t)|=o(ε)。類似的，對(duì)于t∈(∞， 0]，有非穩(wěn)定流形結(jié)果[39]。

證明： 均值法可以將原有的振蕩系統(tǒng)漸近展開(kāi)，如式(48)所示：

(48)

將式子x=y+εw(y，t)取導(dǎo)數(shù)得到，如式(49)所示：

(49)

將式(48)帶入到式(49)可得：

(50)

將式(50)右式關(guān)于ε展開(kāi)成冪指數(shù)形式，如式(51)所示：

(I+εDyw(y，t，ε))-1=I-εDyw+
ε2(Dyw)2+o(ε3)

(51)

(52)

(53)

(54)

定理5為研究震蕩系統(tǒng)提供了均值方法，在有限集內(nèi)，式(40)對(duì)應(yīng)原振蕩系統(tǒng)的穩(wěn)定、非穩(wěn)定流形可以由式(41)對(duì)應(yīng)均值系統(tǒng)近似給出。

2.2 振蕩穩(wěn)定化理論

振蕩穩(wěn)定化通過(guò)給操作參數(shù)引入高頻、零均值周期擾動(dòng)，來(lái)穩(wěn)定化化工過(guò)程的非穩(wěn)工作點(diǎn)[40-42]。向非線性方程添加周期擾動(dòng)，如式(55)所示：

(55)

其中，0<ε?1，α>0，右式第二項(xiàng)高頻振蕩，區(qū)別于式(42)，振蕩元素和狀態(tài)量線性相關(guān)，由于頻率相對(duì)于振幅占優(yōu)，而化工過(guò)程實(shí)施振蕩的操作參數(shù)一般就是“流率”，也就是說(shuō)，通過(guò)操縱閥門(mén)實(shí)現(xiàn)化工過(guò)程的振蕩操作，“流率”相對(duì)于狀態(tài)變量如“溫度”“濃度”而言是快變量，所以，振蕩項(xiàng)與狀態(tài)變量線性相關(guān)是合理的[43]。

定義3： 如果存在一個(gè)周期的、零均值矩陣B(t/ε)使得式(55)為漸進(jìn)穩(wěn)定周期解xs(t/ε)，也就是滿足柯西極限描述：

(56)

則原平衡態(tài)解xs可振蕩穩(wěn)定化。其中，平衡態(tài)解就是滿足X(xs)=0的點(diǎn)，xs(τ)是式(55)的解，y*是與B(t/ε)同周期的函數(shù)。

因此，如果xs可以振蕩穩(wěn)定化，對(duì)原系統(tǒng)引入振蕩項(xiàng)B(t/ε)可以從原來(lái)的平衡解分岔出漸進(jìn)的、穩(wěn)定的周期解xs(τ)，如果振幅α不大，該周期解的均值在xs周?chē)?/p>

定理6： 假如存在關(guān)于xs的領(lǐng)域D，使得：

‖X(x)‖≤M1<∞，
‖X(x′)-X(x″)‖≤M2<∞

(57)

那么，如果式(58)平衡態(tài)解漸進(jìn)穩(wěn)定，zs=xs，

(58)

則xs可以振蕩穩(wěn)定化[44]。

證明： 將式(55)轉(zhuǎn)化成時(shí)間快變系統(tǒng)，如式(59)所示：

(59)

與式(43)～式(46)一致，可以通過(guò)李雅普諾夫變換得到，如式(60)所示：

(60)

定理5使x保留y的穩(wěn)定性。由此，式(60)可轉(zhuǎn)化成Lagrange 標(biāo)準(zhǔn)型，如式(61)所示：

(61)

并且，根據(jù)均值法式(61)周期內(nèi)時(shí)間均值可以獲得非線性自治描述如式(62)所示，其中T>0，是B(t/ε)的周期。定理5所有結(jié)論滿足。

(62)

進(jìn)一步地，如果原系統(tǒng)為一階，并且微小振幅振蕩α?0，泰勒展開(kāi)式(58)的指數(shù)項(xiàng)及X(z)，可以得到關(guān)于α二階精度的簡(jiǎn)化式，如式(63)所示：

(63)

因?yàn)槭?63)與原方程相比，增加α的二次項(xiàng)，這也使得原系統(tǒng)穩(wěn)定化成為可能。對(duì)于線性系統(tǒng)，其振蕩描述如式(64)所示：

(64)

假設(shè)原線性系統(tǒng)可觀測(cè)，系統(tǒng)可振蕩穩(wěn)定化的充要條件是矩陣A的跡為負(fù)[21]。這個(gè)結(jié)論與式(63)描述的非線性系統(tǒng)有明顯的區(qū)別的。

2.3 振蕩穩(wěn)定化在化工過(guò)程的運(yùn)用

穩(wěn)定化化工過(guò)程的非穩(wěn)點(diǎn)具有實(shí)際意義。Cinar[45-46]通過(guò)理論分析及實(shí)驗(yàn)研究表明，恰當(dāng)?shù)刂芷谛圆▌?dòng)反應(yīng)物流流率會(huì)改變CSTR反應(yīng)系統(tǒng)的S曲線，進(jìn)而有可能穩(wěn)定化過(guò)程系統(tǒng)。過(guò)程在非穩(wěn)點(diǎn)操作可以由反饋操作策略實(shí)現(xiàn)[47]，但是需要線上檢測(cè)設(shè)備提供狀態(tài)信息，實(shí)際中很多反應(yīng)系統(tǒng)存在較大的時(shí)間滯后效應(yīng)，導(dǎo)致檢測(cè)與操作實(shí)施不匹配。這時(shí)，振蕩操作就可以解決上述問(wèn)題，形成前饋控制。從研究的對(duì)象上來(lái)看，化工過(guò)程的非線性分析主要集中在連續(xù)攪拌釜內(nèi)發(fā)生的反應(yīng)(如，聚合反應(yīng))[48-50]。生化過(guò)程自身具有復(fù)雜的動(dòng)態(tài)特性[51]，隨著生物工程的興起，更多的研究在生物發(fā)酵系統(tǒng)展開(kāi)[52-62]，且討論的對(duì)象主要是連續(xù)、均一的化學(xué)/生化反應(yīng)系統(tǒng)。

3 結(jié)束語(yǔ)

非穩(wěn)態(tài)操作是化工過(guò)程強(qiáng)化的重要方法，周期操作利用過(guò)程在時(shí)間尺度上的非均一性實(shí)現(xiàn)過(guò)程強(qiáng)化及良好的控制性能。本文梳理周期操作相關(guān)的過(guò)程強(qiáng)化理論和振蕩穩(wěn)定化理論，并分析相關(guān)理論在化工過(guò)程強(qiáng)化中的發(fā)展與運(yùn)用，為研究周期操作-控制耦合提供必要的理論基礎(chǔ)。