無窮區(qū)間上m-點分?jǐn)?shù)階邊值問題解的存在性

景冰清

(山西工程科技職業(yè)大學(xué)，山西 太原 030031)

1 預(yù)備知識

分?jǐn)?shù)階微分方程產(chǎn)生于各種實際應(yīng)用問題，包括自然科學(xué)和控制工程的各個領(lǐng)域[1-3].近年來，關(guān)于無窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性、多重性及其性質(zhì)受到人們廣泛的關(guān)注.文獻(xiàn)[4]作者研究了微分方程、差分方程和積分方程在無限區(qū)間上解的存在性問題.文獻(xiàn)[5-8]作者研究了無窮區(qū)間上分?jǐn)?shù)階微分方程邊值問題解的存在性和多重性.文獻(xiàn)[9]作者研究了無窮區(qū)間上一類分?jǐn)?shù)階微分方程m-點邊值問題正解的存在唯一性，并給出正解的一些很好的性質(zhì).文獻(xiàn)中用到的方法主要有上下解方法，不動點指數(shù)理論，Leggett-Williams不動點定理，Schauder不動點定理，Banach壓縮映像原理，Mawhin延拓定理.

本文主要研究如下分?jǐn)?shù)階邊值問題解的存在性和唯一性，

(1)

引理1[7]設(shè)函數(shù)h∈C[0,∞)[，則分?jǐn)?shù)階邊值問題

備注1在文獻(xiàn)[7]中，作者證明了G1(t,s)具有下列兩個性質(zhì)：

(i)G1(t,s)在[0,+∞)×[0,+∞)上是連續(xù)的，且對于t,s∈[0,+∞)有G1(t,s)≥0.

(ii)G1(t,s)關(guān)于t是嚴(yán)格增加的.

定義函數(shù)類F={ψ:(0,+∞)→}，其中ψ:(0,+∞)→滿足下列條件：

(i)ψ是嚴(yán)格增加的.

定理1[10]設(shè)(X,d)是一個完備的度量空間，T:X→X是一個映射，存在τ>0和ψ∈F，使得對任意的x,y∈X且d(Tx,Ty)>0，

τ+ψ(d(Tx,Ty))≤ψ(d(x,y)),

則T有唯一的不動點.

2 主要結(jié)果

定理2假設(shè)下列三個條件成立：

則問題(1)在E上有唯一的非負(fù)解.

由引理1知G(t,s)≥0，結(jié)合條件(H1)，可得對?x∈P,Tx≥0.

接下來證明?x∈E,Tx∈C[0,+∞).取tn∈[0,+∞),(tn)?[0,+∞),使得tn→t0，由于

因為G(t,s)是連續(xù)的，則對于給定的ε>0,存在n0∈N,使得當(dāng)n≥n0時有

從而當(dāng)n≥n0時有

在引理1的假設(shè)條件下，對任意的t,s∈[0,+∞)，有

由此可得到T:P→P.

最后我們驗證算子T滿足定理1中的壓縮性條件.

對于?x,y∈P，d(Tx,Ty)>0.且

則

即

τ+lnd(Tx,Ty)≤lnd(x,y).

滿足了定理1的壓縮性條件,且ψ(t)=lnt,容易驗證ψ(t)∈F.因而由定理1可以得到算子T在P中有唯一的不動點，即問題(1)在E中存在唯一的非負(fù)解.

3 例子

考察下面分?jǐn)?shù)階m-點邊值問題

(2)

對于?t∈[0,+∞)和x,y∈[0,+∞),可取τ=2,使得