邂逅韋達(dá)定理

文／萬廣磊

法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)（F.Vieta，1540—1603）第一次有意識地使用系統(tǒng)的代數(shù)字母與符號，以輔音字母表示已知量，元音字母表示未知量，推進了方程論的發(fā)展，使代數(shù)成為一般類型的形式和方程的學(xué)問，因其抽象而應(yīng)用更為廣泛，被稱為“代數(shù)符號之父”。

在研究一元二次方程的解法時，他發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的根與系數(shù)之間存在的特殊關(guān)系，也就是我們學(xué)習(xí)的“韋達(dá)定理”。有趣的是，韋達(dá)在16 世紀(jì)就發(fā)現(xiàn)了這個定理，證明這個定理要依靠代數(shù)基本定理，而代數(shù)基本定理卻在1799 年才由高斯作出第一個實質(zhì)性的論證。

韋達(dá)定理

已知關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，那么

下面我們用兩種方法證明。

證法一：

∵關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的兩個實數(shù)根分別為x1、x2，

證法二：

關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c是常數(shù)，a≠0）有兩個實數(shù)根分別為x1、x2，

將等式的左邊進行因式分解，得

進一步化簡等式右邊，得

對比等式兩邊，可得

同學(xué)們，你還有其他的證明方法嗎？請大膽挑戰(zhàn)一下，寫下來。