生物軟組織力學(xué)測試及相關(guān)理論研究

康巍， 徐鵬， 卜偉平， 岳艷鮮， 王麗珍， 樊瑜波

1. 北京航空航天大學(xué) 生物與醫(yī)學(xué)工程學(xué)院， 北京 100083； 2. 北京航空航天大學(xué) 北京市生物醫(yī)學(xué)工程高精尖創(chuàng)新中心，北京 100083；3. 北京航空航天大學(xué) 生物力學(xué)與力生物學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100083；4.中國人民解放軍空軍特色醫(yī)學(xué)中心， 北京 100142； 5.北京航空航天大學(xué) 醫(yī)學(xué)科學(xué)與工程學(xué)院, 北京 100083)

0 引言

根據(jù)人體不同組織、器官其彈性和黏性程度的差異可分為硬組織和軟組織，硬組織包括典型的骨骼系統(tǒng)，軟組織包括皮膚、肌肉、腦組織及各種器官等。隨著輕型、非致命性等武器的快速發(fā)展，針對其打擊毀傷以及單兵防護(hù)技術(shù)的研究也在同步進(jìn)行。此類型武器主要作用于人體軟組織結(jié)構(gòu)，而生物軟組織致傷機(jī)理和評估的方法包括人體志愿者實(shí)驗(yàn)、實(shí)體實(shí)驗(yàn)、動(dòng)物實(shí)驗(yàn)、假人實(shí)驗(yàn)、數(shù)值仿真等。其中志愿者實(shí)驗(yàn)由于高速撞擊實(shí)驗(yàn)易引起不可逆損傷而不宜采用，尸體實(shí)驗(yàn)存在供體數(shù)量不足及組織力學(xué)特征改變等問題，動(dòng)物實(shí)驗(yàn)存在由于其與人體解剖結(jié)構(gòu)、重要器官構(gòu)成等方面存在較大差異，以及動(dòng)物科系和個(gè)體間差異較大、同時(shí)多樣本實(shí)驗(yàn)涉及倫理學(xué)限制等問題。高仿真度假人靶標(biāo)和數(shù)值仿真模型具有可重復(fù)性好、無倫理學(xué)限制等優(yōu)勢，已成為研究高速撞擊對生物組織損傷效應(yīng)評測最重要的方法。對生物軟組織在高應(yīng)變率下的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性開展研究，構(gòu)建高擬合度的本構(gòu)模型及獲得精準(zhǔn)的材料參數(shù)是假人靶標(biāo)技術(shù)升級的瓶頸，也是實(shí)現(xiàn)有效的數(shù)值計(jì)算和仿真的基礎(chǔ)。

軟組織的力學(xué)性能表征通常通過黏彈性或超彈性模型對組織的應(yīng)力- 應(yīng)變響應(yīng)進(jìn)行理論表征，以預(yù)測軟組織在動(dòng)態(tài)力學(xué)刺激下的力學(xué)響應(yīng)。一般常規(guī)準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)變率為10～10s量級，而輕型武器射速通常為300～1 000 m/s, 對于子彈等高速?zèng)_擊載荷條件下的可變形固體, 具有短暫時(shí)間尺度上發(fā)生載荷顯著變化的特點(diǎn)，這就意味著高加載率或高應(yīng)變率下，涉及應(yīng)力波傳播的動(dòng)態(tài)沖擊實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)變率可以達(dá)到10～10s，比靜態(tài)實(shí)驗(yàn)中高多個(gè)量級，故其在高應(yīng)變率(高速撞擊作用)下的力學(xué)響應(yīng)測量及黏彈性、各向異性等力學(xué)性能分析也不能只依靠常規(guī)的準(zhǔn)靜態(tài)測試方法。

先前工作者提出的本構(gòu)參數(shù)大多是用單一加載模式的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行校準(zhǔn)的，但在實(shí)戰(zhàn)中子彈等高速物體往往不是單一沖擊模式，因此對于任意模態(tài)的力學(xué)沖擊情況不一定成立，并且在目前的研究中，鮮有從基礎(chǔ)理論進(jìn)行探討。本文旨在從基本的變形開始到具體的本構(gòu)理論研究描述樣品各加載方式下的變形張量及應(yīng)力主面，得到生物軟組織及其對應(yīng)仿生靶標(biāo)的最大受力面及破壞程度等，為能制備真實(shí)反映實(shí)戰(zhàn)環(huán)境下的人體仿生靶標(biāo)提供理論指導(dǎo)。

1 連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基本理論

1.1 變形梯度張量

根據(jù)笛卡爾直角坐標(biāo)系下的有限變形理論，參考構(gòu)型中點(diǎn)和當(dāng)前構(gòu)型中的點(diǎn)通過變形函數(shù)(,)相聯(lián)系，即

=(,)

(1)

在參考構(gòu)型中，相鄰兩點(diǎn)可以取為和+d，則在當(dāng)前構(gòu)型中相鄰兩點(diǎn)為(,)和(+d,)。對(1)式進(jìn)行泰勒展開并略去高階小量,有

d=(+d,)-(,)=d

(2)

式中：的幾何意義是變形函數(shù)的梯度，稱之為變形梯度張量，

(3)

式中：(=1,2,3)為當(dāng)前構(gòu)型的基矢量；(=Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ)為參考構(gòu)型的基矢量。變形梯度的行列式是一個(gè)雅可比矩陣，定義當(dāng)前構(gòu)型和參考構(gòu)型的體積比=det。

1.2 應(yīng)變與應(yīng)力度量

動(dòng)態(tài)力學(xué)下發(fā)生大變形，引入右Cauchy-Green變形張量和左Cauchy-Green變形張量，

(4)

(5)

式中：為描述Seth應(yīng)變度量的無量綱數(shù)；為基矢量方向的主伸長；為基矢量；為單位應(yīng)變張量。保證2為整數(shù)時(shí)，若=1，則=12(-)= 12(-)表示為Green應(yīng)變，若=12，則(12)=12(-)=12-，表示物質(zhì)Biot應(yīng)變，若=0，則=ln=12ln,表示物質(zhì)Hencky應(yīng)變，若=-1，則=-12(-)=-12(-),表示物質(zhì)Piola應(yīng)變。

Cauchy應(yīng)力張量定義為當(dāng)前構(gòu)型上的2階對稱應(yīng)力，作用在單位參考構(gòu)型面積上的力為第一類Piola-Kirchhoff應(yīng)力，稱為名義應(yīng)力，根據(jù)參考構(gòu)型與當(dāng)前構(gòu)型轉(zhuǎn)化關(guān)系可得，

=J

(6)

作用在參考構(gòu)型上且具有對稱作用的第二類Piola-Kirchhoff應(yīng)力，與和關(guān)系為

==J

(7)

(8)

的5個(gè)應(yīng)變不變量為

(9)

表示橫觀各向同性軸的單位矢量。

2 率型本構(gòu)模型

生物軟組織以及仿生靶標(biāo)等軟材料具有非常明顯的應(yīng)變率效應(yīng)，在動(dòng)態(tài)沖擊下不僅具有明顯的超彈性性質(zhì)，還表現(xiàn)出黏彈性特性。為了完整描述軟組織從準(zhǔn)靜態(tài)到高應(yīng)變率條件下的力學(xué)性能，并聯(lián)兩部分組裝成新本構(gòu)模型，即

(10)

2.1 準(zhǔn)靜態(tài)模型

生物軟組織一般認(rèn)為是體積近似不可壓縮、泊松比在049左右的超彈性材料，超彈性定義為一個(gè)物體典型點(diǎn)在任意時(shí)刻的內(nèi)能密度完全由該時(shí)刻點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)確定。常見的超彈性本構(gòu)模型主要包括基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的唯象型、基于材料微結(jié)構(gòu)以及唯象結(jié)合基于微結(jié)構(gòu)的雜交模型。下面每種各舉一個(gè)典型本構(gòu)模型，并在下文中推導(dǎo)至通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定材料參數(shù)的擬合公式。

唯象型本構(gòu)模型中分為兩類，在各向同性、等容性等假設(shè)下，基于應(yīng)變不變量，Mooney得到了適用于橡膠材料的應(yīng)變能函數(shù)，表達(dá)式如下：

=(-3)+(-3)

(11)

式中：和為材料常數(shù)；和分別為應(yīng)變的第一和第二不變量?；谥魃扉L率，Ogden得到了適用于不可壓縮橡膠類材料大變形情形下的本構(gòu)關(guān)系，

(12)

式中：為材料常數(shù)(剪切模量)；為無量綱的待定系數(shù)(應(yīng)變硬化指數(shù))；(=1,2,3)為3個(gè)主方向上的主伸長比；為正整數(shù)。Treloar基于材料微結(jié)構(gòu)從橡膠類材料中無定形結(jié)構(gòu)中的分子鏈網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的統(tǒng)計(jì)力學(xué)出發(fā)，得到

(13)

Gent結(jié)合唯象和基于微結(jié)構(gòu)通過考慮分子鏈的極限伸長率，將應(yīng)變能函數(shù)表示成第一應(yīng)變不變量的對數(shù)函數(shù)形式，

(14)

式中：為剪切模量；是一個(gè)常數(shù)為-3的最大值。

綜上應(yīng)變能密度函數(shù)都表達(dá)了各向同性基質(zhì)的應(yīng)變能，對于肌肉等橫觀各向同性軟組織基于Spencer的理論，

=(,)+()+(,,)

(15)

式中：表達(dá)了各向同性基質(zhì)的應(yīng)變能；表達(dá)了纖維或者軸突自身的應(yīng)變能；表達(dá)了纖維與基質(zhì)之間的相互作用。Weiss等認(rèn)為引起的應(yīng)變能可由、、表示。對于部分，主要表現(xiàn)為纖維的拉伸或壓縮引起基質(zhì)內(nèi)部產(chǎn)生應(yīng)力。這種相互作用類似于剪力偶的形式，通過實(shí)驗(yàn)獲取相關(guān)數(shù)據(jù)較為困難。

Criscione等提出兩個(gè)新的不變量，、如下：

(16)

Ito等引用、得到

(,,)=
[(,)]+[(,,)]

(17)

式中：、分別為沿著纖維方向和垂直于纖維方向的剪切模量；為纖維和基質(zhì)組織相互剪切作用產(chǎn)生的應(yīng)變能，肌肉中的肌纖維在壓縮時(shí)會發(fā)生屈曲、不予考慮，但是白質(zhì)中的軸突需要考慮應(yīng)變能，選用公式如下：

(18)

式中：、為材料參數(shù)。對于腦組織中的灰質(zhì)以及肝臟、腎臟、皮膚等采用各向同性本構(gòu)模型(11)式～(14)式，對于肌肉以及白質(zhì)采用橫觀各向同性本構(gòu)模型(15)式～(18)式，其考慮了各向同性基質(zhì)的應(yīng)變能，以及白質(zhì)的軸突與肌肉的肌纖維壓縮應(yīng)變能且與各向同性基質(zhì)間的相互作用。

2.2 動(dòng)態(tài)模型

生物軟組織在高應(yīng)變率條件下表現(xiàn)出黏彈性，其力學(xué)行為與之前的變形歷史有關(guān)。本文主要討論兩種，一是用兩個(gè)Maxwell單元(分別表示動(dòng)態(tài)應(yīng)變下的高低應(yīng)變率)構(gòu)建的黏彈性模型直接通過應(yīng)變和應(yīng)變率表示應(yīng)力，

(19)

另一種是通過變形張量進(jìn)行描述，黏彈性部分在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，基于各向同性且不可壓縮假設(shè)得到PK2應(yīng)力張量為

(20)

式中：為一個(gè)描述應(yīng)變歷史對應(yīng)力影響的張量泛函；為時(shí)間項(xiàng);()為時(shí)刻右Cauch-Green變形張量。由可得三維形式的非線性黏彈性模型表達(dá)式：

(21)

式中：表示黏彈性材料的靜水壓力。關(guān)于張量泛函的表達(dá)式，應(yīng)用最多的就是BKZ模型，采用單積分形式的張量泛函。

第1種黏彈性本構(gòu)模型的優(yōu)勢在于應(yīng)力- 應(yīng)變關(guān)系通過高低應(yīng)變率兩種分別表述，具有很強(qiáng)的針對性，但是局限于一維加載；第2種黏彈性本構(gòu)模型從連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的基本原理進(jìn)行推導(dǎo)，構(gòu)建得到完整的應(yīng)力張量，適合寬應(yīng)變率范圍生物軟組織的率型本構(gòu)模型，并且適應(yīng)多方向的加載。

可以摒棄分別求解再由疊加原理組裝的本構(gòu)方程(10)式，根據(jù)超彈性模型的應(yīng)變能函數(shù)決定材料黏彈性的應(yīng)力響應(yīng)，運(yùn)用卷積積分引入生物軟組織的黏性特性方法來替換(20)式，除了21節(jié)中的準(zhǔn)靜態(tài)模型，還包括考慮無條件穩(wěn)定性、只有一個(gè)材料常數(shù)的Neo-Hookean模型，以指數(shù)形式表達(dá)的Fung-Demiray應(yīng)變- 能量函數(shù)，Gent提出的表征快速應(yīng)變硬化的本構(gòu)模型，與常剪切模量不同能描述隨變形而變化表征典型S形的應(yīng)力- 應(yīng)變關(guān)系的Yeoh模型(3階)。合理的本構(gòu)模型就是能用擬合出來的生物軟組織參數(shù)解釋在各種實(shí)驗(yàn)狀態(tài)下的應(yīng)力- 應(yīng)變數(shù)據(jù)，針對各種加載情況下得到的穩(wěn)定結(jié)果，能夠描述軟組織較大的變形范圍。

3 力學(xué)測試的實(shí)驗(yàn)方法與數(shù)據(jù)分析

從生物軟組織中取樣時(shí)盡量避開大的脈管、取均質(zhì)體部分，使用打磨鋒利的方形鉆具獲得的標(biāo)本形狀為立方體，設(shè)定樣本邊長為，主伸長用(=Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ)表示，生物軟組織試樣獲取與制備的核心是保證其活性，針對幾種典型的生物軟組織皮膚、肌肉、腦組織及各種器官等，皮膚與臟器可以近似假設(shè)為各向同性，但是肌肉因?yàn)榧∪饫w維的存在以及腦組織中白質(zhì)由束狀髓鞘化的神經(jīng)細(xì)胞突起(或軸突)組成，具有高度方向性，在提取表現(xiàn)出顯著各項(xiàng)異性軟組織時(shí)要保證沿著肌纖維或軸突取樣。

3.1 靜動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)方法

生物軟組織的準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)依托三軸測試裝置，如圖1(a)所示，在單軸壓縮實(shí)驗(yàn)過程中與樣本接觸的兩個(gè)金屬加載圓盤表面均勻涂抹少量潤滑劑以便于自由伸展，上部平臺沿3軸向下移動(dòng)；雙軸壓縮實(shí)驗(yàn)相當(dāng)于純剪，在不限制樣品3軸位移下沿著1軸、2軸壓縮；簡單剪切實(shí)驗(yàn)中需要使用少量膠粘劑將樣品底面粘在應(yīng)力測試裝置(,)面，稱為下部平臺，(,)面整體相對于固定的上部平臺移動(dòng)，(,)面施加的簡單剪切需要將測角儀與三軸應(yīng)力測試裝置下部的平臺置于同一平面；混合加載需要簡單剪切實(shí)驗(yàn)疊加壓縮載荷實(shí)驗(yàn)，恒定壓縮下剪切需要在樣品底面添加少量膠粘劑以保證底面與下部平臺整體移動(dòng)，恒定剪切下壓縮需要使用磷酸鹽緩沖溶液濕潤樣本以確保無粘連、便于自由伸展，三軸傳感器同時(shí)記錄3個(gè)方向上的數(shù)據(jù)并由電腦終端顯示。

生物軟組織高應(yīng)變狀態(tài)下的動(dòng)態(tài)壓縮實(shí)驗(yàn)在SHPB上進(jìn)行，整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置如圖1(b)所示，整個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置系統(tǒng)由氣槍、撞擊桿、入射桿、透射桿、吸收裝置、數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)等組成，入射桿和透射桿中間放置生物軟組織樣本，兩端涂抹潤滑劑以減少摩擦。實(shí)驗(yàn)時(shí)，撞擊桿在氣槍中高壓氮?dú)獾淖饔孟卵刂鴺屚布铀?，與入射桿碰撞，從而產(chǎn)生一個(gè)壓力脈沖，即入射波。然后入射波通過入射桿到達(dá)與試樣的交界面，對試樣產(chǎn)生一個(gè)矩形壓力脈沖，使得生物軟組織樣本產(chǎn)生高速變形。另外在入射桿中會產(chǎn)生反射波，而試樣中的應(yīng)力波最終到達(dá)透射桿，在透射桿中同樣會產(chǎn)生一個(gè)壓力脈沖，被稱之為透射波。入射波和反射波可以通過粘貼在入射桿上的箔式電阻應(yīng)變片測得，同樣，透射波可以通過粘貼在透射桿上的半導(dǎo)體應(yīng)變片測得。兩個(gè)應(yīng)變片接到超動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀，信號經(jīng)過超動(dòng)態(tài)應(yīng)變儀放大輸送，最終由計(jì)算機(jī)系統(tǒng)計(jì)算并顯示結(jié)果。

圖1 動(dòng)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)裝置示意圖Fig.1 Diagram of dynamic and static experimental devices

力學(xué)加載實(shí)驗(yàn)可以得到受測樣本所受的載荷力以及位移，通過對數(shù)據(jù)處理得到應(yīng)力=和應(yīng)變=。生物軟組織靜動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)的區(qū)別在于加載率的不同，靜態(tài)實(shí)驗(yàn)下樣本的加載依靠低速運(yùn)動(dòng)的移動(dòng)軸，因此也被稱為準(zhǔn)靜態(tài)；動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)下樣本的加載依靠被撞擊桿碰撞而高速運(yùn)動(dòng)的入射桿。受SHPB裝置的場地等方面限制，未能開展多軸加載實(shí)驗(yàn)，而準(zhǔn)靜態(tài)實(shí)驗(yàn)三軸測試較為成熟，全面表征軟組織力學(xué)性能需要靜態(tài)與動(dòng)態(tài)實(shí)驗(yàn)結(jié)合。隨著應(yīng)變率的提高，試樣的強(qiáng)度也明顯提高，呈現(xiàn)出很明顯的應(yīng)變率效應(yīng)，實(shí)驗(yàn)僅記錄達(dá)到屈服極限前的應(yīng)力- 應(yīng)變關(guān)系，即當(dāng)位移足夠大時(shí)，生物軟組織已經(jīng)被破壞，用表征力學(xué)性能的靶標(biāo)制備來反映武器效能是無意義的。

3.2 單軸壓縮

在單軸壓縮實(shí)驗(yàn)中，如圖2(a)所示，樣本壓縮應(yīng)變?yōu)椋瑒t=1-。設(shè)軟組織樣本立方體在無側(cè)限壓縮下均勻變形，因此變形梯度和右Cauch-Green變形張量的矩陣形式為

圖2 軟組織樣本單方向變形示意圖Fig.2 Diagram of soft tissue specimen deformation in a single direction

(22)

3.3 簡單剪切

為量化生物軟組織的剪切響應(yīng)，計(jì)算了樣本在1軸方向剪切量為，如圖2(b)所示，簡單剪切變形梯度和右Cauch-Green變形張量為

(23)

此時(shí)主伸長為

(24)

如果在(,)平面施加簡單剪切，剪切方向與1軸呈角(見圖1(c))，則建立新坐標(biāo)系(1′,2′,3′)，進(jìn)行坐標(biāo)變化，則新舊坐標(biāo)系之間的關(guān)系為

=cos+sin
=
=-sin+cos

(25)

代表坐標(biāo)軸，下角標(biāo)表示軸向。則和為

(26)

3個(gè)主伸長為

(27)

3.4 雙軸壓縮

在雙軸壓縮實(shí)驗(yàn)中，如圖3(a)所示，樣本在1軸、3軸的壓縮應(yīng)變?yōu)楹停?1-，=1-，雙軸壓縮相當(dāng)于純剪，并未發(fā)生旋轉(zhuǎn)，因此變形梯度和右Cauch-Green變形張量的矩陣形式與(22)式一致。

圖3 軟組織樣本多方向變形示意圖Fig.3 Diagram of multi-directional deformation of soft tissue specimen

3.5 混合加載

在壓縮剪切組合實(shí)驗(yàn)中，將簡單剪切與軸向壓縮疊加(見圖2(b))。分為在恒定壓縮下變化剪切量，或恒定剪切情況下變化壓縮應(yīng)變，觀察1軸方向和2軸方向上的位移?；旌霞虞d實(shí)驗(yàn)中，恒定壓縮下變化剪切量，則和為

(28)

式中：3個(gè)方向主伸長為

(29)

(30)

恒定剪切情況下變化壓縮應(yīng)變，則和為

(31)

則3個(gè)主伸長為

(32)

除獲取不同加載模式下的主伸長量，本構(gòu)模型以及參數(shù)標(biāo)定方法對于理論與實(shí)驗(yàn)相結(jié)合是至關(guān)重要的，以應(yīng)變能密度表達(dá)式(11)式進(jìn)行推導(dǎo)為例，Mooney-Rivlin超彈性材料體內(nèi)處某點(diǎn)處的PK2表示如下：

(33)

式中：為靜水壓力。結(jié)合正文中應(yīng)變不變量公式(9)式，得到

=(2+2)-2-p

(34)

結(jié)合(7)式推導(dǎo)PK1和PK2以及Cauchy應(yīng)力的關(guān)系，得

(35)

根據(jù)Cayley-Hamilton定理，可以將Cauchy應(yīng)力進(jìn)一步表示如下：

=2-2-(-2)

(36)

=2((1+)-(1+))(+(1+))

(37)

將測試數(shù)據(jù)代入(37)式，便可以擬合實(shí)驗(yàn)曲線得到材料參數(shù)和。

4 結(jié)論

為全面了解軟組織在高速壓縮載荷下的力學(xué)行為，本文從物體受力的形變出發(fā)，歸納總結(jié)了基于不同模型建立的超彈性及黏彈性本構(gòu)模型，有以下貢獻(xiàn)：

1) 區(qū)別于單純通過已有公式擬合應(yīng)力- 應(yīng)變數(shù)據(jù)，本文基于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)基本理論詳盡的推導(dǎo)并建立了各種加載方式下的變形模型；

2) 當(dāng)前大多數(shù)生物軟組織的力學(xué)實(shí)驗(yàn)僅為單軸加載，不足以全面表征軟組織力學(xué)性能，本文從單軸加載拓展到多軸乃至混合加載進(jìn)行了闡述；

3) 本文推導(dǎo)出了各種加載方式下的3個(gè)主伸長量，使得剪切加載方式下能找到生物軟組織的應(yīng)力主面，便于確定人造仿生靶標(biāo)的最大損傷面。

本文工作為探索能夠準(zhǔn)確表征人體軟組織力學(xué)性能的仿生人體靶標(biāo)構(gòu)成材料提供了理論與方法支撐。受限于當(dāng)前條件，目前只是進(jìn)行了理論推導(dǎo)，下一步將開展具體實(shí)驗(yàn)，探索基于人體軟組織力學(xué)準(zhǔn)確表征的仿生靶標(biāo)材料。