金屬熱黏塑性本構關系的研究進展*

王 強，王建軍，張曉瓊，張?zhí)燧x，王懷坤，吳桂英

（太原理工大學機械與運載工程學院，山西 太原 030024）

材料的本構關系研究是理論與應用力學領域的重要課題。在工程應用中，選擇合適的本構關系來描述材料的力學行為，是進行工程結構承載與失效分析的前提。在航空航天工程、軍事工業(yè)等領域中，材料常處于高溫、高應變率的極端環(huán)境，對處于這種極端環(huán)境下的結構進行數(shù)值分析，需要首先建立準確的材料熱黏性本構關系。

金屬的塑性流動是指金屬在外力作用下產(chǎn)生非彈性變形或屈服后的應力與應變關系。金屬材料的塑性流動與溫度密切相關，溫度升高，金屬的流動應力減小，即熱軟化，如圖1 所示。金屬的塑性流動實際上主要是位錯越過各種障礙的運動過程，通常，阻礙位錯運動的障礙分為兩種：短程障礙和長程障礙。短程障礙可通過熱激活克服，而長程障礙對溫度不敏感。因此，對應的金屬流動應力通?？捎蔁峒せ畈糠趾头菬岵糠纸M成。

圖1 不同應變率下93W-Ni-Fe 的流動應力隨溫度的變化曲線[4]Fig. 1 Flow stress-temperature curves of 93W-Ni-Fe at different strain rates[4]

同時，流動應力的應變率效應也是材料中普遍存在的現(xiàn)象，不僅反映在力學性能和破壞模式的差異上，也體現(xiàn)在材料微觀機制隨應變率的變化差異上，例如，屈服強度的變化和加工硬化的差異。許多學者針對多種已在工程領域中被廣泛應用的金屬材料進行了研究，探索了應變率對其流動應力的影響機制，如2024-T351 鋁、6 061-T6 鋁合金、OFHC 銅、4340 鋼、Ti-6Al-4V 合金。為了研究材料在不同變形率下的服役性能，揭示材料的變形機制，需要針對金屬材料的應變率效應開展系統(tǒng)研究，可為設計性能更優(yōu)異的新材料提供試驗和理論基礎。

隨著金屬材料的廣泛應用，需要建立材料的熱黏塑性本構關系為其工程應用提供理論依據(jù)。描述金屬塑性流動行為的本構關系的發(fā)展已有很長的歷史，現(xiàn)有的本構關系通常被分為經(jīng)驗型/唯象本構關系和物理概念本構關系。唯象本構關系主要包括Johnson-Cook 本構關系（J-C 模型）、K-H 本構關系（K-H 模型）等，物理概念本構關系主要包括Zerilli-Armstrong 本構關系（Z-A 模型）、力學閾值應力本構關系（MTS 模型）、Bonder-Partom 本構關系（B-P 模型）等。材料熱黏塑性本構關系不僅是理論與應用力學領域的重要研究課題，且隨著計算機技術的興起，也成為了計算力學的重要組成部分。

為了系統(tǒng)地介紹可以描述在不同溫度、不同應變率下金屬塑性流動行為的熱黏塑性本構關系，本文中首先介紹幾種常見的金屬熱黏塑性本構關系，詳細討論其優(yōu)勢、不足以及其修正形式，然后系統(tǒng)介紹考慮了第三型應變時效的金屬熱黏塑性本構關系、考慮K-W 鎖位錯結構引起的反常應力峰的金屬熱黏塑性本構關系以及考慮拉壓不對稱性的金屬熱黏塑性本構關系的研究進展。

1 常見金屬熱黏塑性本構關系及其修正形式

金屬熱黏塑性本構關系的發(fā)展已有數(shù)十年的歷史，已建立了數(shù)種常見的金屬熱黏塑性本構關系。在工程應用中，如何選用合適的熱黏塑性本構關系成為關注的重點。為此，本節(jié)將對幾種常見的金屬熱黏塑性本構關系及其優(yōu)缺點進行分析，并介紹其修正形式?，F(xiàn)有的金屬熱黏塑性本構關系分為唯象本構關系（或經(jīng)驗型本構關系）和物理概念本構關系，唯象本構關系通常具有更簡潔的形式，因此在工程中應用廣泛，而物理概念本構關系是基于金屬材料的塑性變形機理建立起來的，適用范圍更廣。

1.1 唯象本構關系

1.1.1 Johnson-Cook 本構關系

J-C 本構關系是Johnson 等于1983 年建立的一種唯象本構關系。J-C 本構關系由于形式簡單、參數(shù)容易獲得而被廣泛應用，并被嵌入ABAQUS、ANSYS 等商用有限元軟件中。J-C 本構關系認為金屬的等效流動應力可表示為等效應變函數(shù)、等效應變率函數(shù)和溫度函數(shù)的乘積，具體形式為：

式中： σ 為等效流動應力； ε 為等效塑性應變； ε ˙= ε˙/ε˙為無量綱塑性應變率，其中 ε˙ 為塑性應變率， ε˙為參考應變率；=(-)/(-) 為無量綱溫度，其中為絕對溫度，為熔化溫度，為室溫；、、、和為材料常數(shù)，其中，為參考溫度和參考應變率下的屈服應力，為應變硬化系數(shù)，為應變硬化指數(shù)，和分別代表應變率硬化系數(shù)和熱軟化系數(shù)的材料常數(shù)。

J-C 本構關系形式簡單，其材料常數(shù)通過少量試驗即可獲得，但其對一些金屬的塑性流動行為的預測結果并不理想，難以實現(xiàn)本構關系形式簡單和預測精度高之間的平衡。通常認為J-C 本構關系的缺點包括以下兩個方面：

（1）對于一些金屬材料，其流動應力隨對數(shù)應變率呈非線性關系，這使得J-C 本構關系不能準確描述這些金屬材料塑性流動行為的應變率敏感性，同樣，對于一些金屬材料，J-C 本構關系不能準確描述其塑性流動行為的溫度敏感性，如圖2 所示；

圖2 不同應變率下，流動應力隨溫度變化的模型預測結果與試驗結果比較[23]Fig. 2 Comparison of model predictions and experimental results of flow stress variation with temperature at different strain rates[23]

（2）對于金屬塑性流動行為中的等效應變、等效應變率和溫度對流動應力的影響為非獨立的現(xiàn)象，J-C 本構關系同樣不再適用。

針對J-C 本構關系的缺點，學者們建立了多種修正的J-C 本構關系。對于J-C 本構關系的第一類缺點，Holmquist 等通過對OFHC 銅的泰勒沖擊試驗發(fā)現(xiàn)，應變率對材料強度的影響不是J-C 本構關系所描述的為對數(shù)應變率的線性函數(shù)，而是應變率指數(shù)函數(shù)。為了更好地描述這種行為，將J-C 本構關系中的應變率項修正為無量綱塑性應變率的冪函數(shù)：

式中：和為經(jīng)驗系數(shù)。

對于J-C 本構關系的第二類缺點，Vural 等通過試驗發(fā)現(xiàn)，實際的應變硬化項下降的速度比J-C 本構關系的預測值更快，這是由J-C 本構關系中的溫度軟化項決定的。為了描述這一現(xiàn)象，其在耦合溫度和應變硬化項的同時，在應變率敏感項部分加入了溫度效應，以便能更好地反映溫度對應變率敏感性的影響。其形式為：

和分別為準靜態(tài)應變率范圍內(nèi)（ ε ˙＜ε˙）的率敏感度和動態(tài)應變率范圍內(nèi)的率敏感度（ε˙＞ε˙）， ε˙為將準靜態(tài)變形與動態(tài)變形分離開的過渡應變率，為室溫，為參考溫度，為Heaviside階躍函數(shù)的近似，為比例因子，、為材料常數(shù)。圖3 所示為2139-T8 鋁合金單軸拉伸的試驗結果與修正的J-C 本構關系預測結果的比較。

圖3 試驗應力-應變曲線與修正的J-C 本構關系預測結果的比較[27]Fig. 3 Comparison betwwen experimental stress-strain curves with MJC model predictions[27]

Lin 等通過對2124-T851 鋁合金和高強合金鋼在寬溫度、寬應變率范圍內(nèi)的拉伸塑性流動行為進行分析，提出了一個考慮溫度和應變率耦合效應的J-C 本構關系：

式中：、、 λ和 λ為材料常數(shù)。

此外，還有許多學者針對金屬材料的熱黏塑性流動行為建立了修正的J-C 本構關系，極大地拓寬了J-C 本構的使用范圍。例如，Dou 等不僅考慮了應變、應變率和溫度效應，而且考慮了應力狀態(tài)效應，提出了一個塑性模型，確定了Ti-6Al-4V 合金在寬溫度范圍(93～1 073 K)和寬應變率范圍（10～6.5×10s）下，不同應力狀態(tài)(單軸拉伸、壓縮和簡單剪切)下的塑性行為和微觀機制。

1.1.2 Khan-Huang（K-H）本構關系和Khan-Huang-Liang（K-H-L）本構關系

Khan 等對鉭、含2.5%鎢的鉭合金以及AerMet 100 鋼3 種BCC 金屬進行了不同溫度和不同應變率下的試驗，發(fā)現(xiàn)J-C 本構關系和Z-A 本構關系無法準確描述這3 種材料的加工硬化隨應變率變化的塑性流動行為。因此，為了更好地預測這3 種BCC 材料的加工硬化行為，他們耦合了應變和應變率對加工硬化的影響，建立了修正的K-H 本構關系：

針對Ti-6Al-4V 合金的塑性流動行為，Khan 等建立了一個修正的K-H-L 本構關系，并與J-C 本構關系的預測結果以及試驗結果進行了對比，結果表明，修正后的K-H-L 本構關系比J-C 本構關系對Ti-6Al-4V 合金塑性流動行為有更好的預測結果，如圖4 所示。修正后的K-H-L 本構關系為：

圖4 不同應變率下，Ti-6Al-4V(296 K)的準靜態(tài)和動態(tài)加載試驗結果與K-H-L 和J-C 本構關系預測結果的比較[13]Fig. 4 Quasi-static and dynamic loading experimental results of Ti-6Al-4V (at a temperature of 296 K) for different strain rates with correlations using K-H-L and J-C models[13]

為了描述晶粒細化引起的不同多晶金屬的塑性流動行為，F(xiàn)arrokh 等基于K-H-L 本構關系，建立了與晶粒尺寸和溫度相關的金屬熱黏塑性本構關系：

式中：為被測材料粗晶狀態(tài)的平均晶粒度，為材料常數(shù)。圖5 中給出了K-H-L 本構關系對不同晶粒尺寸納米晶鋁在不同應變率下的流動應力預測結果。

圖5 不同晶粒尺寸納米晶鋁在不同應變率下的流動應力-應變試驗結果與K-H-L 本構關系預測結果[38]Fig. 5 Observed and calculated responses for nanocrystalline aluminium at different strain rates by using KHL model for various grain sizes[38]

1.1.3 其他唯象模型

FCC 金屬的真實應力-應變曲線可以通過指數(shù)形式表示，Voce和Kocks建立了V-K 本構關系。該指數(shù)律最初由Voce于1948 年提出，之后被許多研究者進行了擴展，其表達式為：

式中： δ為一個無量綱特征長度尺度細化率參數(shù)， δ為較大應變下特征長度尺度的飽和尺寸， δ和 δ分別為 δ和 δ的參考值，、和以及、和為描述微觀結構細化和穩(wěn)態(tài)特征長度對應變率和溫度依賴性的常數(shù)。、和 ε˙、 ε˙為參考溫度和參考應變率。圖6 中給出了利用M-R 本構關系預測銅在沖擊載荷下的塑性流動行為。Naderi 等將V-K 本構關系和M-R 本構關系結合起來描述了22MnB5 硼鋼在等溫變形下的應變、應變率和溫度的依賴性。然而，該研究的不足在于只考慮了相對較低的應變率情況（小于10 s）。

圖6 不同溫度和應變率下銅的真實應力-真實應變曲線與預測結果的對比[41]Fig. 6 Comparison of true stress - true strain curves and model predictions for copper at different temperatures and strain rates[41]

為了能直觀地了解各唯象本構關系的主要特性及其表達式，表1 中給出了各種唯象型本構關系的主要特征，表2 中給出了各種唯象型本構關系的方程形式。

表1 唯象型本構關系的模型對比Table 1 Comparison of phenomenological constitutive relations

表2 唯象型本構關系的方程形式Table 2 Equations of phenomenological constitutive relationships relations

1.2 物理概念本構關系

1.2.1 Bodner-Partom（B-P）本構關系

Bodner 等于1975 年建立了考慮應變硬化和黏性影響的大變形彈-黏-塑性本構關系。盡管該本構關系對應變率不是很敏感，且沒有考慮溫度效應，但B-P 本構關系的優(yōu)勢在于其堅實的物理基礎。該本構關系將材料的總變形率分為彈性和塑性兩部分，即：

式中：為最大應變率，為一個內(nèi)部變量，表示材料的變形歷史。應變率敏感度由參數(shù)控制。假定為塑性功的函數(shù)：

式中：、和為本構常數(shù)。

Huang 等使用B-P 本構關系描述了1100-0 鋁在應變率為10～10s范圍內(nèi)的塑性流動行為。結果表明，B-P 本構關系可以準確描述1100-0 鋁的應變率敏感性和在大塑性變形下的加工硬化。

由于B-P 本構關系沒有考慮溫度效應，所以Chen 等在B-P 本構關系中引入了熱軟化效應來描述30CrMnSiA 鋼的塑性流動行為，其形式為：

式中：、和為本構常數(shù)。

圖7 所示為B-P 本構關系預測得到的30CrMnSiA 在溫度升高時流動應力的軟化。馬鑫等用B-P本構關系描述了Sn-Pb 共晶合金在10～10s應變率范圍內(nèi)、-55～125 ℃溫度下的拉伸行為，其結果如圖8 所示。

圖7 30CrMnSiA 熱軟化情況的理論和試驗值的比較[44]Fig. 7 Comparison between theoretical and experimental values on thermal softening of 30CrMnSiA[44]

圖8 Sn60Pb40 合金的計算結果與試驗結果的比較[45]Fig. 8 Comparison of calculated results and experimental results for Sn60Pb40 alloy[45]

1.2.2 Zerilli-Armstrong（Z-A）本構關系

Zerilli于1987 年基于位錯力學建立了Z-A 本構關系，該本構關系考慮了應變硬化、應變率硬化和晶粒尺寸對金屬材料流動應力的影響。由于溫度和應變率對面心立方體金屬材料（face-centered cubic，F(xiàn)CC）和體心立方體金屬材料（body-centered cubic，BCC）的影響不同，例如BCC 金屬比FCC 金屬表現(xiàn)出更高的溫度敏感性和應變率敏感性，所以FCC 和BCC 兩類金屬材料的Z-A 型本構關系形式也不同。對于FCC 金屬，位錯必須克服林位錯的阻礙；對于BCC 金屬，位錯必須克服Peierls-Nabarro 障礙。因此，對于FCC 金屬，Z-A 本構關系的形式為：

對于BCC 金屬，Z-A 本構關系的形式為：

式中： σ為流動應力的非熱分量，主要由溶質和晶界等因素確定， σ=σ+，其中 σ為考慮溶質和初始位錯密度影響的屈服應力部分，為晶粒尺寸系數(shù)，表征微結構應力強度； α =α-αln ε˙ ，β=β-βln ε˙ ，、、α、α、β、β和σ為由試驗確定的材料參數(shù)。

鑒于HCP（hexagonal close-packed，HCP）材料表現(xiàn)出與FCC 和BCC 金屬類似的應變率敏感性和溫度依賴性，例如鈦金屬，Zerilli 等將Z-A 本構關系的FCC 形式和BCC 形式統(tǒng)一，建立了一個新的本構關系，描述了Ti-6Al-4V 合金和HY-100 合金的塑性流動行為，其表達式為：

Z-A 本構關系中的參數(shù)在各種條件和整個變形過程中被視為常數(shù)，但是這種情況與實際情況是不符合的。因此Zhang 等建立了一個修正的Z-A 本構關系，描述了新開發(fā)的鎳基高溫合金IC10 在寬溫域(293～1 073 K)和寬應變率(10～10s)下的塑性響應，該本構關系考慮了溫度、應變率和變形過程對參數(shù)的影響。修正后的本構關系表達式為：

對于FCC：

除此之外，許多學者對Z-A 本構關系進行了修正以適應某些特定的材料。例如，Samantaray 等在Z-A 本構關系的基礎上，考慮了溫度與應變、溫度與應變率的耦合效應對流動應力的影響，建立了一個新的本構關系，描述了Ti 改性奧氏體不銹鋼(D9 合金)在1 073～1 473 K 溫度范圍、10～1 s應變率范圍內(nèi)的塑性流動行為，其本構形式為：

式中：、、、、和為材料常數(shù)。

Abed 等通過試驗發(fā)現(xiàn)，Z-A 本構關系在預測熱激活應力時，假定應力-溫度呈指數(shù)關系。但是這種指數(shù)形式并不適用于所有類型的金屬，特別是在高溫下，這會導致Z-A 本構關系的熱激活應力在任何溫度下都不會消失，該假設與熱激活理論相悖。因此，Abed 等建立了Z-A 本構關系的修正形式。

對于FCC：

對于BCC：

式中：=ln(1/ε˙) ；、和為與微觀結構相關的材料參數(shù)；為一個附加的應力，與溶質、原始位錯密度以及晶粒尺寸相關。

1.2.3 力學閾值應力（mechanical threshold stress，MTS）本構關系

在Z-A 本構關系中，流動應力的應變率相關性被分成兩個區(qū)：滑移區(qū)和拖曳區(qū)，將FCC 金屬的流動應力在應變率超過10s時的快速增長解釋為變形機制的轉變：從滑移區(qū)向拖曳區(qū)轉變。然而Follansbee 等通過試驗觀察，認為應變率敏感性的上升應歸因于結構演化的速率敏感性，因此，為了描述材料的高應變率行為，發(fā)展了MTS 本構關系，其形式為：

MTS 本構關系中考慮了應變、應變率和溫度對流動應力的影響，所以需要大量的試驗才能確定所需的材料參數(shù)，因此使用起來比較麻煩。Follansbee于1988 年總結回顧了MTS 本構關系的研究進展，加入了變形孿晶和多重強化機制，給出了MTS 本構關系的更一般的形式：

式中：S為與溫度和應變率相關的因子，σ?為熱應力，一般取=2。

由于MTS 本構關系可以很好地預測高應變率范圍（10～10s）內(nèi)的流動行為，因此被研究人員用來模擬各種金屬在寬應變率范圍內(nèi)的塑性變形行為。

Banerjee 等對不同退火的4340 鋼進行了泰勒沖擊試驗，并使用MTS 本構關系預測了其在高溫高應變率下的塑性流動行為。此外，學者們也將MTS 本構關系嵌入有限元程序，用來模擬金屬材料在高應變率下的變形行為，如Maudlin 等采用Taylor 沖擊試驗、扭轉試驗、平板撞擊和斜撞擊試驗的數(shù)據(jù)，在EPIC-2 和PINON 程序上對MTS 進行了評估，發(fā)現(xiàn)在剪應變小于0.2 的情況下，MTS 模型有很好的精度。

1.2.4 Nemat-Nasser-Li（N-N-L）本構關系

為了描述鉭和鉭鎢合金在寬溫度域、寬應變率范圍、大變形條件下的塑性流動行為，Nemat-Nasser 等建立了一種金屬熱黏塑性本構關系，其表達式為：

圖9 不同應變率和溫度下，退火OFHC 銅的N-N-L 本構關系預測結果與試驗結果的比較[57]Fig. 9 Comparison of model prediction predictions with experimental results for annealed OFHC copper at different strain rates and temperatures using N-N-L constitutive model[57]

Guo 等利用N-N-L 本構關系描述了3003 Al-Mn 合金的塑性流動行為，結果如圖10 所示。此外，N-N-L 本構關系也被用于鉬和鈦等金屬塑性流動行為的預測。

圖10 不同應變率下N-N-L 模型預測與試驗結果的比較[58]Fig. 10 Comparison between N-N-L model predictions with experimental results at different strain rate[58]

1.2.5 其他物理概念本構模型

除上述幾種常見的物理概念本構關系外，學者們建立了其他的物理概念本構關系以描述金屬材料的溫度依賴性和應變率敏感性。例如，Rusinek 等基于Klepaczko的研究建立了一種熱黏塑性本構關系（R-K 本構關系），用于描述金屬鋁薄板在10～10s應變率下的應變、應變率和溫度與流動應力之間的關系。該本構關系中添加了一個有效應力，對應于應變硬化和熱激活過程。其表達式為：

圖11 用M-R-K 本構關系描述的流動應力隨塑性應變的變化[65]Fig. 11 Change of the flow stress with plastic strain described using the M-R-K model[65]

Gao 等基于位錯運動的熱激活機制，建立了一種可以描述FCC 金屬動態(tài)塑性行為的熱黏塑性本構關系，該本構關系中本構參數(shù)與材料的微觀結構特征直接相關，其形式為：

表3 物理概念本構關系的模型對比Table 3 Comparison of physically based constitutive relations

表4 物理概念本構關系的方程形式Table 4 Equations of physically based constitutive relations

此外，Xu 等近年來也對常見的各種金屬熱黏塑性本構關系的描述和預測能力進行了詳細的研究和對比。主要針對B-P、N-N-L、Z-A、V-A 和R-K 等5 種物理概念本構關系以及J-C 和K-H-L 等2 種唯象本構關系，介紹了各本構關系參數(shù)的確定方法，分別用于描述典型FCC 金屬銅和鎢基復合材料93W-4.9Ni-2.1Fe在寬應變率寬溫度范圍內(nèi)的塑性行為，分析了各本構關系在描述加工硬化、溫度和應變速率影響時的靈活性。

2 包含第三型應變時效的金屬熱黏塑性本構關系

在寬溫域、寬應變率范圍內(nèi)對金屬材料的塑性流動行為進行測試時，會發(fā)現(xiàn)：在某應變率下，金屬材料的流動應力-應變曲線隨著試驗溫度升高整體或較大部分反而上升，表現(xiàn)在對應的流動應力-溫度曲線上為出現(xiàn)一反常應力峰值，如圖12 所示。考慮到這種現(xiàn)象在形式上有別于“靜態(tài)應變時效”和鋸齒屈服PLC 動態(tài)應變時效，郭偉國等，Wang 等和Xiao 等將這一現(xiàn)象稱為“第三型應變時效”（third type SA，簡稱3rd SA）。第三型應變時效現(xiàn)象的出現(xiàn)具有普遍性，在單晶、多晶(BCC, HCP, FCC)等各類金屬中都出現(xiàn)這一現(xiàn)象。

圖12 DH36 鋼流動應力隨溫度變化曲線上出現(xiàn)的反常應力峰[71]Fig. 12 Anomalous stress peaks in the flow stress curves of DH36 steel with temperature[71]

第三型應變時效現(xiàn)象的出現(xiàn)使得常見的金屬熱黏塑性本構關系不能很好地描述金屬材料在第三型應變時效出現(xiàn)的溫度區(qū)域內(nèi)的塑性流動行為。為此，學者們通過對第三型應變時效的表現(xiàn)形式和微觀機理的研究來建立考慮第三型應變時效的金屬熱黏塑性本構關系。Gilat 等在基于位錯熱激活理論建立的金屬熱黏塑性本構關系的基礎上，增加了考慮局部溶質原子濃度的第三型應變時效項，利用建立的包含第三型應變時效的金屬熱黏塑性本構關系，可以很好地描述1020 鋼在不同溫度、不同應變率下的塑性流動行為。Cheng 等基于N-NL 本構關系考慮第三型應變時效過程中溶質原子濃度的變化，建立了包含第三型應變時效的金屬熱黏塑性本構關系，其最終形式如下：

其中并未考慮第三型應變時效現(xiàn)象的應變率效應。孟衛(wèi)華等和Su 等同樣在Nemat-Nasser 等建立的物理概念熱黏塑性本構關系的基礎上，增加了第三型應變時效項來描述DH-36 鋼的拉伸和壓縮塑性流動行為，考慮到第三型應變時效現(xiàn)象的應變率效應，通過對在很寬應變率范圍內(nèi)的試驗結果進行進行分析，認為第三型應變時效項中的特征參數(shù) σ、和與對數(shù)應變率呈線性關系，表達式為：

第三型應變時效現(xiàn)象的出現(xiàn)，使常見的金屬熱黏塑性本構關系不能很好地描述金屬塑性流動行為，為此，學者們建立了多種包含第三型應變時效的金屬熱黏塑性本構關系，可分為兩類：具有物理概念的本構關系和經(jīng)驗型的本構關系。具有物理概念的本構關系是基于第三型應變時效微觀機理，即運動位錯與溶質原子的相互作用建立起來的，其形式通常較復雜，材料參數(shù)不易獲得。經(jīng)驗型的本構關系在常見金屬熱黏塑性本構關系的基礎上增加了第三型應變時效項，由于其形式簡單、參數(shù)容易獲得，近年來受到了廣泛關注。經(jīng)驗型的本構關系中的第三型應變時效項通常采用正態(tài)分布形式，但是其中的特征參數(shù)與應變率的關系式有一定差異。

3 包含K-W 鎖位錯結構引起的反常應力峰的金屬熱黏塑性本構關系

在對 γ相增強的鎳基高溫合金的塑性流動行為的研究中發(fā)現(xiàn)： γ相增強的鎳基高溫合金流動應力在隨溫度變化的曲線上，會出現(xiàn)一反常應力峰，如圖13 所示。該反常應力峰的出現(xiàn)被認為是由鎳基高溫合金中 γ相中的K-W 鎖位錯結構引起的。學者們在觀察和分析交滑移鎖形成過程的基礎上，成功發(fā)展出很多與K-W 鎖的形成和解鎖相關的超彎折模型。K-W 鎖的形成過程為被壓縮的超不全位錯首先滑移到立方面上，然后擴展到一相交的八面體上，以非平面鎖的形式鎖住整個位錯。超彎折模型的基礎為O r o w a n 公式，包含S u n 模型、Hirsch 模型、ELU 模型和自解鎖機制模型。

圖13 鎳基高溫合金的拉伸強度隨溫度的變化[97-98]Fig. 13 Tensile strength of nickel base superalloy as a function of temperature[97-98]

為了描述γ′相增強的鎳基高溫合金DD407的力學行為，Wang 等建立了一個考慮屈服應力的異常溫度依賴性及其應變率效應的本構關系。根據(jù)反常應力峰的特點，Wang 等修正了Johnson-Cook 本構關系以描述鎳基高溫合金GH4133B 的塑性流動行為。結合反相界面能的溫度依賴性和經(jīng)典的顆粒剪切理論，Li 等建立了一個溫度依賴的屈服強度模型來描述 γ增強高溫合金的屈服強度隨溫度的變化。

Wang 等基于鎳基單晶高溫合金的微觀結構——一種含有 γ 基體相和 γ增強相的雙相結構，建立了包含K-W 鎖位錯結構引起的反常應力峰的屈服強度與溫度和應變率的關系?？紤] γ 相和γ相的影響，高溫合金的流動應力可表示為：

式中：為玻爾茲曼常數(shù)，為位錯運動的激活自由能，和為材料常數(shù)。

位錯從八面體平面向立方體平面的交叉滑移，導致K-W 鎖的形成，是屈服應力與溫度正相關的根本原因。由于熱激活滑移更傾向于立方體平面，導致材料在超過峰值應力對應的溫度時發(fā)生軟化。為了描述由K-W 鎖引起的對位錯運動的額外阻力的大小，可用正態(tài)分布來定量描述K-W 鎖形成的概率隨溫度的變化， γ相的流動應力具體表達式如下：

式中：、 ζ 和為K-W 鎖引起的反常應力峰值的特征參數(shù)，為K-W 鎖產(chǎn)生的阻力最大時的溫度，即峰值溫度， ζ 為應力峰的寬度，為應力峰的高度。、 ζ 和為應變率的函數(shù)：

式中：、、、和為材料常數(shù)。

王建軍等所建立的包含K-W 鎖位錯結構引起的反常應力峰的本構關系可以很好地描述γ相增強的鎳基高溫合金屈服應力隨溫度和應變率的變化，但未考慮塑性變形的影響。近期，Wang 等在對鎳基高溫合金K403 在寬溫度域、寬應變率范圍內(nèi)的塑性流動行為進行測試時發(fā)現(xiàn)：高溫合金K403 的流動應力隨溫度變化會出現(xiàn)兩個反常應力峰，如圖14 所示，通過系統(tǒng)分析，認為這兩個反常應力峰分別由第三型應變時效和K-W 鎖位錯結構引起。為了能準確描述高溫合金K403 的塑性流動行為，在文獻[99]建立的 γ相增強的鎳基高溫合金的本構關系的基礎上，在 γ 相的流動應力（ σ）中增加了第三型應變時效項，在固溶阻力部分（ σ）增加了非熱部分。因此， γ相增強的鎳基高溫合金熱黏塑性本構關系的最終表達式為：

圖14 高溫合金K403 在不同應變率下的流動應力隨溫度的變化Fig. 14 Flow stress of superalloy K403 as function oftemperature at different strain rates

如圖14 所示，所建立的 γ相增強的鎳基高溫合金的熱黏塑性本構關系可以準確地預測高溫合金K403 在寬溫度域、寬應變率范圍內(nèi)的塑性流動行為。

4 考慮拉壓不對稱性的金屬熱黏塑性本構關系

在鈦合金和其他HCP 金屬中經(jīng)常觀察到拉伸和壓縮之間的強度差，即拉/壓不對稱。Khan 等研究了電子束單熔體Ti-6Al-4V 合金在不同應變率下的拉伸和壓縮行為，發(fā)現(xiàn)Ti-6Al-4V 合金的拉伸和壓縮行為不僅在屈服應力水平上有明顯差異，而且在加工硬化速率上也有顯著差異。Li 等研究了激光立體成形Ti-6Al-4V 合金(LSF Ti-6Al-4V)在寬溫度域和寬應變率下的拉伸和壓縮行為，發(fā)現(xiàn)拉伸和壓縮力學行為在屈服應力和加工硬化速率上也存在顯著差異。

在結構分析中，通常采用經(jīng)典塑性理論來描述金屬合金的塑性響應，該理論認為應力偏量的第一不變量和第三不變量對流動應力沒有影響。然而，對于金屬塑性流動行為中出現(xiàn)的拉/壓不對稱行為，塑性理論不再適用。巖土力學界早就認識到將靜水壓力(與應力偏量的第1 個不變量有關)和Lode 角參數(shù)(與應力偏量的第三個不變量有關)納入本構關系的必要性。Richmond 等進行了初步研究，證明了靜水壓力對鋁合金屈服的影響；Gao 等揭示了應力狀態(tài)對5 083 鋁合金的塑性響應有很強的影響，為應力狀態(tài)相關的塑性模型的發(fā)展提供了藍圖；Khan 等提出了應變率和溫度依賴的屈服準則來描述Ti-6Al-4V 合金的各向異性屈服行為和拉壓不對稱特性；Tuninetti 等研究了Ti-6Al-4V 合金的拉壓不對稱、各向異性屈服和各向異性應變硬化行為，基于宏觀正交各向異性屈服準則CPB06，建立了考慮拉壓不對稱、各向異性屈服和各向異性應變硬化的彈塑性本構關系。

在Ti-6Al-4V 合金中經(jīng)常觀察到的流動應力拉/壓不對稱通常歸因于滑移系統(tǒng)和機械孿晶的不同。LSF Ti-6Al-4V 合金的屈服應力和加工硬化速率具有顯著的拉/壓不對稱，且其拉/壓不對稱與溫度和應變速率有關。本文中將基于LSF Ti-6Al-4V 合金的塑性流動行為，建立一個考慮拉/壓不對稱以及溫度和應變速率依賴性的金屬熱黏塑性本構關系。

式中： σ為初始缺陷引起的應力，為應變硬化系數(shù)，為應變硬化指數(shù)。 σ為由晶粒尺寸效應引起的應力。孿晶是LSF Ti-6Al-4V 合金的變形機制之一，孿晶細化晶粒提高了晶粒的抗滑移性和加工硬化率。由于孿晶對應變速率和溫度的敏感性很低，因此將孿晶對流動應力的貢獻納入到非熱應力中。Meyers 等提出，在大多數(shù)情況下，孿晶的粒度依賴性服從Hall-Petch 關系，且孿晶的斜率大于滑移的斜率。因此， σ可以表示為：

圖15 為所建立的金屬熱黏塑性本構關系的預測結果與不同溫度和應變率下LSF Ti-6Al-4V 拉伸和壓縮應力-應變曲線的對比，可以看出，所建立的考慮拉/壓不對稱行為的金屬熱黏塑性本構關系可以很好地描述LSF Ti-6Al-4V 拉伸和壓縮塑性流動行為。

圖15 考慮拉壓不對稱行為的金屬熱黏塑性本構關系預測結果與試驗結果的對比Fig. 15 Comparison between the predicted and experimental results of thermo-viscoplastic constitutive relationships of metal considering the asymmetrical behavior of tension and compression

5 總 結

熱黏塑性本構關系能夠描述最普遍情況下金屬材料的變形行為，可預測金屬材料在一定的溫度和應變率范圍內(nèi)的塑性流動行為。傳統(tǒng)唯象本構關系缺乏對物理機制的足夠認識，所以無法準確描述材料塑性變形與微觀結構演化的關系；而物理型本構關系考慮了材料在變形過程中的熱變形機理。此外，由位錯及其相互作用引起的加工硬化和溫度升高引起的動態(tài)軟化將導致熱變形過程中特有的變形機制，所以能充分地描述這兩種效應在金屬熱黏塑性本構關系中的作用，也是一個重要的研究領域。

由于第三型應變時效引起的反常應力峰、K-W 鎖位錯結構引起的反常應力峰以及拉壓不對稱行為的出現(xiàn)，使得常見的金屬熱黏塑性本構關系不再適用。為此，學者們針對3 種現(xiàn)象的微觀機理、宏觀特征等建立了考慮這3 種反常行為的金屬熱黏塑性本構關系，進一步完善了金屬熱黏塑性本構關系。