一類含導(dǎo)數(shù)型非線性記憶項(xiàng)的弱耦合半線性*

歐陽柏平

(廣州華商學(xué)院，廣東 廣州 511300)

Moore-Gibson-Thompson(MGT)方程因其在實(shí)際中的應(yīng)用[1-2]而得到廣泛研究[3-5],本文考慮如下高階弱耦合半線性 MGT系統(tǒng)柯西問題解的爆破.

(1)

其中，cγi=1/Γ(1-γi),γi∈(0,1),(i=1,2),Γ為第二類歐拉積分;u=u(x,t),v=v(x,t),x∈Rn,t>0;p、q>1;ε>0;βi(i=1,2)>0;(u,ut,utt,v,vt,vtt)(0,x)=ε(u0,u1,u2,v0,v1,v2)(x);需要指出的是，(1)中等式右邊含有記憶項(xiàng)的積分表示系統(tǒng)記憶的信息包含著過去的歷史信息； 同時(shí)(t-s)-γi是衰減的，意味著最近的信息對系統(tǒng)有更大的影響.

(1)中，如果β1=β2,γ1=γ2,p=q，則一定程度上退化為單個(gè)的導(dǎo)數(shù)型非線性記憶項(xiàng)MGT方程.對于p≠q，此時(shí)(1)右端會產(chǎn)生弱耦合現(xiàn)象，由此 (1)已不是單個(gè)高階MGT方程的簡單推廣. 另一方面，比較相關(guān)的弱耦合波動(dòng)方程研究[6-7]， (1)將出現(xiàn)關(guān)于時(shí)間t的高階導(dǎo)數(shù)，這將使得無界乘子對其柯西問題解的研究產(chǎn)生很大影響，也導(dǎo)致經(jīng)典的反射法等技巧無法運(yùn)用，因?yàn)闊o界乘子的出現(xiàn)使得應(yīng)用Kato引理進(jìn)行處理非常困難.本文采用文獻(xiàn)[8-10]中提出的高階雙曲方程柯西問題的方法，研究在次臨界情況下導(dǎo)數(shù)型非線性記憶項(xiàng)對弱耦合MGT系統(tǒng)解的爆破和生命跨度影響.

1 主要結(jié)果

首先定義問題(1)的柯西問題能量解.

定義1設(shè)(u0,u1,u2,v0,v1,v2)∈(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn))×(H2(Rn)×H1(Rn)×L2(Rn)).(u,v)是問題(1)在[0,T)上的能量解，若

且滿足

(2)

(3)

應(yīng)用分部積分對式(2)和(3)進(jìn)行整理，有

(4)

(5)

由式(4)和(5)可見，當(dāng)t→T時(shí)(u,v)滿足問題(1)的能量解的定義.

(6)

2 解的生命跨度上界估計(jì)

設(shè)

(7)

式(4)和(5)中，取φ≡1,φ≡1,{(s,x)∈[0,t]×Rn:|x|≤r+s},可得

(8)

(9)

聯(lián)立式(7)-(9)，得到

(10)

(11)

式(10)和(11)對t求導(dǎo)，得

(12)

(13)

利用定理1條件和H?lder不等式，有

(14)

(15)

其中c1=c1(n,p),c2=c2(n,p)>0.

聯(lián)立式(12)-(15)，可推得

(16)

(17)

對式(16)積分，整理得

(18)

由式(17)，同樣可得到

(19)

構(gòu)造U(t)和V(t)的下界序列[11]，設(shè)

其中Φ(x)為光滑的正函數(shù)且ΔΦ(x)=Φ(x);當(dāng)|x|→∞時(shí),Φ(x)～|x|-(n-1)/2e|x|.

定義函數(shù)Ψ=Ψ(t,x)=e-tΦ(x).顯然，有-βΨttt+Ψtt-ΔΨ+βΔΨt=0.

引入泛函

(20)

將Ψ應(yīng)用到式(2)和(3)，應(yīng)用分部積分和Ψ的性質(zhì)，可推得

(21)

(22)

其中，

式(21)對t求導(dǎo)，有

(23)

將式(21)和(23)相加，得到

(24)

聯(lián)立式(20)和(24)，有

(25)

取b1=1/β1，重寫式(25)，得到

(26)

G′(t)+(1+b1)G(t)≥b1εI1.

(27)

對式(27)積分，可得

(28)

e2t同乘式(28)兩邊，積分，整理可得

(29)

其中C1>0.

類似地，由式(20)和(22)，可推出

(30)

應(yīng)用Ψ的漸近性[12]，有

(31)

其中,p′=p/(p-1),p>1;k0>0.

由條件suppv(t,·)?Br+t和H?lder不等式，有

(32)

于是，由式(30)和(32)得到

(33)

其中k1=C2pk0-(p-1).

將式(33)代入到式(12)，有

(34)

對式(34)求積分，可推出

(35)

同樣的處理，有

(36)

構(gòu)造U(t)和V(t)的迭代序列，令

U(t)≥Dj(r+t)-αj(t-Ljβ1)σj,

(37)

V(t)≥Qj(r+t)-aj(t-Ljβ2)rj；

(38)

其中{Dj}j≥1、{Qj}j≥1、{αj}j≥1、{aj}j≥1、{σj}j≥1和{rj}j≥1均為非負(fù)實(shí)序列，序列{Lj}j≥1定義為

顯然，對于j=1，式(35)蘊(yùn)含式(37)以及式(36)蘊(yùn)含式(38).設(shè)j≥1，式(37)和(38)均成立，以下證明式(37)和(38)對j+1也成立.

聯(lián)立式(18)和(38)，對于t≥Lj+1max{β1,β2}, 可得

(39)

結(jié)合式(19)和(37)，對于t≥Lj+1max{β1,β2}，類似可推得

(40)

取

(41)

(42)

由式(39)-(42)可知，式(37)和(38)對j+1成立.

以下將利用式(41)和(42)對αj,aj,σj,rj進(jìn)行估計(jì).

當(dāng)j為奇數(shù)時(shí)，由遞推關(guān)系，得到

(43)

aj=n(q-1)+γ2+qαj-1=n(q-1)+γ2+q(n(p-1)+γ1+qaj-2)=…=

(44)

(45)

(46)

j為偶數(shù)時(shí)，j-1為奇數(shù)，此時(shí)σj和rj化為

(47)

接下來對Dj和Qj進(jìn)行估計(jì).利用式(41)和(42)，有

(48)

(49)

由此，進(jìn)一步可推得

Dj≥K1K2pDj-2pq(pq)-2p(j-1)-2j=M1Dj-2pq(pq)-2p(j-1)-2j,

(50)

Qj≥K2K1qqj-2pq(pq)-2q(j-1)-2j=M2Qj-2pq(pq)-2q(j-1)-2j.

(51)

當(dāng)j為奇數(shù)時(shí)，對式(50)和(51)取對數(shù)，化簡可得

logDj≥logM1+pqlogDj-2-(2p(j-1)+2j)log(pq)≥…≥

(52)

logQj≥logM2+pqlogQj-2-(2q(j-1)+2j)log(pq)≥…≥

(53)

(54)

(55)

U(t)≥Dj(r+t)-αj(t-Lβ1)σj,

(56)

V(t)≥Qj(r+t)-aj(t-Lβ2)rj；

(57)

其中，j≥max{j1,j2},t≥max{Lβ1,Lβ2}.

令j為奇數(shù)，且j≥ max{j1,j2},t≥max{Lβ1,Lβ2}，聯(lián)立式(43)-(46)以及式(54)-(57)，得到

(58)

(59)

取t≥max{r,2Lβ1,2Lβ2}，由式(58)和(59)可推出

(60)

(61)

式(60)和(61)指數(shù)函數(shù)中t的指數(shù)分別為

(62)

(63)

當(dāng)式(6)中Θ1(n,p,q,γ1,γ2)>0,Θ2(n,p,q,γ1,γ2)>0時(shí)，t的指數(shù)為正.

當(dāng)Θ1(n,p,q,γ1,γ2)>0時(shí)，令ε0=ε0(u0,u1,u2,v0,v1,v2,n,p,q,r,β1,β2,γ1,γ2)>0，滿足

取j→∞，可得式(61)中U(t)的下界爆破.

同樣，當(dāng)Θ2(n,p,q,γ1,γ2)>0時(shí)，對以上ε0,有

根據(jù)上面的討論可知問題(1)的全局解不存在.另外，可求得(u,v)的生命跨度估計(jì)為