船舶橫搖系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)及其控制

趙文浩， 張 文， 李高磊， 樂 源

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,成都 610031)

在動(dòng)力系統(tǒng)中，不同的吸引子在給定參數(shù)的情況下出現(xiàn)共存現(xiàn)象，被稱為多穩(wěn)定性或者多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)。多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)存在于許多不同的科學(xué)領(lǐng)域中，如力學(xué)系統(tǒng)、化學(xué)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)以及自然系統(tǒng)等[1-5]。系統(tǒng)在不同的初始條件下，可能會(huì)出現(xiàn)不同的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，初始條件決定了多穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的最終狀態(tài)。從實(shí)際應(yīng)用的角度來說，一方面，多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象會(huì)產(chǎn)生不利的影響：為達(dá)到特定目的，動(dòng)力系統(tǒng)需要避免多穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，或者在噪聲環(huán)境中把期望的狀態(tài)穩(wěn)定化；另一方面，多穩(wěn)態(tài)存在有利的一面：可以采取一定的控制方法，實(shí)現(xiàn)在不改變系統(tǒng)的主要參數(shù)的條件下，使系統(tǒng)到達(dá)期望的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

近20年來，關(guān)于多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)及其控制的研究是非線性動(dòng)力學(xué)領(lǐng)域最重要的課題之一[6]，并取得顯著成果。Halse等[7]采用解析法證明了小阻尼齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)在不同初始條件下，存在多穩(wěn)定性共存現(xiàn)象。張惠等[8]利用改進(jìn)胞映射法研究了含間隙及預(yù)緊彈簧分段光滑碰撞振動(dòng)系統(tǒng)的共存吸引子的吸引域。Wiggers等[9]考慮了一類具有5個(gè)參數(shù)的Van der Pol-Duffing強(qiáng)迫振子的動(dòng)力學(xué)，在固定系統(tǒng)參數(shù)的條件下，通過吸引域研究周期吸引子與混沌吸引子的共存現(xiàn)象。顏科鵬等[10]采用試驗(yàn)方法研究了非線性柔性約束梁結(jié)構(gòu)的多穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，在不同的參數(shù)條件下，梁結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)表現(xiàn)出多個(gè)穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，且在外部擾動(dòng)作用下，各穩(wěn)態(tài)之間可以相互切換。Goswami等[11]利用小諧波參數(shù)調(diào)制法，破壞系統(tǒng)多個(gè)吸引子共存的現(xiàn)象，使其變?yōu)閱畏€(wěn)定。柴凱等[12]研究了一類兩自由度非線性隔振系統(tǒng)的吸引子共存現(xiàn)象，并利用不同控制方法實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)不同周期吸引子之間的遷移控制。Liu等[13]利用線性增大控制方法，研究了碰撞系統(tǒng)中共存吸引子的控制問題，并通過延續(xù)方法確定控制參數(shù)，從而在最優(yōu)的性能指標(biāo)下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制。Liu等[14]提出一種間歇控制方法，將該方法應(yīng)用到光滑和非光滑動(dòng)力系統(tǒng)，并以Duffing振子和碰撞系統(tǒng)為例，用數(shù)值和試驗(yàn)結(jié)果證明了該方法能使系統(tǒng)在兩個(gè)穩(wěn)定吸引子之間切換。

歐陽茹荃等[15]通過平均化方法分析了船舶橫搖的穩(wěn)定性，運(yùn)用數(shù)值積分與胞映射的方法觀察到吸引子共存現(xiàn)象。胡開業(yè)等[16]設(shè)計(jì)了一種可提高船舶橫搖穩(wěn)定性的分岔控制器，并制定相應(yīng)的控制策略，來延緩或抑制系統(tǒng)分岔的產(chǎn)生，最后通過算例分析該控制器和控制方法是正確和有效的。但是，上述的研究結(jié)果只是分析了船舶在正橫規(guī)則波中的穩(wěn)定性，以及抑制或延緩非線性橫搖運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)分岔的產(chǎn)生，并不能將船舶橫搖系統(tǒng)穩(wěn)定在期望的軌跡上。

本文考慮一類單自由度的船舶橫搖系統(tǒng)，由于存在恢復(fù)力矩和阻尼力矩等因素，系統(tǒng)呈現(xiàn)出強(qiáng)非線性特性。通過間歇控制方法，在不改變系統(tǒng)的主要參數(shù)的情況下，可使系統(tǒng)在不同的狀態(tài)之間切換，將系統(tǒng)的周期解控制到穩(wěn)定的區(qū)域上，從而提高船舶非線性橫搖運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。

1 船舶橫搖方程

在正橫規(guī)則波中，Nayfeh等[17]假定船舶的波浪擾動(dòng)力矩與船舶和波浪的相對(duì)運(yùn)動(dòng)有關(guān)，且正橫規(guī)則波的波長遠(yuǎn)大于船波。船舶的橫搖運(yùn)動(dòng)微分方程可寫為

(1)

(2)

2 多穩(wěn)態(tài)動(dòng)力學(xué)

選取Wright和Marshfield的低干舷船模為本文研究對(duì)象，其船型參數(shù)見表1[18]。

表1 Wright和Marshfield的低干舷船模參數(shù)表

本文取遭遇波浪頻率Ω=3.18，以最大波傾角F來表征波浪激勵(lì)，以F為分岔參數(shù)分析系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為變化。采用變步長Runge-Kutta法和延續(xù)算法對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解，通過選取不同的初值，得到隨參數(shù)F變化的分岔圖，如圖1所示。從分岔圖中可以觀測(cè)到，當(dāng)0.206 5

圖1 系統(tǒng)隨參數(shù)F變化的分岔圖Fig.1 Bifurcation diagram of the system with respect to F

圖2 當(dāng)參數(shù)F=0.21時(shí)系統(tǒng)的相軌跡圖Fig.2 Phase trajectory diagram of the system with the parameter F=0.21

圖3 當(dāng)參數(shù)F=0.211 3時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象Fig.3 The system produces a chaotic phenomenon with the parameter F=0.211 3

當(dāng)F=0.21時(shí)，系統(tǒng)的全局吸引域如圖4所示。圖中的離散點(diǎn)為吸引子，與分岔圖中吸引子的顏色一一對(duì)應(yīng)。從吸引域中可以觀察到，不同吸引子的吸引域邊界具有分形結(jié)構(gòu)，表現(xiàn)出非常復(fù)雜的全局特性。這些吸引子對(duì)初值非常敏感，微小的初值擾動(dòng)都可能使系統(tǒng)被吸引到其他吸引子的吸引域上。吸引域中間也存在一個(gè)集中的區(qū)域，此區(qū)域?yàn)樾≌穹芷?吸引子的吸引域，相對(duì)于其他類型的吸引子而言，系統(tǒng)在此吸引子下比較穩(wěn)定，是船舶橫搖運(yùn)動(dòng)中期望的運(yùn)動(dòng)軌跡。

圖4 當(dāng)參數(shù)F=0.21時(shí)系統(tǒng)的全局吸引域Fig.4 The global basins of attraction for the system with the parameter F=0.21

3 間歇控制方法

船舶橫搖運(yùn)動(dòng)過程中，具有非常復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象。若在某個(gè)初始條件下，其周期解落在這些分形交織的吸引域中，系統(tǒng)是局部不穩(wěn)定的，微小的初始擾動(dòng)會(huì)使系統(tǒng)的狀態(tài)發(fā)生改變，此時(shí)的船舶在運(yùn)動(dòng)過程中極易發(fā)生傾覆。在不改變系統(tǒng)主要參數(shù)的情況下，引入一個(gè)控制信號(hào)，將落在分形區(qū)域中的周期解控制到集中的區(qū)域上，即圖4中的紅色小振幅周期1吸引子的吸引域。

將船舶橫搖運(yùn)動(dòng)方程用一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二階常微分方程來表示為

(3)

(4)

定義e1和e2為當(dāng)前周期解與期望周期解之間的誤差變量

e1=x-xd

(5)

(6)

用式(4)減去式(3)得到誤差方程

(7)

定義控制信號(hào)為

(8)

式中：kp與kd為控制參數(shù)；δ為當(dāng)前周期解與期望周期解的位移最大允許誤差。定義的控制信號(hào)是根據(jù)線性反饋控制方法確定的，但不同于連續(xù)反饋控制，本文提出的控制信號(hào)屬于間歇反饋控制，其目的是不改變?cè)到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程以及其共存吸引子。連續(xù)反饋控制是使用的周期時(shí)間驅(qū)動(dòng)控制，而間歇反饋控制是使用的事件驅(qū)動(dòng)控制，即當(dāng)滿足領(lǐng)域邊界條件|e1|≤δ時(shí)，控制信號(hào)的沖力才會(huì)在短時(shí)間內(nèi)被激活直到誤差變量e1和e2收斂到0。δ定義的最大允許誤差可以區(qū)分連續(xù)反饋控制和間歇反饋控制：當(dāng)δ足夠小時(shí)，控制信號(hào)產(chǎn)生的沖力會(huì)在短時(shí)間間隔內(nèi)不斷施加，屬于間歇反饋控制；當(dāng)δ無窮大時(shí)，控制信號(hào)產(chǎn)生的沖力就會(huì)一直作用，屬于連續(xù)反饋控制?？刂菩盘?hào)的穩(wěn)定性可以通過構(gòu)造一個(gè)正定的Lyapunov函數(shù)的方法來確定。Lyapunov函數(shù)的收斂速度可以通過選取適當(dāng)?shù)膋p與kd參數(shù)來控制。

鄰域邊界條件如圖5所示，圖5中交點(diǎn)表示當(dāng)前周期解與期望周期解橫搖角相同的時(shí)刻，即當(dāng)e1=0時(shí)。也就是說當(dāng)誤差變量e1小于某個(gè)足夠小的值δ時(shí)，系統(tǒng)的外部控制信號(hào)的沖力才被激活。當(dāng)時(shí)間t不斷增大，系統(tǒng)從當(dāng)前周期的解軌跡被逐漸控制到期望周期解的軌跡上，控制信號(hào)u(t)逐漸衰減到0附近，因此受控系統(tǒng)式(3)就變?yōu)椴皇芸刂频南到y(tǒng)式(4)。這就指出這種控制方法是不改變?cè)到y(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程以及其共存吸引子的。

圖5 鄰域邊界條件Fig.5 Neighborhood boundary conditions

4 數(shù)值模擬

對(duì)于其他具有共存吸引子的非自治動(dòng)力系統(tǒng)，例如Duffing振子系統(tǒng)以及非光滑碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，數(shù)值結(jié)果均表明該控制方法均有良好的控制效果。

在船舶橫搖的運(yùn)動(dòng)過程中，為了不使船舶發(fā)生傾覆，需要將船舶的周期解控制到穩(wěn)定區(qū)域上。本文屬于船舶普遍意義上的動(dòng)力學(xué)行為的研究，所選參數(shù)均是參考橫搖模型試驗(yàn)結(jié)果并在可能出現(xiàn)的參數(shù)域中選取的，且具有實(shí)際意義。選取系統(tǒng)參數(shù)見表1，得系統(tǒng)方程為

(9)

并取控制參數(shù)kp=1，kd=200，δ=0.01，可得控制方程為

(10)

通過數(shù)值模擬，得到系統(tǒng)隨時(shí)間t變化的控制過程，如圖6所示。圖6(a)展示了系統(tǒng)的橫搖角x和控制信號(hào)u(t)的時(shí)間歷程圖；圖6(b)展示了系統(tǒng)軌跡的控制過程。研究結(jié)果表明，系統(tǒng)首先是穩(wěn)定在大振幅的周期1響應(yīng)上，在t=8時(shí)輸入控制信號(hào)，當(dāng)t=8.225時(shí)，當(dāng)前周期解與期望周期解的軌跡第一次滿足鄰域條件(即|e1|≤δ)。系統(tǒng)受到控制信號(hào)的作用，在t∈[8.225,8.265]時(shí)從大振幅的周期1響應(yīng)成功被控制到小振幅的周期1響應(yīng)上。同時(shí)也可以觀測(cè)到，一旦當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定在所期望的軌跡上，控制信號(hào)就會(huì)衰減到0附近。整個(gè)控制的暫態(tài)過程非常短暫，僅為0.04 s。這是由于在施加控制時(shí)，當(dāng)前周期解與期望周期解之間的誤差變量e1非常小，而且控制信號(hào)u(t)的幅值相當(dāng)大，能夠在極短的時(shí)間內(nèi)使得橫搖角角速度產(chǎn)生巨大的變化。而在實(shí)際系統(tǒng)中，還需考慮控制器的能量消耗，若直接施加如此大的一個(gè)控制沖力可能會(huì)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生一定的影響或者損壞控制器。

圖6 系統(tǒng)的控制過程Fig.6 The control process of the system

接下來，為了避免控制信號(hào)幅值過大的問題，對(duì)原來的控制方程加以改進(jìn)。重新定義控制信號(hào)為

(11)

式中：umax為輸入的最大控制信號(hào)；sign(·)為符號(hào)函數(shù)。

這種含約束的間歇控制方法和間歇控制方法類似，不同之處在于，在限制了最大控制信號(hào)的情況下，先將當(dāng)前系統(tǒng)的軌跡控制到一個(gè)暫態(tài)的軌跡上，再通過間歇控制不斷的調(diào)整，使其最終穩(wěn)定到期望周期解的軌跡上。取與間歇控制相同的系統(tǒng)參數(shù)以及控制參數(shù)，但將控制信號(hào)的最大值限制為umax=60。圖7為該參數(shù)條件下，系統(tǒng)隨時(shí)間t變化的控制過程。同樣在t=8時(shí)輸入控制信號(hào)，當(dāng)t∈[8.225,8.233]時(shí)，沖力第一次被激活，系統(tǒng)被控制到一個(gè)暫態(tài)的軌跡上。當(dāng)系統(tǒng)暫態(tài)的軌跡與期望周期解的軌跡不再滿足鄰域條件時(shí)，沖力受到抑制，控制信號(hào)跳躍到0，系統(tǒng)處于一個(gè)不受控的暫態(tài)軌跡上，直到與期望周期解的軌跡再次滿足鄰域邊界條件時(shí)，沖力才被再次激活。從圖7(b)可以看出，在整個(gè)控制過程中，系統(tǒng)一共受到了6次間歇脈沖力的作用，大振幅的周期1響應(yīng)被成功控制到小振幅的周期1響應(yīng)上。與間歇控制方法相比，含約束的間歇控制方法具有暫態(tài)動(dòng)力學(xué)的特性，相對(duì)來說，橫搖角角速度的變化沒有那么大，橫搖角在6個(gè)間歇的控制中逐漸被控制到期望值，且整個(gè)控制過程相對(duì)平緩，所經(jīng)歷的時(shí)間相對(duì)較長。因此，含約束的間歇控制方法可以減少控制器的能量消耗，避免對(duì)控制器造成損壞。

圖7 系統(tǒng)的控制過程Fig.7 The control process of the system

5 結(jié) 論

本文研究了一類船舶橫搖系統(tǒng)，發(fā)現(xiàn)多個(gè)吸引子共存的動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，觀察到系統(tǒng)的各個(gè)吸引子的吸引域邊界具有分形的幾何特性，落在在分形區(qū)域中的周期解非常不穩(wěn)定。通過引入一個(gè)控制信號(hào)，將周期解控制到穩(wěn)定的區(qū)域上，以提高船舶橫搖運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。采用間歇控制的方法，將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡控制到期望的周期軌跡上。通過數(shù)值模擬方法，繪制了控制過程的時(shí)間歷程圖以及相軌跡圖，驗(yàn)證了這種控制方法的有效性。系統(tǒng)的期望軌跡既可以通過一次性輸入較大的控制信號(hào)來實(shí)現(xiàn)，也可以通過分多次輸入較小的控制信號(hào)來實(shí)現(xiàn)。通過對(duì)比發(fā)現(xiàn)，含約束的間歇性控制方法的整個(gè)控制過程相對(duì)平緩，同時(shí)又可以控制單次輸入信號(hào)的強(qiáng)度大小，更適用于多穩(wěn)態(tài)的動(dòng)力系統(tǒng)。本文的研究結(jié)果對(duì)于提高船舶橫搖時(shí)的穩(wěn)定性有一定的理論參考意義，此控制方法同樣適用于其他存在吸引子共存的非自治動(dòng)力系統(tǒng)，具有一定的普適性。