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    一類數(shù)學(xué)物理方程整體解的存在性和爆破問題

    2022-09-30 05:35:22耿永才胡小林
    長春師范大學(xué)學(xué)報 2022年8期
    關(guān)鍵詞:雙曲柯西方程組

    耿永才,胡小林

    (上海應(yīng)用技術(shù)大學(xué)理學(xué)院,上海 201418)

    1 擬線性雙曲方程組柯西問題整體解以及爆破相關(guān)知識

    數(shù)學(xué)物理方程在很多種情況下都可以用偏微分方程來表示(包含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的等式).本文主要考慮一類一階擬線性雙曲方程組柯西問題(初值問題)解的整體存在性和爆破問題.擬線性方程組定義是方程組中最高階導(dǎo)數(shù)為線性,但是方程本身是非線性,也就是說,方程中最高階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)與它本身無關(guān),但整個方程是非線性的.例如,考慮方程組(一階擬線性方程組):

    (1.1)

    其中,u為向量(u1,u2,…,un)T,x為表示時間,t為空間變量.

    如果(1.1)中矩陣A(u)的特征值都是實數(shù),并且是可對角化的,則稱方程組(1.1)是雙曲型的.進一步地,如果這些特征值互不相同,則稱(1.1)為嚴(yán)格雙曲系統(tǒng).

    與拋物、橢圓系統(tǒng)相比,線性、非線性雙曲方程組解的性質(zhì)的差別非常大.這也是我們選擇雙曲方程組研究的主要原因.對于系統(tǒng)(1.1)的解的研究,最根本也最自然的問題就是解是否存在,是局部經(jīng)典解還是整體經(jīng)典解,如果整體經(jīng)典解不存在,在什么時候解會發(fā)生爆破.有關(guān)一階擬線性方程組柯西問題整體解是否存在的問題,LI[1]給出了一般的結(jié)論.但是如果想直接了解整體解以及解的爆破問題,文獻(xiàn)[2]中給定了系統(tǒng)(1.1)的初值滿足不同條件下解的整體存在性和爆破結(jié)果,但是有些過于抽象,證明過程十分嚴(yán)謹(jǐn)且復(fù)雜,不太直觀.所以我們想用一些簡單例子,給出直觀的證明,并在證明過程中指出定理條件的必要性.如果給定初值u(x,0)=φ(x)有緊支集,并且在u=0的鄰域內(nèi)A(u),φ(x)∈C2,系統(tǒng)(1.1)是完全非線性的,或者部分特征值是線性退化,F(xiàn)RITZ[3]和LIU[4]討論了當(dāng)初值比較小時C2解的爆破問題.

    在文獻(xiàn)[2]的結(jié)論中,系統(tǒng)(1.1)是否弱線性退化起著至關(guān)重要的作用.若方程組(1.1)第i個特征向量λi(u)是弱線性退化的,即如果沿著過原點的第i個特征軌跡ui(s),有

    對于適當(dāng)小的s成立.對于任意很小的│u│,s,有

    ?λi(u)ri(u)=0,λi(ui(s))=λi(0).

    (1.2)

    若對每個特征上述結(jié)論成立,則稱方程組為弱線性退化.當(dāng)系統(tǒng)不是弱線性退化時,則一定存在一個非空集合J?{1,2,…,n},對任意的i∈J,存在一個整數(shù)αi≥0,使得

    (1.3)

    2 研究綜述

    2.1 高維方程組柯西問題結(jié)果

    對于柯西問題[2]:

    (2.1)

    結(jié)論一 如果在u=0的鄰域內(nèi),A(u)∈C1,φ(x)∈C2,并且系統(tǒng)是嚴(yán)格雙曲且弱線性退化的.并且存在μ>0,使得下式成立:

    θ=sup{(1+x)μ(│φ(x)│+│φ′(x)│)}<∞.

    (2.2)

    則存在一個很小的θ0>0,對于任意給定的θ∈[0,θ0], 柯西問題(2.1)存在一個唯一整體光滑解.

    結(jié)論二 進一步地,假設(shè)φ(x)=εψ(x),且系統(tǒng)不是弱線性退化的,滿足:

    sup{(1+x)μ(│ψ(x)│+│ψ′(x)│)}<∞,

    (2.3)

    并且α=min{αi,i∈J}<∞. 如果i0∈J1={i│i∈J,αi=α},使得li0(0)ψ(x)≠0,(這里li0表示第i0族左特征向量),則問題(2.1)經(jīng)典解的一階導(dǎo)數(shù)在有限時間內(nèi)一定發(fā)生爆破,并且生命區(qū)間T(局部經(jīng)典解的存在區(qū)間)滿足:

    cε-(1+α)≤T≤Cε-(1+α)?T≈ε-(1+α).

    (2.4)

    這里,c,C為與ε無關(guān)的常數(shù).

    上述兩個結(jié)論的證明可以參見文獻(xiàn)[1].為了便于理解,給出以下兩方面的解釋.

    2.2 一維方程組結(jié)果

    以下述擬線性雙曲方程組的柯西問題為例,說明解的整體存在性和爆破問題,再用實際的數(shù)學(xué)物理方程來驗證上述兩個結(jié)論.

    對于整體解的存在性,考慮一階一維擬線性雙曲類方程組[1]:

    (2.5)

    證明 首先驗證該結(jié)論條件與整體解存在性條件一致.由于φ(u)∈C1(R),所以存在一個正常數(shù)C1,使得對任意的x∈R以及存在一個μ>0,有

    接下來證明整體解的存在性.令特征方程如下:

    (2.6)

    對于解的爆破和生命區(qū)間問題,考慮下列問題:

    (2.7)

    假設(shè)ψ(x)∈C1(R),假設(shè)存在整數(shù)α≥0,使得

    (2.8)

    則問題(2.7)的解會發(fā)生爆破,且生命存在區(qū)間T(ε)≈ε-(1+α).

    (2.9)

    假設(shè)根據(jù)隱函數(shù)存在定理,該問題不存在反函數(shù),即不存在整體解.

    進一步地,由(2.8)可解得

    (2.10)

    對λ(φ(α))在φ(α)=0處進行泰勒展開,利用(2.8)可得

    根據(jù)(2.8)以及初始條件φ(α)=εψ(α).所以上式等價于下式:

    (2.11)

    將(2.11)代入(2.10),可得

    (2.12)

    由于ψ∈C1,所以(2.12)意味著T(ε)≈ε-(1+α).

    3 實例

    物理模型1 非線性弦振動方程柯西問題:

    首先引入變量v=ux,w=ut,原系統(tǒng)變?yōu)橐浑A擬線性雙曲方程組:

    物理模型2 一維拉格朗日坐標(biāo)下等熵氣體動力學(xué)方程組:

    非等熵氣體動力學(xué)方程組:

    還有一些其他的數(shù)學(xué)物理模型,例如弦振動方程、彈性弦振動方程、氣體動力學(xué)拉格朗日坐標(biāo)形式等,均可以按照上述方法求出系數(shù)矩陣的特征值、特征向量,驗證系統(tǒng)是否弱線性退化條件(1.2),初始條件是否滿足(2.2)(2.3),來討論是否存在整體解和爆破問題.

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