臺風(fēng)強(qiáng)度變化最快時渦度的解析解

范景威 周偉燦 馮也騁 官元紅

0 引言

臺風(fēng)強(qiáng)度變化是臺風(fēng)研究的一個重要課題,是當(dāng)前臺風(fēng)觀測和預(yù)報中的重難點(diǎn)與前沿問題．影響臺風(fēng)強(qiáng)度變化的因子可以歸結(jié)為以下三類:環(huán)境氣流、下墊面和臺風(fēng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)[1-2]．隨著監(jiān)測手段的發(fā)展以及數(shù)值模式理論和技術(shù)的不斷成熟,國內(nèi)外學(xué)者針對臺風(fēng)強(qiáng)度變化的研究取得了一定成果,已有研究內(nèi)容涉及諸多方面,包括環(huán)境風(fēng)垂直切變、冷空氣、高低空急流、西風(fēng)槽、地形以及海面溫度和噴沫等[3-9]．

變分法是研究泛函極值的數(shù)學(xué)方法,其主要思想是構(gòu)造適當(dāng)?shù)姆汉?對泛函作變分并取變分為零,研究此時滿足的函數(shù)性態(tài)．變分法廣泛地應(yīng)用于力學(xué)、數(shù)學(xué)物理反問題、氣象資料同化和大氣運(yùn)動的穩(wěn)定性問題中．Arnold[10]和Vallis[11]運(yùn)用變分原理,指出流體運(yùn)動和地轉(zhuǎn)平衡分別是在位渦守恒及勢能守恒的約束下,使總能量達(dá)到極小．伍榮生[12]利用Finlayson[13]提出的限制性變分原理,求得了與非線性渦度方程對應(yīng)的Lagrange函數(shù)的近似表達(dá)式．Barth等[14]從線性淺水方程和系統(tǒng)能量變分出發(fā),推導(dǎo)了從高程和深度平均速度中去除慣性重力波的方法,指出變分濾波器在提前降低重力波方面的優(yōu)勢．黃思訓(xùn)等[15]通過二次變分方法研究臺風(fēng)流場結(jié)構(gòu),將實(shí)測風(fēng)場分解成無旋場和有旋場,再將有旋流場分解成對稱渦旋和非對稱渦旋對,兩次提取到的都是最大渦旋．Wang等[16]用變分法推導(dǎo)了赤道電離層Rayleigh-Taylor(RT)穩(wěn)定和不穩(wěn)定的充分條件,并通過系統(tǒng)特征值計算了RT穩(wěn)定和不穩(wěn)定區(qū)域．Badin等[17]將變分原理應(yīng)用于波動動力學(xué)中,得到地表水波方程以及非線性問題的波頻散關(guān)系．近年來,隨著變分同化技術(shù)的發(fā)展與成熟,它被廣泛地應(yīng)用于大氣和海洋等不同領(lǐng)域[18-21],其目的是充分利用氣象四維觀測資料,在動力預(yù)報模式中通過變分得到大氣海洋最優(yōu)狀態(tài)估計,以獲得更好的模式初始場及預(yù)報效果．

目前對臺風(fēng)強(qiáng)度的研究多采用統(tǒng)計、診斷分析、數(shù)值模擬和敏感性試驗(yàn)等方法,缺少理論層面的研究．此外,前人的研究多采用直接分解的方法將臺風(fēng)流場分解成渦旋流場和無旋流場[15],這種分解無法得到有旋場中的最大渦旋．本文通過能量泛函變分,研究臺風(fēng)強(qiáng)度變化率最大時臺風(fēng)能量滿足的關(guān)系,在四力平衡關(guān)系的基礎(chǔ)上提取到有旋流場中的最大渦旋,給出臺風(fēng)強(qiáng)度變化最快時渦度的解析解．該結(jié)果為預(yù)報方程提供了一定的理論指引,對研究臺風(fēng)發(fā)展過程中速度的變化趨勢和臺風(fēng)的層次結(jié)構(gòu)具有實(shí)用價值．

1 能量泛函變分

假設(shè)大氣是均勻不可壓縮的流體,由連續(xù)方程有

(1)

其中,u=u(x,y,z,t)為緯向風(fēng)速,v=v(x,y,z,t)為經(jīng)向風(fēng)速,w=w(x,y,z,t)為垂直風(fēng)速．

大氣運(yùn)動遵循牛頓第二運(yùn)動定律．對于慣性坐標(biāo)系,牛頓第二運(yùn)動定律可表示為

(2)

(3)

其中,V3=(u,v,w)為三維速度矢量,Ω為地球自轉(zhuǎn)角速度矢量,R為氣塊所在的緯圈平面內(nèi)從地軸到該氣塊的距離矢量,其大小為R=rcosφ．作用于空氣微團(tuán)的氣壓梯度力、分子黏性力、湍流黏性力和重力的表達(dá)式分別為

(4)

(5)

(6)

(7)

其中,ρ為密度,p=p(x,y,z,t)為氣壓,3為三維微分算子,μ為分子黏性系數(shù),為三維拉普拉斯算子,Az為湍流交換系數(shù),G為引力常數(shù),M為地球的質(zhì)量,r為空氣微團(tuán)的位置矢量．

將式(3)—(7)代入式(2),經(jīng)整理得到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中矢量形式的動量方程:

(8)

其中,F=F2+F3為分子黏性力與湍流黏性力之和,即摩擦力．用V3點(diǎn)乘式(8)兩端得到旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系中的動能方程：

(9)

定義能量泛函I(u,v,w,p)∈C2(Ω),

(10)

其中,Ω是任意臺風(fēng)區(qū)域,用該泛函表示臺風(fēng)強(qiáng)度變化率．假設(shè)在?Ω上u,v,w,p以及u,v,w關(guān)于x,y,z的所有一階偏導(dǎo)數(shù)均為常數(shù),此時臺風(fēng)在區(qū)域邊界上可視為基本氣流[22]．對I作變分,有

(11)

令δI=0,利用δu,δv,δw的任意性得到Euler-Lagrange方程為

(12)

(13)

(14)

矢量形式為

2F+fp-g-3K=0,

(15)

其中,fp為氣壓梯度力,g=(0,0,g)．式(15)表明,當(dāng)臺風(fēng)強(qiáng)度變化率達(dá)到最大時,摩擦力、氣壓梯度力、重力和動能梯度滿足四力平衡．因此,通過這四個力確定的向量可以作為臺風(fēng)強(qiáng)度的預(yù)報因子,更準(zhǔn)確地確定臺風(fēng)系統(tǒng)強(qiáng)度變化率達(dá)到最大的時間點(diǎn),研究臺風(fēng)強(qiáng)度的變化規(guī)律．此外,將式(15)變形成

(16)

則臺風(fēng)強(qiáng)度變化最快時的摩擦力表達(dá)式由式(16)給出,它為計算較困難且常常被忽略的摩擦力提供了一種新的計算方法．

2 臺風(fēng)風(fēng)場分解

2.1 變分提取有旋氣流

為了進(jìn)一步研究臺風(fēng)強(qiáng)度變化最快時渦度的形式和流場的變化,采用黃思訓(xùn)等[15]的方法對臺風(fēng)風(fēng)場進(jìn)行分解．首先將風(fēng)場u(x,y,z),v(x,y,z)分解成平面場u′(x,y),v′(x,y)和垂直場H(z),即

u(x,y,z)=u′(x,y)H(z),

(17)

v(x,y,z)=v′(x,y)H(z),

(18)

其中,風(fēng)場u,v對應(yīng)臺風(fēng)強(qiáng)度變化率最大的時刻,分別滿足方程(12)和(13)．由于臺風(fēng)的渦旋運(yùn)動受環(huán)境氣流引導(dǎo),因此臺風(fēng)流場可以分解成有旋流場和無旋流場．利用變分方法從風(fēng)場u′,v′中提取無旋氣流u1(x,y),v1(x,y)[15],使得泛函

(v′-v1)2]dΩ=min!

(19)

且u′,v′,u1,v1滿足

(20)

(21)

(22)

這是一個條件變分問題,引入Lagrange乘子λ1(x,y,z),λ2(x,y,z),λ3(x,y,z),有

(23)

于是

(24)

假設(shè)在?Ω上λ1,λ2,λ3以及λ2,λ3關(guān)于x,y,z的所有一階偏導(dǎo)數(shù)均為0,則有

(25)

利用δu,δv,δw,δu1,δv的任意性,可得它們對應(yīng)的Euler-Lagrange方程分別為

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

根據(jù)式(29)和(30),有旋流場(u2,v2)和無旋流場(u1,v1)的表達(dá)形式分別為

(36)

(37)

(38)

(39)

在有旋場中引入流函數(shù)ψ(x,y),滿足

(40)

渦度為

(41)

將式(30)對x作微商,式(29)對y作微商,相減并結(jié)合式(33)得

(42)

將式(35)對x作微商,式(34)對y作微商,相減并結(jié)合式(42)得

(43)

將式(33)、(41)和(42)聯(lián)立得

ψ=λ1.

(44)

因此,在平面風(fēng)場中,二維Lagrange乘子λ1(x,y)即為有旋流場的流函數(shù)ψ(x,y)．故方程(43)可改寫為

(45)

由于ζ=ζ(x,y),H=H(z),對方程(45)采用分離變量法,并設(shè):

(46)

則:

(47)

其中,λ為常數(shù)．

由式(31)得

(48)

將式(46)、(48)代入式(26)、(27)得

(49)

(50)

給定方程(46)的邊界條件為H(0)=H,H(z1)=H1,方程(46)的解為

(51)

(52)

2.2 渦度的解析解

根據(jù)黃思訓(xùn)等[15],臺風(fēng)流場一般在圓域中經(jīng)變分分解能提取到最大渦旋,故將方程(47)轉(zhuǎn)化成極坐標(biāo)(r,θ)下的方程

0

(53)

為滿足齊次邊界條件,作變換

(54)

則η(0,θ)=η(r0,θ)=0．記ζ(r0,θ)=ζ0,方程(53)轉(zhuǎn)化成如下形式:

(55)

令η(r,θ)=R(r)Φ(θ),ζ(r,θ)=ρ(r)Φ(θ),則有

(56)

(57)

對方程(57)作變量分離得

(58)

其中,μ為常數(shù)．結(jié)合η(r,θ)關(guān)于θ的周期性,可得

(59)

(60)

式(59)是帶有周期性條件的特征值問題,其特征值和特征函數(shù)分別為

μn=n2,Φn(θ)={cosnθ,sinnθ}.

(61)

其中,n≥0．它的解為

(62)

其中,an,bn為常數(shù)．

(63)

當(dāng)λ=0時,方程(63)為非齊次歐拉方程,它在邊界條件下的解為

(64)

此時,結(jié)合式(56)得渦度ζ的表達(dá)式為

(65)

其中,A′n,B′n,c0為常數(shù)．

當(dāng)λ>0時,采用常數(shù)變易法[24]得方程(63)的通解為

(66)

(67)

由邊界條件得

(68)

(69)

因此,臺風(fēng)強(qiáng)度變化率最大時有旋流場渦度的解析解為

(70)

渦度擬能的表達(dá)式為

(71)

2.3 有旋流場的解析解

當(dāng)λ=0時,流函數(shù)ψ(r,θ)滿足:

(72)

根據(jù)ζ(r,θ)的表達(dá)式,ψ(r,θ)具有如下形式:

E(r)sin2nθ+F(r)cos2nθ+G(r)sinnθcosnθ.

(73)

由λ1|?Ω=0可知ψ|?Ω=0,故方程(72)的邊界條件為

C(r0)=D(r0)=E(r0)=F(r0)=G(r0)=0.

(74)

將式(73)代入方程(72),整理得

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

方程(75)、(76)和(79)滿足邊界條件的解分別為

(80)

(81)

G(r)=0,

(82)

(83)

(84)

且根據(jù)式(74),邊界條件為H(r0)=J(r0)=0．解得

(85)

J(r)=0.

(86)

由式(85)和(86)得

(87)

因此,流函數(shù)ψ(r,θ)的表達(dá)式為

(88)

根據(jù)式(40),有旋場u2(r,θ),v2(r,θ)滿足:

(89)

(90)

因此,有旋流場(u2,v2)的表達(dá)式為

(91)

(92)

由變分的性質(zhì)可知,分解得到的有旋氣流(u2,v2)是最大的渦旋．

當(dāng)λ>0時,為方便求解流函數(shù),對渦度ζ作如下簡化:

(93)

(94)

同理,ψ(r,θ)具有如下形式:

(95)

邊界條件為

H(r0)=M(r0)=0.

(96)

將式(95)代入方程(94),整理得

(97)

(98)

H(r)=anGnr3-an(Gnr03-n+Fnr02n+2)rn+anFnr3n+2,

(99)

M(r)=bnGnr3-bn(Gnr03-n+Fnr02n+2)rn+bnFnr3n+2.

(100)

因此,流函數(shù)ψ(r,θ)的表達(dá)式為

(101)

根據(jù)式(89)、(90),有旋流場(u2,v2)的表達(dá)式為

(3n+2)Fnr3n+1]sinθsinnθ+

an[-3Gnr2+n(Gnr03-n+Fnr02n+2)rn-1-

(3n+2)Fnr3n+1]sinθcosnθ+

an[nGnr2-n(Gnr03-n+Fnr02n+2)rn-1+

nFnr3n+1]cosθsinnθ+

bn[-nGnr2+n(Gnr03-n+Fnr02n+2)rn-1-

nFnr3n+1]cosθcosnθ,

(102)

nFnr3n+1]sinθsinnθ+bn[-nGnr2+n(Gnr03-n+

Fnr02n+2)rn-1-nFnr3n+1]sinθcosnθ+

bn[3Gnr2-n(Gnr03-n+Fnr02n+2)rn-1+

(3n+2)Fnr3n+1]cosθsinnθ+an[3Gnr2-

n(Gnr03-n+Fnr02n+2)rn-1+

(3n+2)Fnr3n+1]cosθcosnθ.

(103)

2.4 數(shù)值試驗(yàn)

當(dāng)λ=0時,根據(jù)有旋流場的表達(dá)式(91)、(92),取n=1,r0=1,A1=1,B1=1,c0=16,ρ(1)=2,臺風(fēng)強(qiáng)度變化最快時的流線圖如圖1所示．可以看出,流線圖在經(jīng)向和緯向上呈均勻梯度分布,符合實(shí)際流場分布[15]．因此,在有旋流場的表達(dá)式(91)、(92)中,取n=1可得有旋流場及其渦度的解析解．

圖1 λ=0,n=1時臺風(fēng)強(qiáng)度變化率最大時刻的流線圖Fig.1 Plot of streamline at the maximum change rate of TC intensity when λ=0,n=1

圖2 λ>0,n=0時臺風(fēng)強(qiáng)度變化率最大時刻的流線圖Fig.2 Plot of streamline at the maximum change rate of TC intensity when λ>0,n=0

因此,臺風(fēng)強(qiáng)度變化最快時渦度、渦度擬能和流場的一個解析解分別為

(104)

(105)

(106)

(107)

有旋流場(u2,v2)更直觀清晰地反映臺風(fēng)每一層的流場結(jié)構(gòu),渦度和渦度擬能的變化有助于研究臺風(fēng)的運(yùn)動機(jī)理和風(fēng)場中能量的變化．臺風(fēng)的整體結(jié)構(gòu)取決于垂直廓線H(z),而λ是決定H(z)的主要參數(shù),因此λ決定整個臺風(fēng)的層次結(jié)構(gòu)．

3 結(jié)論

本文從理論層面研究臺風(fēng)強(qiáng)度變化率最大時臺風(fēng)能量滿足的關(guān)系,給出臺風(fēng)強(qiáng)度變化最快時渦度的解析解．結(jié)果表明,當(dāng)臺風(fēng)強(qiáng)度變化率達(dá)到最大時,摩擦力、氣壓梯度力、重力和動能梯度滿足四力平衡．通過這四個力確定的向量可以作為臺風(fēng)強(qiáng)度的預(yù)報因子,更準(zhǔn)確地確定臺風(fēng)系統(tǒng)強(qiáng)度變化率達(dá)到最大的時間點(diǎn),研究臺風(fēng)強(qiáng)度的變化規(guī)律．在四力平衡關(guān)系的基礎(chǔ)上,進(jìn)一步通過風(fēng)場變分分解提取到有旋場中的最大渦旋,得到臺風(fēng)強(qiáng)度變化最快時渦度和流場的一個解析解,從理論上證明了臺風(fēng)發(fā)展最快時前人的研究[15]結(jié)果,對研究臺風(fēng)發(fā)展過程尤其是平衡過程中的運(yùn)動機(jī)理和臺風(fēng)的空間結(jié)構(gòu)具有一定的指導(dǎo)意義,為臺風(fēng)路徑和強(qiáng)度預(yù)報提供了一定的理論指引．此外,本文的結(jié)論為計算較困難且常常被忽略的摩擦力提供了一種新的計算方法．