“雙減”背景下《線段中點(diǎn)》的教學(xué)實(shí)踐與思考

龍艷君

（北京市通州區(qū)運(yùn)河中學(xué)東校區(qū) 北京 101100）

一、文獻(xiàn)綜述

“幾何學(xué)的本質(zhì)是研究空間的圖形，研究圖形的性質(zhì)以及圖形之間的關(guān)系?！痹谶@樣一個(gè)大觀念的引領(lǐng)下，對(duì)于線段的研究有兩個(gè)內(nèi)容：一是對(duì)線段自身進(jìn)行研究；二是對(duì)圖形之間的關(guān)系進(jìn)行研究。而對(duì)線段中點(diǎn)的研究是對(duì)線段自身的進(jìn)一步研究。因此，線段的研究路徑為：從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出線段→給線段描述性定義→用符號(hào)語(yǔ)言表示線段→研究線段的性質(zhì)→研究線段的組成元素：點(diǎn)，其特例為線段中點(diǎn)→研究線段與線段之間的關(guān)系[1]。

有研究表明：7年級(jí)有25%的學(xué)生幾何思維達(dá)到了水平3，也就是說(shuō)有能力進(jìn)行非形式化的證明；僅有1%的學(xué)生幾何思維水平達(dá)到了水平4，即可以從已知條件出發(fā)，采用邏輯推理的方式證明命題。因此，作為初中幾何推理的起始課，需注意對(duì)概念的應(yīng)用要循序漸進(jìn)、對(duì)推理的要求由易到難。

二、教學(xué)背景分析

1.數(shù)學(xué)教學(xué)價(jià)值的要求

對(duì)于線段中點(diǎn)的研究，實(shí)際是平面幾何中對(duì)圖形研究的第一步，本節(jié)課開(kāi)始將比較系統(tǒng)地研究幾何圖形，培養(yǎng)邏輯推理能力。線段中點(diǎn)是幾何中一個(gè)比較重要的概念，它是學(xué)生類比學(xué)習(xí)角平分線定義的一個(gè)基礎(chǔ)，它將與線段的垂直平分線、三角形的中線等重要概念相聯(lián)系，還與應(yīng)用廣泛的三角形中位線定理相聯(lián)系，它是學(xué)生認(rèn)識(shí)線段定比分點(diǎn)中的第一個(gè)特殊分點(diǎn)。因此，線段中點(diǎn)是一個(gè)具有發(fā)展性的概念，它對(duì)學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)有重要的奠基作用。

2.課程標(biāo)準(zhǔn)的要求

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿在整個(gè)教學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中。推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式?！睌?shù)學(xué)具有嚴(yán)謹(jǐn)邏輯性的特點(diǎn)，在初中階段，邏輯推理能力是一種十分重要且特殊的能力，與學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)存在著十分密切的關(guān)聯(lián)。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的形成也有著十分積極的影響[2]。本節(jié)課是學(xué)生進(jìn)行推理計(jì)算的第一課時(shí)，通過(guò)線段中點(diǎn)定義的規(guī)范化書(shū)寫(xiě)，并在例題中注重分析思路，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)清楚地表達(dá)思考的過(guò)程，可以進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，這樣的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的方法，對(duì)以后的學(xué)習(xí)是至關(guān)重要的。

3.本學(xué)段教學(xué)內(nèi)容的要求

學(xué)生在小學(xué)時(shí)期就已經(jīng)知道線段是軸對(duì)稱圖形，而且六年級(jí)剛學(xué)習(xí)了線段的和差、線段的中點(diǎn)等知識(shí)。同時(shí)學(xué)生在操作體驗(yàn)上也學(xué)會(huì)了用對(duì)折線段的方法找到線段的中點(diǎn)，會(huì)用度量的方法利用刻度尺畫(huà)線段的中點(diǎn)。在學(xué)本節(jié)課之前，學(xué)生剛學(xué)過(guò)直線、射線、線段的概念。本節(jié)課首先通過(guò)小學(xué)的方法探究得出中點(diǎn)的定義，然后用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)線段中點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的準(zhǔn)確表達(dá)。并在推理得到線段中點(diǎn)的不同表示方法和例題計(jì)算過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過(guò)程，滲透了幾何的推理過(guò)程，為以后學(xué)習(xí)幾何的證明奠定了必要的基礎(chǔ)。

三、學(xué)習(xí)者分析

雖然初一的學(xué)生已經(jīng)有一定的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和生活經(jīng)驗(yàn)，能夠根據(jù)具體的情境體會(huì)線段中點(diǎn)的定義，但是在本節(jié)課上，中點(diǎn)的定義會(huì)通過(guò)文字、圖形和符號(hào)三種語(yǔ)言來(lái)表示，因此很多內(nèi)容對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)是生澀的。本節(jié)課首先通過(guò)小學(xué)的方法探究得出中點(diǎn)的定義，然后用文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言三種語(yǔ)言來(lái)刻畫(huà)線段中點(diǎn)。從舊知過(guò)渡到新知，讓學(xué)生更容易接受和理解，達(dá)到減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)提高學(xué)習(xí)效率的作用。后續(xù)在推理得到線段中點(diǎn)的不同表示方法和例題計(jì)算的過(guò)程中，再培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過(guò)程和推理過(guò)程，為以后學(xué)習(xí)幾何的證明奠定了必要的基礎(chǔ)。

四、教學(xué)目標(biāo)確定

1.掌握線段中點(diǎn)的定義及符號(hào)表示方法，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算。

2.在探究、思考和分析的過(guò)程中，逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行表述，逐步培養(yǎng)解幾何問(wèn)題的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性。

3.培養(yǎng)自主探究，積極思考的學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想和邏輯推理能力。

教學(xué)重點(diǎn)：線段中點(diǎn)的定義是本節(jié)課的重要內(nèi)容，本節(jié)課將利用中點(diǎn)的定義進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，所以本節(jié)課的重點(diǎn)是中點(diǎn)的定義及符號(hào)表示方法。

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)于七年級(jí)的學(xué)生，本節(jié)課邏輯推理的要求有一定的難度，所以本節(jié)課的難點(diǎn)是運(yùn)用線段中點(diǎn)的知識(shí)解決線段計(jì)算的有關(guān)問(wèn)題。

五、教學(xué)過(guò)程

活動(dòng)一：思考

問(wèn)題1：有一根長(zhǎng)10cm的繩子，你能把它平均分成相等的兩段嗎？如何操作？

問(wèn)題2：如圖，在線段AB上畫(huà)一點(diǎn)C，使線段AC=BC。怎樣確定點(diǎn)C的位置呢？

活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖：?jiǎn)栴}1以生活事例為原型來(lái)啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)，喚醒學(xué)生已有的經(jīng)驗(yàn)，引發(fā)他們進(jìn)一步思考。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生可以用小學(xué)對(duì)折或度量的方法去找到繩子的中點(diǎn)。問(wèn)題2從具體到抽象，類比于問(wèn)題1，多數(shù)學(xué)生能想到用尺子量出AB的長(zhǎng)，再除以2，找到中點(diǎn)；或通過(guò)折疊，把點(diǎn)A和點(diǎn)B折到一起，折出中點(diǎn)?；顒?dòng)一的目的主要是創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，讓學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)的遷移，引出中點(diǎn)定義。

活動(dòng)二：定義

如果點(diǎn)C是線段AB上的一點(diǎn)，并且滿足AC=BC，那么點(diǎn)C叫做線段AB的中點(diǎn)。

幾何語(yǔ)言：

∵點(diǎn)C是線段AB中點(diǎn)，

∴AC=BC。

通過(guò)推理證明，得到中點(diǎn)定義的其他表示方法。

根據(jù)中點(diǎn)定義，

∵點(diǎn)C是線段AB中點(diǎn)，

∴BC=AC

在深圳特區(qū)創(chuàng)建30周年之際，溫家寶視察深圳建設(shè)時(shí)又重申了政改的重要性，引發(fā)了海內(nèi)外媒體的高度關(guān)注。法國(guó)的《歐洲時(shí)報(bào)》就曾刊發(fā)題為《中國(guó)政改在路上》的文章，美國(guó)《僑報(bào)》也刊登了《保障經(jīng)改成果中國(guó)政改箭在弦上》的文章。溫家寶在深圳講話中指出，經(jīng)濟(jì)體制改革與政治體制改革存在著不可分割的內(nèi)在關(guān)系。不僅要推進(jìn)經(jīng)濟(jì)體制改革，還要推進(jìn)政治體制改革。沒(méi)有政治體制改革的保障，經(jīng)濟(jì)體制改革的成果就會(huì)得而復(fù)失，現(xiàn)代化建設(shè)的目標(biāo)就不可能實(shí)現(xiàn)。

∴AB=AC+BC=2AC（或2BC）

推導(dǎo)得出中點(diǎn)定義的第二種表示方法：

∵點(diǎn)C是線段AB中點(diǎn)，

∴AB=2AC（或AB=2BC）

類似地，

∵點(diǎn)C是線段AB中點(diǎn)，

∴AB=2AC（或AB=2BC）

∴A C=A B(或B C=A B)

推導(dǎo)得出中點(diǎn)定義的第三種表示方法：

∵點(diǎn)C是線段AB中點(diǎn)，

∴A C=A B(或B C=A B)

活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生理解線段中點(diǎn)文字、圖形和符號(hào)三種語(yǔ)言的表達(dá)方式，并在此過(guò)程中體驗(yàn)三種表示方法的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S過(guò)程和數(shù)形結(jié)合思想，滲透幾何的推理過(guò)程。

活動(dòng)三：練習(xí)

例1 已知：如圖，點(diǎn)C為線段AB中點(diǎn)，線段AC=5，求線段AB的長(zhǎng)。

例2 已知：如圖，點(diǎn)C是線段AB上的點(diǎn)，AC=6，BC=4。

（1）點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，求線段DB的長(zhǎng)。

（2）點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，求線段EC的長(zhǎng)。

（3）點(diǎn)D為AC中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，求線段DF的長(zhǎng)。

（4）點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，求線段EF的長(zhǎng)。

活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖：例題設(shè)計(jì)從簡(jiǎn)到難循序漸進(jìn)，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，讓不同層次的學(xué)生都有所收獲，學(xué)生在此過(guò)程中逐漸理解線段中點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算。在計(jì)算過(guò)程中規(guī)范學(xué)生格式，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想。

活動(dòng)四：小結(jié)

掌握線段中點(diǎn)的概念及其不同的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)方式；會(huì)運(yùn)用線段中點(diǎn)知識(shí)解決相關(guān)計(jì)算問(wèn)題。

活動(dòng)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從知識(shí)、能力等方面做總結(jié)，完善知識(shí)體系，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。

六、教學(xué)反思

學(xué)生通過(guò)小學(xué)的學(xué)習(xí)已經(jīng)了解了線段中點(diǎn)的簡(jiǎn)單定義，也學(xué)習(xí)了用度量的方法利用刻度尺畫(huà)線段的中點(diǎn)，這為本節(jié)課做好了知識(shí)上的準(zhǔn)備。本節(jié)課借助已有的知識(shí)和方法主動(dòng)探索新知識(shí)，擴(kuò)大認(rèn)知結(jié)構(gòu)，發(fā)展能力，從而使課堂教學(xué)真正落實(shí)到學(xué)生的發(fā)展上。

本節(jié)課教學(xué)設(shè)計(jì)整體化，循序漸進(jìn)。首先，通過(guò)生活情景，即如何把繩子平均分成相等的兩段引入，而后從具體到抽象，過(guò)渡到如何在線段AB上畫(huà)一點(diǎn)C，使線段AC=BC。這個(gè)過(guò)程不僅讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活而服務(wù)于生活，也是對(duì)學(xué)生小學(xué)學(xué)過(guò)的線段中點(diǎn)定義的回顧。學(xué)生在此思考、探究的過(guò)程中歸納得出初中關(guān)于線段中點(diǎn)的定義，讓知識(shí)的形成過(guò)程流暢而不生澀，培養(yǎng)了學(xué)生的語(yǔ)言表達(dá)能力和歸納概括能力[3]。京教版課本上在給出線段中點(diǎn)定義的圖形語(yǔ)言和文字語(yǔ)言之后，又給出了三種符號(hào)語(yǔ)言，但這三種符號(hào)語(yǔ)言是平行給出的，省略了一些推理過(guò)程。本節(jié)課把這三種符號(hào)語(yǔ)言的邏輯推理過(guò)程加上了，即首先根據(jù)線段中點(diǎn)的文字語(yǔ)言直接得出一種符號(hào)語(yǔ)言，然后推理得出另外兩種符號(hào)語(yǔ)言，讓學(xué)生更能知其然知其所以然，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。因?yàn)楸竟?jié)課的重難點(diǎn)是理解線段中點(diǎn)的定義并利用其進(jìn)行推理計(jì)算，所以設(shè)計(jì)的例題由簡(jiǎn)到難，都是有關(guān)線段中點(diǎn)的定義和線段的和差展開(kāi)推理計(jì)算，讓學(xué)生逐步熟悉幾何推理過(guò)程的書(shū)寫(xiě)過(guò)程，規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式，培養(yǎng)邏輯推理能力。在教學(xué)過(guò)程中，主要體現(xiàn)了以教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體，以知識(shí)為載體、培養(yǎng)學(xué)生思維能力為重點(diǎn)的教學(xué)思想。

七、在教學(xué)實(shí)踐中培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力

1.培養(yǎng)學(xué)生有效讀題、識(shí)圖的能力

本節(jié)課要求學(xué)生做到有效讀題，即把已知條件與圖形緊密聯(lián)系，養(yǎng)成一邊讀題一邊在圖上標(biāo)已知量或者由已知推出的間接已知量的良好讀題習(xí)慣，要讓學(xué)生能把圖形與文字相結(jié)合，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合思想。還要讓學(xué)生學(xué)會(huì)識(shí)圖，即不僅能記住概念的簡(jiǎn)單圖形，也能在復(fù)雜的圖形中識(shí)別出表示概念的各種圖形。如本節(jié)課的例題2中，不僅有線段的中點(diǎn)，也有線段的和差，學(xué)生如果能辨別出線段的和差關(guān)系，找準(zhǔn)線段的中點(diǎn)再進(jìn)行有關(guān)計(jì)算，題目往往就迎刃而解了。

2.加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)語(yǔ)言的訓(xùn)練

數(shù)學(xué)語(yǔ)言分為文字語(yǔ)言、符合語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言三種。但學(xué)生在進(jìn)行幾何學(xué)習(xí)時(shí)，遇到的很多困難都是由于不能理解數(shù)學(xué)語(yǔ)言或者是不能正確使用數(shù)學(xué)語(yǔ)言而引起的。因此，在幾何概念或者定理的教學(xué)過(guò)程中，教師要加強(qiáng)三種語(yǔ)言形式的互換。比如，剛學(xué)一個(gè)幾何新定義，教師在給出示范之后，可以讓學(xué)生模仿一道類似的題，鞏固文字語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言的相互轉(zhuǎn)化訓(xùn)練。

3.注重例題、習(xí)題的講解教學(xué)

在講解例題時(shí)，可以留給學(xué)生充足的思考時(shí)間，不著急幫學(xué)生分析。當(dāng)學(xué)生遇到困難時(shí)，再提醒學(xué)生從已知條件中尋找信息，即由已知條件可以推出哪些間接已知條件，體現(xiàn)以教師為主導(dǎo)學(xué)生為主體的作用。很多幾何題的做法并不唯一，在教學(xué)過(guò)程中可以鼓勵(lì)學(xué)生講述自己的思路，盡量多給學(xué)生展示的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生積極分享、展示自己的想法，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力，提升幾何邏輯推理能力。

4.明確邏輯推理的書(shū)寫(xiě)格式

在幾何的邏輯推理過(guò)程中，要求學(xué)生要做到推理步步有依據(jù)，知道上步的條件下應(yīng)得的結(jié)論，條件和結(jié)論之間的推理過(guò)程應(yīng)該連貫。剛學(xué)習(xí)幾何推理時(shí)，要讓學(xué)生盡量不要把好幾個(gè)條件寫(xiě)到同一個(gè)“因?yàn)椤鄙希苊獬霈F(xiàn)邏輯混亂的現(xiàn)象。在教學(xué)過(guò)程中，教師也可以多讓學(xué)生上黑板板書(shū)或者投影儀展示其書(shū)寫(xiě)過(guò)程，然后教師和同學(xué)們一起訂正，規(guī)范學(xué)生的書(shū)寫(xiě)格式，養(yǎng)成良好的幾何書(shū)寫(xiě)習(xí)慣。

幾何對(duì)培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的有效性是其他學(xué)科無(wú)法替代的。在學(xué)生學(xué)習(xí)幾何之前，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)主要是研究數(shù)量關(guān)系，而幾何的學(xué)習(xí)主要是研究幾何圖形及其性質(zhì)，這就帶來(lái)了學(xué)習(xí)方法的變化。在線段中點(diǎn)這節(jié)課中，學(xué)生會(huì)遇到一些陌生的名詞術(shù)語(yǔ)、圖形和符號(hào)等，這些內(nèi)容雖然會(huì)讓學(xué)生覺(jué)得與以往的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不完全相同，但卻是后續(xù)幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)知識(shí)，因此本節(jié)課是打好幾何基礎(chǔ)的第一課。