數(shù)學(xué)猜想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透研究

趙明慧 李文鈺

（北華大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 吉林吉林 132013）

引言

新時代發(fā)展的背景下，科技已成為國家綜合國力的重要體現(xiàn)。創(chuàng)新型人才越來越被社會所需要，創(chuàng)新是一個國家發(fā)展的不竭動力，是民族進(jìn)步的關(guān)鍵所在，因此重視創(chuàng)新能力的培養(yǎng)尤為重要。數(shù)學(xué)教育對于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)發(fā)揮了不可替代的作用。在2017年，《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[1]明確提出要注重發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想與教學(xué)方法，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。數(shù)學(xué)猜想是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑，因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，要重視學(xué)生猜想能力的培養(yǎng)。

任樟輝[2]認(rèn)為數(shù)學(xué)猜想是學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)上，解決數(shù)學(xué)問題時先進(jìn)行嘗試和探索，然后再進(jìn)行驗證的一種思維方法。陳天星[3]認(rèn)為數(shù)學(xué)猜想是根據(jù)已有的經(jīng)驗以及數(shù)學(xué)材料，在理性分析的基礎(chǔ)上，對未知的事實或者命題做出的猜測性判斷。數(shù)學(xué)猜想打破傳統(tǒng)的思維模式，在不知道正確結(jié)論的基礎(chǔ)上，對原數(shù)學(xué)題進(jìn)行猜想，猜想的結(jié)果有可能是正確的，也有可能是不正確的，這都需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明[4]。但正是這種探究的過程，恰恰能夠發(fā)展學(xué)生的發(fā)散思維和創(chuàng)新意識，進(jìn)而提高學(xué)生的創(chuàng)新能力。本文的研究意義就是為數(shù)學(xué)猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)提供了理論基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)教師要轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，注重學(xué)生的數(shù)學(xué)猜想過程，發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新思維。

本文在分析數(shù)學(xué)猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)上運用了文獻(xiàn)法，通過分析文獻(xiàn)，陳述了數(shù)學(xué)猜想與數(shù)學(xué)教學(xué)有關(guān)的一些理論基礎(chǔ)，加深對數(shù)學(xué)猜想的認(rèn)識。另外，在分析文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，對數(shù)學(xué)教材中的文本內(nèi)容進(jìn)行分析，得出猜想應(yīng)用于教學(xué)的一些教學(xué)原則，教學(xué)實踐要符合這些教學(xué)原則。最后，本文結(jié)合高中數(shù)學(xué)教材中的有關(guān)教學(xué)的經(jīng)典案例，給出了猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的途徑，將數(shù)學(xué)猜想與高中教學(xué)實踐相結(jié)合，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法重要性，注重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

一、數(shù)學(xué)猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的理論基礎(chǔ)

1.發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論

布魯納是當(dāng)代發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論主要提出者。布魯納認(rèn)為發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)是學(xué)生通過自己一系列的分析、探索、實驗等發(fā)現(xiàn)行為，學(xué)習(xí)并發(fā)現(xiàn)知識的過程。在這個過程中，學(xué)生是在教師的引導(dǎo)下，利用教師提供的學(xué)習(xí)資料，通過思考并經(jīng)過一系列的探索活動，不斷的嘗試，進(jìn)而學(xué)習(xí)、發(fā)現(xiàn)新知識，學(xué)生不僅能發(fā)展創(chuàng)造性思維，開闊自己的視野，而且通過經(jīng)歷知識的探索過程，提高了自己的動手操作以及創(chuàng)新能力。

2.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論

皮亞杰是建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論的最早提出者。他認(rèn)為建構(gòu)是指兒童的認(rèn)知結(jié)構(gòu)通過同化和順應(yīng)這兩個過程，逐漸建構(gòu)起來，并逐漸豐富和發(fā)展。建構(gòu)理論學(xué)者認(rèn)為，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是在學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，進(jìn)而建構(gòu)出新經(jīng)驗，最終獲得新的知識。這就意味著數(shù)學(xué)猜想是建立在學(xué)生已有數(shù)學(xué)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上做出的猜測和假定，猜想一定是有理可依的，并非毫無邏輯可言。

3.波利亞的思想理論

波利亞在代表著作《數(shù)學(xué)與猜想》[5]中認(rèn)為在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教育的根本目的是教會學(xué)生如何思考，因此教師在講課的過程中，若要教會學(xué)生思考，必須鼓勵學(xué)生猜想，對所講授的數(shù)學(xué)知識要有所保留，剩下的知識要靠學(xué)生自己探索、嘗試、猜測、驗證出來。這個過程是教學(xué)生思考的過程，恰恰也是教學(xué)生猜想的過程。波利亞曾說“讓我們猜想吧！”

二、數(shù)學(xué)猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)原則

1.數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用要符合接受性原則

數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用符合接受性原則是指在平時的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師無論是在新課講授還是習(xí)題課上創(chuàng)設(shè)問題情境從而引發(fā)學(xué)生的猜想時，要建立在學(xué)生的已有知識經(jīng)驗之上，新知識的學(xué)習(xí)需以舊知識為著眼點。教師需要做到要充分了解學(xué)生的學(xué)情，對于學(xué)生學(xué)過哪些知識要牢記于心，切記不可用學(xué)生還沒有學(xué)過的知識講授新課或者講授習(xí)題。接受性原則與波利亞的教育理論是相符的，學(xué)生對于數(shù)學(xué)定理、法則的猜想過程要符合最佳動機(jī)原則，比如學(xué)習(xí)的材料要能夠激發(fā)學(xué)生的興趣，加強(qiáng)和生活的聯(lián)系；另外學(xué)生猜想的內(nèi)容要符合循序漸進(jìn)原則，比如說猜想的知識符合學(xué)生的認(rèn)知水平，不能設(shè)置太高的難度。

例如，在高中學(xué)習(xí)函數(shù)的基本性質(zhì)—奇偶性時，教師借助于學(xué)生初中學(xué)過的二次函數(shù)f(x) =x2以及正比例函數(shù)g(x) =2x的圖像引入本節(jié)課的學(xué)習(xí)，對于學(xué)生來說這樣的情境引入是可接受的，也是熟悉的，因此也便于引發(fā)學(xué)生的猜想：二次函數(shù)f(x) =x2的圖像關(guān)于y軸對稱，正比例函數(shù)g(x) =2x的圖像關(guān)于原點對稱，在這個猜想的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生并給出奇、偶函數(shù)的概念，從而進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)。在這個過程中，分析兩個函數(shù)圖像時，學(xué)生需要動手操作，經(jīng)歷列表—描點—連線的探索過程，這一點與布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論相符，更能夠加強(qiáng)學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解和記憶，這個發(fā)現(xiàn)的過程更是充滿了嘗試、探索、猜想、試驗，利于學(xué)生思考，便于發(fā)散學(xué)生思維。

2.數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用要突出問題性原則

數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用要突出問題性原則是指教師在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行新課學(xué)習(xí)或者是習(xí)題講授時，要根據(jù)命題設(shè)置一系列有層次的問題，進(jìn)而引發(fā)學(xué)生的思考和猜想。這里要指出的是，由于猜想的內(nèi)容是未知的，而且還沒有做出嚴(yán)謹(jǐn)證明，針對教師提出的問題，學(xué)生所做出猜測的正確與否是未知的。這是由猜想的特性所決定的，因為猜想是以已有經(jīng)驗為基礎(chǔ)，加上一定的依據(jù)，對未知領(lǐng)域做出的一個假定，因此猜想的結(jié)論是未知的，這就導(dǎo)致了學(xué)生有可能做出錯誤的猜想，需要教師及時地引導(dǎo)，進(jìn)而得出正確的結(jié)論。

比如，在高中學(xué)習(xí)直線與圓的位置關(guān)系時，我們通過太陽與地平線的位置關(guān)系引入新課的學(xué)習(xí)，首先，提出第一個問題“如果我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，那么太陽落山時，太陽和地平線有哪幾種位置關(guān)系？”。教師通過幻燈片播放太陽落山的這個動態(tài)過程，引導(dǎo)學(xué)生觀察，學(xué)生猜想直線與圓總共有相離、相切、相交三種位置關(guān)系。教師再提出第二個問題“我們?nèi)绾蝸砼袛嘀本€與圓相離、相切、相交呢？”“那么最終你能否用數(shù)學(xué)語言來證明呢”。這里的第二個問題引導(dǎo)學(xué)生對初中的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行回顧，判斷直線與圓的位置關(guān)系有兩種，一是通過比較圓心到直線的距離與圓半徑的關(guān)系，二是通過分析直線與圓交點的個數(shù)。第三個問題呢，就是可以引導(dǎo)學(xué)生對前面學(xué)過的知識經(jīng)驗，借助于平面直角坐標(biāo)系中具體的圓與直線的方程，將文字語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言，利用“幾何法”和“代數(shù)法”判斷直線與圓的位置關(guān)系，并用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)過程證實學(xué)生自己的猜想。

3.數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用要符合再創(chuàng)造原則

“再創(chuàng)造”一詞最早是由弗賴登塔爾提出的，他認(rèn)為數(shù)學(xué)中的“再創(chuàng)造”就是“做數(shù)學(xué)”的過程。因此數(shù)學(xué)猜想的應(yīng)用要符合再創(chuàng)造性原則是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要盡可能地讓學(xué)生動手操作，合作探索，親身經(jīng)歷知識的發(fā)生與形成過程，教學(xué)不僅要重視學(xué)習(xí)結(jié)果，更為重要的是重視探索過程，在這個過程中，學(xué)生可以學(xué)到不一樣的知識，比如打開了學(xué)習(xí)思路，發(fā)展了學(xué)生的創(chuàng)新意識，提高了動手操作能力。

數(shù)學(xué)猜想具有創(chuàng)新性的特點，教師通過創(chuàng)設(shè)的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行觀察、分析、研究、探索、歸納、猜想、驗證，最終得出結(jié)論，在這一系列的過程里，學(xué)生必定會獲得新的感悟，這種感悟也許是知識上的，也許是思想上的，無論哪種新的領(lǐng)悟，總歸都是一種“再創(chuàng)造”，符合數(shù)學(xué)猜想創(chuàng)新性的特點。

三、數(shù)學(xué)猜想應(yīng)用于教學(xué)的途徑

1.通過歸納產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想

歸納是從事物的局部特性或者個別特性出發(fā)，根據(jù)一定的經(jīng)驗，推測出一類或者同類事物中都具有一樣的特性。歸納也被稱為歸納推理，分為不完全歸納和完全歸納，其中前者可以產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想，這種猜想未被證明；而后者可以用來證明數(shù)學(xué)猜想。這里以高中等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)為例來說明以下如何用歸納產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想。

在等比數(shù)列通項公式的教學(xué)中，學(xué)生在分析等比數(shù)列的第2、3、4、5項時，通過觀察可以發(fā)現(xiàn)他們都可以用首項和公比之積表示，其中首項的系數(shù)為1，而每一項所不同的是公比的次數(shù)不一樣，但是公比的次數(shù)比對應(yīng)項數(shù)少1，學(xué)生進(jìn)一步歸納猜想等比數(shù)列的第n項也可以寫成首項與公比之積，公比的次數(shù)比項數(shù)n少1，故最終歸納得出等比數(shù)列的通項公式為an=a1qn-1，學(xué)生是通過觀察分析等比數(shù)列的前幾項發(fā)現(xiàn)得出了等比數(shù)列從第二項起，每一項和首項以及公比的關(guān)系，從而猜想出等比數(shù)列的通項公式，猜想的詳細(xì)步驟如下：

又因為a1=a1q0=a1q1-1，這就是說，當(dāng)n-1時，上式也成立。因此猜想正確，所以首項是a1，公比是q的等比數(shù)列{an}的通項公式為an=a1qn-1。

2.通過直觀產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想

直觀主要是指借助于感官尤其是視覺感官對客觀事物做出的一些感性認(rèn)識，因此這種感性認(rèn)識與生活是密切聯(lián)系的，直觀是屬于形象化的，來自生活的一些實例，給人一種熟悉感以及親切感。由于數(shù)學(xué)具有抽象的特點，為了更直觀形象地講授數(shù)學(xué)命題、定理或者習(xí)題時，我們往往借助于數(shù)學(xué)直觀的方法。數(shù)學(xué)直觀主要是借助于數(shù)學(xué)圖形、圖表、圖像、符號或某種模式等來描述、分析、解決數(shù)學(xué)問題。通過對數(shù)學(xué)教材的分析，數(shù)學(xué)直觀產(chǎn)生猜想的類型主要分為幾何直觀產(chǎn)生猜想和模具直觀產(chǎn)生猜想兩種類型。

（1）幾何直觀產(chǎn)生猜想

幾何直觀主要是指通過圖形、圖表來進(jìn)行分析和描述問題，利于學(xué)生觀察，分析已知條件的關(guān)系，從而求證或求解未知條件。可以說，幾何直觀是高中數(shù)學(xué)解題的主要方法之一，簡化了做題思路，使問題直觀化，可以將文字或者符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言。通過幾何直觀產(chǎn)生猜想，無疑可以幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題。

比如我們在高一數(shù)學(xué)講授集合這一章，講解集合的交集時，我們引入了韋恩圖的概念，那么在學(xué)習(xí)集合之間的補(bǔ)集時，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：能否用韋恩圖畫出兩個集合之間的補(bǔ)集？學(xué)生對這個問題進(jìn)行猜想，于是動手操作，畫出了集合的補(bǔ)集，韋恩圖的引入，為集合運算的講解提供了很不錯的思路。

（2）由模具直觀產(chǎn)生猜想

模具直觀主要是指通過生活中具體的實例，尤其是學(xué)生身邊熟悉的、能夠引起共鳴的生活例子來講授數(shù)學(xué)定理、證明數(shù)學(xué)命題、公式。模具直觀明顯體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的特點—生活化，數(shù)學(xué)并不是憑空捏造的一門學(xué)科，而是來自生活，為生活服務(wù)，“鹽水模具”是一個很好的實例。

在這個進(jìn)行模具直觀的猜想時，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行鹽水模具的實驗，親身經(jīng)歷這個猜想探索的過程，這一點與布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論是極其符合的，經(jīng)歷了不等式證明的探索過程，有利于學(xué)生理解這個不等式的意義，掌握地更加牢固。

3.通過類比產(chǎn)生數(shù)學(xué)猜想

類比是指已知兩類對象或問題之間在某些方面具有相同或相似的特征，因此推測他們在其他方面也存在某些相同或相似的特性，是一種思維方法。運用類比進(jìn)行猜想，能夠發(fā)散學(xué)生的思維，鍛煉學(xué)生的觀察品質(zhì)，更好地去掌握數(shù)學(xué)知識。類比猜想與皮亞杰的建構(gòu)主義理論相對應(yīng)，猜想不是憑空捏造的，而是在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，利于知識的遷移。

比如在高中數(shù)學(xué)人教版必修一學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)時，我們一般通過類比研究冪函數(shù)性質(zhì)的過程和方法，進(jìn)而對指數(shù)函數(shù)進(jìn)行猜想，并研究其圖像。這種由前者的學(xué)習(xí)類比后者的學(xué)習(xí)，滲透了類比思想，切實地實踐了核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，加強(qiáng)函數(shù)之間的聯(lián)系，利于知識的遷移。

結(jié)語

本文通過對猜想教育理論基礎(chǔ)進(jìn)行的研究，以及對高中數(shù)學(xué)教材進(jìn)行的分析，提出了猜想應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)的教學(xué)原則和途徑，三種數(shù)學(xué)教學(xué)原則分別是接受性原則、問題性原則、創(chuàng)造性原則，并且猜想主要通過歸納、直觀、類比三種途徑應(yīng)用于高中數(shù)學(xué)教學(xué)實踐。