承壓水層圓形基坑懸掛式止水帷幕涌水量解析

吳杰，李鵬飛，賈嘉陵，孔恒，郭彩霞，郭飛

（1.北京工業(yè)大學(xué) 城市與工程安全減災(zāi)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100124；2.北京市政建設(shè)集團(tuán)有限責(zé)任公司，北京 100048）

近年來，隨著國(guó)家經(jīng)濟(jì)不斷增長(zhǎng)，城市化水平不斷提高，城市中出現(xiàn)越來越多的超高層建筑與大規(guī)模地下綜合體，導(dǎo)致深基坑的數(shù)量急劇增加［1-3］.因?yàn)樯罨拥撞客嬖诔袎核畬樱?dāng)承壓水層的水頭較高時(shí)，需要采取降水減壓措施來避免坑底突涌及結(jié)構(gòu)整體上浮等問題［4］.現(xiàn)有的地下水減壓措施中，抽水井配合懸掛式止水帷幕組成的“墻-井”截排減壓系統(tǒng)［5-6］因具有控水效果好、施工簡(jiǎn)單快速等優(yōu)點(diǎn)被廣泛采用.在“墻-井”系統(tǒng)的設(shè)計(jì)過程中，為了合理設(shè)計(jì)減壓井群的總抽水量或總疏干量，需準(zhǔn)確計(jì)算出不同坑底水頭設(shè)計(jì)值下懸掛帷幕基坑內(nèi)的涌水量［7］.目前，國(guó)內(nèi)外學(xué)者綜合采用理論推導(dǎo)、數(shù)值模擬、室內(nèi)模型試驗(yàn)等方法對(duì)懸掛帷幕基坑內(nèi)涌水量展開研究.王軍輝等［8］通過分析懸掛式止水帷幕影響下滲流場(chǎng)中繞流和非繞流兩個(gè)區(qū)域的滲流特征，對(duì)大井法公式進(jìn)行修正并推導(dǎo)出含止水帷幕條件下潛水和承壓水的涌水量計(jì)算公式.張志紅等［9］針對(duì)基坑內(nèi)外流網(wǎng)分布規(guī)律，根據(jù)地下水動(dòng)力學(xué)原理推導(dǎo)出深厚潛水層中懸掛式止水帷幕圓形基坑的涌水量計(jì)算公式.李瑛等［10］將懸掛帷幕基坑按面積等效為井壁進(jìn)水的大直徑承壓完整井，推導(dǎo)出基坑截排減壓降水涌水量計(jì)算的簡(jiǎn)化公式，并與數(shù)值計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比驗(yàn)證得出結(jié)論：簡(jiǎn)化公式在帷幕插入比大于0.6、基坑半徑與承壓含水層厚度比值小于2.0 時(shí)具有較高精度.肖銘釗等［11］通過對(duì)武漢長(zhǎng)江隧道武昌盾構(gòu)井基坑水文地質(zhì)條件的分析，建立三維滲流有限元模型，并對(duì)懸掛式止水帷幕深基坑降水過程進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算.在基坑總抽水量一定的條件下，定量分析了止水帷幕插入深度與基坑內(nèi)外水頭值的相互關(guān)系.李光明等［12］依托天津某地鐵換乘車站基坑降水工程，通過現(xiàn)場(chǎng)抽水試驗(yàn)數(shù)據(jù)反演出數(shù)值模型的地層參數(shù)，然后利用有限差分法對(duì)懸掛帷幕基坑降水過程中坑內(nèi)涌水量進(jìn)行數(shù)值模擬計(jì)算.張邦沛等［13-14］通過室內(nèi)模型箱實(shí)驗(yàn)探究帷幕插入深度對(duì)基坑內(nèi)涌水量的影響，并提出了止水帷幕插入深度合理取值范圍，為實(shí)際工程中止水帷幕設(shè)計(jì)參數(shù)提供參考.

綜上所述，現(xiàn)有理論解析求解懸掛帷幕基坑涌水量與實(shí)際情況及數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比存在較大誤差，僅在某些特定r0/M、L/M范圍內(nèi)具有較好的精度（r0圓形基坑半徑，L為止水帷幕插入深度，M為承壓含水層厚度），原因是坑內(nèi)等效滲徑長(zhǎng)度取值不合理.現(xiàn)有數(shù)值方法對(duì)懸掛帷幕基坑的研究大多是基于某些特定工程，結(jié)果的精確性依賴于特定的邊界條件的選?。?，11-12］，對(duì)工程的指導(dǎo)不具有普適性.在此背景下，本文應(yīng)用地下水動(dòng)力學(xué)原理求解出承壓水層懸掛式止水帷幕圓形基坑的涌水量，引入基坑滲徑影響系數(shù)，并提出其確定方法.經(jīng)對(duì)比顯示本文解析結(jié)果與數(shù)值模擬結(jié)果及實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)取得了較好的一致性.

1 涌水量計(jì)算的理論解析

以圓形基坑中軸線為z軸，基坑徑向?yàn)閞軸，中軸線與含水層底板交點(diǎn)選為原點(diǎn)建立柱坐標(biāo)系.根據(jù)地下水動(dòng)力學(xué)原理，建立如圖1 所示的承壓水地層懸掛式止水帷幕基坑數(shù)學(xué)模型.其中：H為承壓水頭高度，r0為圓形基坑半徑，R為基坑抽水影響半徑，h0為止水帷幕底部中軸線處水頭等值線的水頭值，D（z）為止水帷幕外側(cè)壁處水頭分布函數(shù)，Hd為坑內(nèi)水頭設(shè)計(jì)值，Hw為坑外承壓含水層頂板最大降深處水頭值，L為止水帷幕在插入承壓含水層的長(zhǎng)度，M為含水層的厚度.

圖1 承壓水地層懸掛式止水帷幕基坑計(jì)算模型Fig.1 Calculation model for pit with suspended waterproof curtain in confined aquifer

本模型忽略止水帷幕厚度，假定坑內(nèi)滲流過程為三維穩(wěn)定流，坑內(nèi)的水頭線均為水平線.根據(jù)實(shí)際工程經(jīng)驗(yàn)與現(xiàn)有研究成果［10，12］，可將滲流區(qū)域分為坑外（區(qū)域1）、坑內(nèi)止水帷幕下方（區(qū)域2）、坑內(nèi)豎直滲流區(qū)（區(qū)域3）3 部分.由于止水帷幕的存在，區(qū)域1 內(nèi)水流繞流進(jìn)入?yún)^(qū)域2，且帷幕正下方水流流向均為水平.然后水流在區(qū)域2 內(nèi)轉(zhuǎn)向，沿豎直方向流入?yún)^(qū)域3.根據(jù)滲流連續(xù)性原理可知3 個(gè)區(qū)域內(nèi)流量相同，即Q1=Q2=Q3=Q.

計(jì)算區(qū)域滲流場(chǎng)內(nèi)任意一點(diǎn)的總水頭h（r，θ，z）與角度無關(guān)，即各點(diǎn)總水頭可以表示為h（r，z）.滲流區(qū)域內(nèi)的邊界條件為

1.1 基坑外滲流量Q1確定

根據(jù)達(dá)西定律，承壓含水層內(nèi)任意一點(diǎn)的水平滲流速度為

式中：kr為承壓含水層內(nèi)水平滲透系數(shù).在區(qū)域1 中，單位時(shí)間內(nèi)過任一斷面的流量為

將式（7）代入式（8）可得過區(qū)域1 單位時(shí)間內(nèi)任一斷面流量表達(dá)式

文獻(xiàn)［9］中給出了在M－L＜z＜M范圍內(nèi)止水帷幕外側(cè)水頭分布規(guī)律，結(jié)合邊界條件式（4）和式（5），可以分別得到D（z）和Q1為

1.2 基坑內(nèi)涌水量Q2和Q3確定

水流在滲流區(qū)域內(nèi)的最短滲流路徑為

最長(zhǎng)滲流路徑為

若坑底水頭線位于上部不透水層的底板上方，即Hd＞M，則式（12）和式（13）中Hd可以用M代替.利用達(dá)西定律求解基坑內(nèi)涌水量時(shí)，現(xiàn)有理論解析大多是將基坑內(nèi)的等效滲徑長(zhǎng)度定為（Lmax+Lmin）/2［9，15］，或直接假定2Lmin［8，10］，這兩種情況計(jì)算得到的坑內(nèi)涌水量只在r0/M、L/M的某些特定區(qū)間內(nèi)較為合理.實(shí)際上，基坑內(nèi)等效滲徑長(zhǎng)度的取值應(yīng)隨r0/M、L/M的不同而變化，直接用（Lmax+Lmin）/2 或2Lmin替代是不合理的.為了精確計(jì)算各工況下基坑內(nèi)涌水量的值，引入可以體現(xiàn)等效滲徑長(zhǎng)度隨r0/M、L/M變化的滲徑影響系數(shù)α，并通過數(shù)值實(shí)驗(yàn)探究變化規(guī)律.基坑內(nèi)等效滲徑的長(zhǎng)度可以表示為

其中α為r0/M、L/M的函數(shù)，即

區(qū)域2 和區(qū)域3 內(nèi)的涌水量為

式中：kv為垂直滲透系數(shù).

1.3 承壓含水層頂板處最大降深水頭Hw確定

在忽略止水帷幕厚度的條件下，水流沿止水帷幕繞流時(shí)，通過帷幕內(nèi)側(cè)的水頭損失要大于通過帷幕外側(cè)的水頭損失.根據(jù)現(xiàn)有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與理論研究成果［8-9，13］，潛水含水層各工況下水流通過帷幕內(nèi)側(cè)的水頭損失約占繞流總損失的2/3 左右.而無論在承壓水層還是潛水層中，水流沿止水帷幕繞流時(shí)的方向和特征都是一致的，所以將此結(jié)論應(yīng)用于承壓水地層中，帷幕底端等水頭線水頭值h0可以表示為

將式（17）帶入式（11），再根據(jù)滲流連續(xù)性原理，可以求得坑外承壓含水層頂板處最大降深水頭Hw分布函數(shù)

將式（17）和式（18）代入式（16）即可求得圓形基坑涌水量.

2 滲徑影響系數(shù)探究

根據(jù)對(duì)稱性，建立圓形基坑滲流計(jì)算數(shù)值模型，如圖2 所示.數(shù)值模型的依托工程土層特點(diǎn)為砂黏混合地層，含水層主要為細(xì)砂.計(jì)算取滲透系數(shù)kr=kv=5×10-6m/s，承壓層水頭高度H=30 m，坑內(nèi)水頭設(shè)計(jì)值Hd和含水層的厚度M均為10 m.

圖2 懸掛式止水帷幕圓形基坑數(shù)值模型Fig.2 Numerical model for circular pit with suspended waterproof curtain in confined aquifer

選取r0/M=1、3、5、7、9 作為試驗(yàn)工況，并基于此探究系數(shù)α變化規(guī)律，剩余r0/M=2、4、6、8、10 作為驗(yàn)證工況.圖3 所示為基坑涌水量隨r0/M、L/M的變化規(guī)律.由圖3（a）可知，L/M對(duì)基坑涌水量有較大影響.隨著L/M的增大，基坑涌水量不斷減小，且當(dāng)基坑直徑較小時(shí)（r0/M=1），Q與L/M呈線性關(guān)系；其他情況下，Q隨L/M的增大，先線性減小，后指數(shù)形式減小.在L/M相同的情況下，隨著r0/M的增大，基坑涌水量不斷增大，但增大速率不斷減小.由圖3（b）可知，當(dāng)基坑尺寸較大時(shí)，在較大插入比下（L/M=0.9），基坑內(nèi)涌水量依然很大，要有效控制涌水量，需要加大插入比形成落底式止水帷幕.

圖3 涌水量隨r0/M 以及插入比改變的變化關(guān)系Fig.3 Relationship between the variation of water inflow with r0/M and that of insertion ratio

α隨r0/M、L/M的變化規(guī)律見圖4.由圖4 可知，r0/M、L/M對(duì)α均有不同程度的影響，且L/M的影響更大.如果不考慮L/M對(duì)等效滲徑的影響，取α恒等于1，各工況大致對(duì)應(yīng)圖4（a）中L/M為0.7～0.8 時(shí)的條件，即此時(shí)涌水量理論計(jì)算結(jié)果才與數(shù)值結(jié)果吻合.隨著L/M的增大，α先近似線性增大，后指數(shù)增大，近似以L/M=0.7 為分界點(diǎn).隨著r0/M的增大，α先增大后減小，拐點(diǎn)為r0/M=3.

首先根據(jù)圖4（a）中α的變化特點(diǎn)建立α與L/M的函數(shù)關(guān)系

式中：A為一次函數(shù)的截距；K為一次函數(shù)的斜率；I為二次多項(xiàng)式截距；B1為一次項(xiàng)系數(shù)；B2為二次項(xiàng)系數(shù).將式（19）與圖4（a）中的曲線擬合，得到不同r0/M工況下的參數(shù)A、K、I、B1、B2.然后，再建立r0/M與系數(shù)α的關(guān)系，假設(shè)各參數(shù)為隨r0/M變化的一次函數(shù)為

圖4 α隨r0/M 以及插入比改變的變化關(guān)系Fig.4 Relationship between the variation of α with r0/M and that of insertion ratio

其中：a1、a2、k1、k2、i1、i2、b1、b2、b3、b4均為一次函數(shù)的參數(shù)，將不同r0/M工況下A、K、I、B1、B2的取值代入式（20），即可解得式中一次函數(shù)的參數(shù)值.再將式（20）代入式（19），得到系數(shù)α分段函數(shù)為

3 驗(yàn)證及分析

3.1 算例驗(yàn)證

圖5（a）為驗(yàn)證工況基坑涌水量解析解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果對(duì)比.由圖5（a）可知，本文解析解與數(shù)值模擬結(jié)果吻合，涌水量隨L/M變化規(guī)律與圖3（a）中分析的結(jié)論一致.兩者在r0/M=2、4、6、8、10工況下最大相對(duì)誤差分別為4.5%、2.3%、1.6%、1.4%、1.7%，均小于5%.圖5（b）為r0/M=4、6、10工況Hw解析解與數(shù)值解計(jì)算結(jié)果對(duì)比.由圖5（b）可知，解析解與數(shù)值模擬結(jié)果變化規(guī)律吻合，Hw隨著L/M增加而增大.當(dāng)L/M＞0.7 時(shí)，兩種計(jì)算方法得到的Hw基本相同.0＜L/M＜0.7 時(shí)，兩種方法計(jì)算結(jié)果變化趨勢(shì)相同，解析解略小于數(shù)值解.3 種工況對(duì)應(yīng)的最大相對(duì)誤差分別為：3.3%、4.5%、4.2%，均小于5%.

圖5 不同面積基坑的涌水量與Hw計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of calculation results of water inflow and Hw under different areas of foundation pit

3.2 補(bǔ)充工況驗(yàn)證

為了進(jìn)一步驗(yàn)證推導(dǎo)公式的準(zhǔn)確性與普適性，分別改變數(shù)值算例中的土層滲透系數(shù)、承壓含水層厚度、基坑內(nèi)外水頭差H－Hd，并計(jì)算不同r0/M、L/M時(shí)的基坑內(nèi)涌水量.圖6 為這3 種因素改變時(shí)，r0/M為2、4 工況下的涌水量解析解與數(shù)值模擬結(jié)果對(duì)比.由圖6 可知，涌水量解析解與數(shù)值模擬結(jié)果變化規(guī)律吻合.在任一工況下，涌水量隨L/M的變化都是先線性減小，再呈指數(shù)形式減小.在其他條件不變時(shí)，涌水量分別隨著土層滲透系數(shù)、承壓含水層厚度、基坑內(nèi)外水頭差的增大而增大.當(dāng)3 種條件分別改變時(shí)，解析解與數(shù)值解的最大相對(duì)誤差出現(xiàn)在r0/M=2、kr=kv=1×10-5m/s 時(shí)，r0/M=4、M=20 時(shí)以及r0/M=2、H－Hd=15m時(shí)，其值分別為4.5%、4.3% 以及3.8%，均小于5%.在不同工況下，基坑內(nèi)涌水量數(shù)值模擬結(jié)果與本文解析解基本吻合，對(duì)比結(jié)果最大相對(duì)誤差在可接受范圍之內(nèi)，可以證明推導(dǎo)公式具有較高的精度與普適性.

圖6 補(bǔ)充工況的涌水量計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.6 Comparison of calculation results for water inflow under supplementary conditions

3.3 解析解與工程實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)比

表1 為解析解與工程實(shí)測(cè)值對(duì)比.表1中Qc1與Qr分別為來源于參考文獻(xiàn)［10］中的解析解涌水量計(jì)算值與既有工程現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)涌水量，Qc1未考慮滲徑影響系數(shù)，Qc2為對(duì)應(yīng)工況下本文解析解涌水量計(jì)算值.Qj為不考慮止水帷幕影響的計(jì)算涌水量，由規(guī)范［16］計(jì)算得到.由表1 可知，Qc1與Qc2都遠(yuǎn)小于規(guī)范解，說明懸掛止水帷幕可以有效降低基坑涌水量.比較Qc1與Qc2可知，除案例乙中兩者值接近，其他情況Qc2都遠(yuǎn)比Qc1更接近實(shí)測(cè)值，表明滲徑影響系數(shù)對(duì)基坑涌水量計(jì)算結(jié)果有較大影響.考慮滲徑影響系數(shù)的計(jì)算結(jié)果更準(zhǔn)確，而且Qc2總是略大于實(shí)測(cè)值，實(shí)際工程中用于計(jì)算降水井抽水量也是偏安全的選擇.

表1 解析解與工程實(shí)測(cè)值對(duì)比Tab.1 Comparison of analytical solution and measured filed values

3.4 基坑尺寸與懸掛式止水帷幕控水效果關(guān)系

由圖3 與圖5 綜合分析可知：無論是解析解還是數(shù)值模擬結(jié)果，在L/M一定時(shí)，涌水量隨著r0/M的增大而增大，但涌水量增加的速率顯著減小，且涌水量隨L/M的變化越來越平緩.定義Qi1、Qi9為r0/M=i時(shí)（i=1，2，…，10），L/M=0.1和L/M=0.9 對(duì)應(yīng)的涌水量，η為Qi1和Qi9的差值與Qi1的比值.圖7（a）為η隨r0/M的變化關(guān)系，可以反映懸掛帷幕對(duì)不同尺寸基坑的止水效果，η值越大，證明止水效果越好.由圖7（a）可知，懸掛帷幕止水效果隨r0/M的增大而降低，當(dāng)0＜r0/M＜5 時(shí)，止水效果隨r0/M的增大顯著降低，r0/M＞5 以后，η值已經(jīng)遠(yuǎn)小于初始值且不再顯著變化.圖7（b）為較大插入比時(shí)（L/M=0.9），Hw隨r0/M的變化關(guān)系，Hw越小則說明坑內(nèi)降水對(duì)坑外承壓水位的影響越大.

圖7 L/M=0.9時(shí)η與Hw隨r0/M 變化Fig.7 Relationship between η and Hw with r0/M when L/M=0.9

隨著r0/M增大，坑內(nèi)降水對(duì)坑外承壓水位的影響增大，r0/M＞5 以后，Hw值已經(jīng)遠(yuǎn)小于坑外初始水頭（H=30 m），且與區(qū)間0＜r0/M＜5 相比不再顯著變化.止水帷幕控水效果隨著r0/M增大而降低，從止水效果（隨L/M的增加，坑內(nèi)涌水量顯著減小）和保護(hù)水資源（坑內(nèi)降水對(duì)坑外水位影響較?。﹥煞矫婵紤]，當(dāng)基坑尺寸較大時(shí)，應(yīng)當(dāng)考慮選用能切斷基坑內(nèi)外水力聯(lián)系的落底式止水帷幕以達(dá)到良好的控水效果.

4 結(jié)論

1）對(duì)于承壓水地層中懸掛式止水帷幕基坑涌水量的解析模型，滲徑影響系數(shù)取值對(duì)計(jì)算結(jié)果影響很大，應(yīng)根據(jù)基坑半徑、承壓水層厚度、懸掛式止水帷幕插入承壓水層厚度等因素綜合確定.

2）基坑半徑與承壓水層厚度的比值（r0/M）、懸掛式止水帷幕插入承壓水層厚度比（L/M），這兩個(gè)參數(shù)對(duì)滲徑影響系數(shù)α的影響最為直接和顯著，且r0/M=3和L/M=0.7 是二者影響分界點(diǎn)，本文通過數(shù)值模擬正反分析分別給出了4 種情況下α的計(jì)算公式.

3）當(dāng)選用懸掛式止水帷幕作為地下水控制措施時(shí)，控水效果會(huì)隨著r0/M的增大而降低，當(dāng)基坑尺寸較大時(shí)，建議選取落底式止水帷幕，達(dá)到切斷基坑內(nèi)外水力聯(lián)系的目的.