基于tripling的補(bǔ)設(shè)計的性質(zhì)研究

黃興友，薛慧麗，李洪毅

吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，湖南 吉首 416000

0 引言

Doubling方法最初被用來構(gòu)造正交主效應(yīng)設(shè)計[1].文獻(xiàn)[2]討論了用一個分辨度為Ⅳ的二水平正規(guī)部分因析設(shè)計，通過doubling方法來構(gòu)造分辨度仍為Ⅳ的Double設(shè)計，隨后doubling的方法在設(shè)計的構(gòu)造中得到了廣泛的應(yīng)用[3-5].文獻(xiàn)[6-7]對于二水平的Double設(shè)計與初始設(shè)計之間的示性函數(shù)及在各種最優(yōu)準(zhǔn)則下的聯(lián)系進(jìn)行了深入研究.文獻(xiàn)[8]以水平置換作為折疊反轉(zhuǎn)方式提出用tripling方法構(gòu)造三水平Triple設(shè)計，構(gòu)造了一系列具有最小低階混雜的三水平因子設(shè)計.文獻(xiàn)[9]進(jìn)一步討論了Triple設(shè)計和其初始設(shè)計在廣義最小低階混雜準(zhǔn)則、最小低階矩混雜準(zhǔn)則及均勻性準(zhǔn)則下的解析聯(lián)系.

1 基本概念

記U(n；3s)為一類具有n次試驗(yàn)，s個三水平因子的U-型設(shè)計，即每個因子出現(xiàn)的水平次數(shù)相同.設(shè)D∈U(n；3s)，其可以看成是n×s矩陣D=(xil)n×s，xil=0，1，2，i=1，2，…，n，l=1，2，…，s，D的每一行對應(yīng)一次試驗(yàn)，每一列對應(yīng)一個因子.

(1)

根據(jù)Krawtchouk多項(xiàng)式的正交性，易得

(2)

偏差作為設(shè)計的均勻性度量已在許多文獻(xiàn)中使用，本文選取可卷型L2-偏差來衡量設(shè)計的均勻性，為方便起見，用WD表示.對于任意設(shè)計D∈U(n；3s)，它的WD值平方可通過公式計算：

(3)

其中uil=(2xil+1)/6，i=1，…，n，l=1，…，s.

設(shè)D∈U(n；3s)，表1列出了D∈U(n；3s)的所有水平置換方式及置換設(shè)計.

表1 設(shè)計D的6種水平置換方式及置換設(shè)計

2 主要結(jié)論

證明根據(jù)(2)式和文獻(xiàn)[8]中引理1有

由(2)式有

結(jié)論得證.

(4)

其中：

證明當(dāng)p≡0(mod 3)時，由(1)式和文獻(xiàn)[9]引理1，對于1≤j≤3p有

根據(jù)(2)式和文獻(xiàn)[13]引理1有

(5)

(6)

(7)

(8)

3 數(shù)值例子

表2 三水平等距設(shè)計D1∈U(9；312，9)

表3 三水平等距設(shè)計D2∈U(9；312，9)

表和的廣義字長型模式

表5 Triple設(shè)計T(d1)和T(d2)的廣義字長型模式

4 結(jié)語