基于力反饋的造波機(jī)主動(dòng)吸收技術(shù)扭矩計(jì)算方法研究

倪藝萍 王磊 李玉剛 林俊 陳俊 王天奕

(1.珠江水利委員會(huì)珠江水利科學(xué)研究院 廣東廣州 510611;2.大連理工大學(xué)深海工程研究中心 遼寧大連 116024)

通過(guò)海洋工程試驗(yàn)水池對(duì)海洋中的風(fēng)、浪、流等海洋環(huán)境進(jìn)行模擬試驗(yàn)研究，尤其是通過(guò)造波機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)波浪的產(chǎn)生。但是，在實(shí)際模型試驗(yàn)過(guò)程中，由于水槽或水池等設(shè)施與真實(shí)的海洋環(huán)境相比有固定邊界限制，所以，在水槽或水池中往往會(huì)有二次反射波的產(chǎn)生。造波機(jī)產(chǎn)生的入射波遇到造波機(jī)對(duì)面的池壁時(shí)會(huì)產(chǎn)生反射波，反射波傳播至造波板處會(huì)生成二次反射波，二次反射波會(huì)疊加到原始入射波之中，擾亂波浪場(chǎng)，破壞試驗(yàn)的準(zhǔn)確性，降低試驗(yàn)可靠度[1]。

理論研究表明，在搖板式造波系統(tǒng)中應(yīng)用主動(dòng)吸收技術(shù)可以很好地減少甚至消除二次反射波，減少必要造波時(shí)間，延長(zhǎng)物理模型試驗(yàn)時(shí)間，減少波浪平穩(wěn)時(shí)間，提高物理模型試驗(yàn)效率；其次，采用主動(dòng)吸收系統(tǒng)可以減少波浪模擬設(shè)備占地面積，減少投入成本，造波設(shè)備布置更加靈活。主動(dòng)吸收系統(tǒng)根據(jù)所用傳感器的不同分為力反饋式主動(dòng)吸收系統(tǒng)和位移反饋式主動(dòng)吸收系統(tǒng)。力反饋式主動(dòng)吸收系統(tǒng)采用固定在波板上的力傳感器進(jìn)行波浪力的數(shù)據(jù)采集，位移反饋式主動(dòng)消波系統(tǒng)采用浪高儀進(jìn)行波浪高程的數(shù)據(jù)采集[2]。該文主要研究力反饋式主動(dòng)吸收系統(tǒng)，主動(dòng)吸收系統(tǒng)采用力傳感器進(jìn)行數(shù)據(jù)采集有以下幾點(diǎn)優(yōu)勢(shì)。

首先，力傳感器測(cè)量的是流體在波板處的壓力的平均值，是壓強(qiáng)積分的結(jié)果，要想在存在二次反射波的情況下獲得有效的數(shù)據(jù)，只需要在造波板上平均布置多個(gè)測(cè)點(diǎn)，而且力反饋式主動(dòng)吸收吸收系統(tǒng)多適用于干背式造波機(jī)，流體力的值僅與造波板前的水域有關(guān)。

其次，對(duì)于搖板式造波機(jī)，由于搖板圍繞支撐點(diǎn)搖擺造波，在板上不適合布置浪高儀，而搖板運(yùn)動(dòng)對(duì)力傳感器的干擾較少，所以布置力傳感器可以更加方便數(shù)據(jù)的采集。

最后，力傳感器便于將來(lái)自力傳感器的信號(hào)和來(lái)自速度傳感器的信號(hào)結(jié)合起來(lái)，使得造波機(jī)和流體成為一個(gè)耦合的動(dòng)力系統(tǒng)，提供了對(duì)系統(tǒng)輸入/輸出功率的直接測(cè)量，從而修正造波機(jī)的輸出信號(hào)。且在搖板式造波機(jī)規(guī)則波試驗(yàn)中，采用力反饋式主動(dòng)吸收系統(tǒng)可減少水池中高階偽諧波的產(chǎn)生[3]。

但是，目前國(guó)內(nèi)主動(dòng)吸收研究多集中在位移反饋式主動(dòng)吸收，對(duì)力反饋式主動(dòng)吸收的研究尚淺，且遭到國(guó)外技術(shù)封鎖，雖然英國(guó)愛丁堡Flowave水池已實(shí)現(xiàn)該技術(shù)，但國(guó)內(nèi)還未形成一個(gè)完善的理論系統(tǒng)，主要因?yàn)樗幸韵?個(gè)關(guān)鍵技術(shù)難題。

（1）現(xiàn)有的力反饋理論研究多基于理想的線性波理論，忽略非線性高階項(xiàng)的影響，近似誤差較大。

（2）多向不規(guī)則波浪的來(lái)波識(shí)別：現(xiàn)有理論限制性條件較多，多采用經(jīng)驗(yàn)校準(zhǔn)吸收的方法。

（3）造波機(jī)的吸收控制：濾波器設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)較為困難。

研究水池中典型的造波方法，針對(duì)該文的主動(dòng)吸收系統(tǒng)以力反饋的特點(diǎn)，基于勢(shì)流理論對(duì)干背式搖板造波條件下造波板速度勢(shì)解和壓強(qiáng)的分布特性進(jìn)行研究，給出單向、多向、規(guī)則、不規(guī)則造波條件下造波板上波浪作用扭矩的計(jì)算分析方法。

1 二維造波理論

建立坐標(biāo)系使得z軸向上為正并與造波板的平均位置相重合。造波機(jī)沿y軸布置，x軸與靜水面相重合，z=0，靜水深度為h，池底位于z=-h處。

假定造波板做小振幅簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，產(chǎn)生的波浪沿著x軸正方向傳播，設(shè)造波板的鉸鏈中心與池底間的距離為l，造波板轉(zhuǎn)動(dòng)中心位于z=-（h+l）處，當(dāng)鉸鏈中心位于池底之上時(shí)，l＜0，定義參數(shù)d=-l；當(dāng)鉸鏈中心位于池底或池底下方時(shí)，l≥0，d→ 0；當(dāng)為推板式造波機(jī)時(shí)，l=∞且d=0。示意圖具體見圖1。

圖1 力反饋式主動(dòng)吸收試驗(yàn)布置示意圖

假設(shè)水池內(nèi)為無(wú)粘性且不可壓縮的無(wú)旋流體，在笛卡爾坐標(biāo)系（x,z）中速度勢(shì)表示為Φ(x,z,t)，則速度表示為(u,w)T=(?Φ/?x,?Φ/?z)T，波面函數(shù)為η=η(x,t)，波板位置X=X(z,t)；靜水水面z=0處波板位置為X0(t)。θ、ω、g、t分別表示造波板角位移、波浪頻率、重力加速度和時(shí)間[4-5]。

1.1 控制方程

假設(shè)流體質(zhì)量守恒且不可壓縮，因此，在流場(chǎng)中流體滿足拉普拉斯方程

1.2 自由水面條件

假設(shè)水面高度為z=η(x,t)，則自由水面處水質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的函數(shù)可表示為

水面截面處的流線符合運(yùn)動(dòng)學(xué)自由水面邊界條件，根據(jù)該邊界條件得

另外，水面壓力符合動(dòng)力學(xué)自由水面邊界條件，其中，自由水面處的壓力等于其上方的大氣壓力，所以壓強(qiáng)為零，由伯努利方程得

假定波浪波幅較小（相對(duì)于波長(zhǎng)），根據(jù)線性理論，上述運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)自由水面邊界條件可線性化為

1.3 水底條件

池底水平且不可滲透，在池底處，垂直于池底的流體速度分量為0。

1.4 物面條件

造波板為不可滲透的固體邊界，在造波板處，垂直于造波板的流體速度分量vn等于造波板的速度。

根據(jù)波板運(yùn)動(dòng)可知，輻射半徑r可表示為

根據(jù)流體水平速度和垂向速度（u,w），可得垂直于波板的流體速度也可表示為

造波板的位置可由造波板沖程X0(t)來(lái)表示X(z,t)=f(z)X0(t)，假設(shè)造波板沖程相較于板長(zhǎng)是極小的，則X0/(h+l)=tanθ?1,采用小角度近似方法[6]，則

將式（9）～（12）代入式（8）中，得造波板處邊界條件為

采用分離變量法分離速度勢(shì)時(shí)間因子，利用控制方程和邊界條件求解速度勢(shì)分量，則可計(jì)算得到速度勢(shì)的表達(dá)式如下，考慮到造波板處物面條件，將線性條件下造波機(jī)問(wèn)題的速度勢(shì)解表達(dá)為復(fù)數(shù)形式[7]。

定義C0和Cn為傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)是造波機(jī)沖程與波浪幅值的比值，它代表著造波系統(tǒng)中輸入與輸出之間的關(guān)系[8]。傳遞函數(shù)的特性決定了系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。傳遞函數(shù)的取值與造波板類型、水深、鉸鏈深度和波浪周期相關(guān)，利用式（16）和式（17）中傳遞函數(shù)的解析表達(dá)式求解傳遞函數(shù)值，對(duì)不同模態(tài)（即階數(shù)n）的變化對(duì)傳遞函數(shù)值的影響，并在0～20階模態(tài)下分別比較不同波浪周期、水深、鉸鏈深度對(duì)傳遞函數(shù)的影響，如圖2～4。

圖2 不同波浪周期下傳遞函數(shù)隨模態(tài)的變化曲線

如圖2所示，固定水深為10 m、鉸鏈深度為5 m，設(shè)置波浪周期分別為1 s、2 s、3 s、4 s，當(dāng)波浪周期增大時(shí)，傳遞函數(shù)值下降速度增加，且出現(xiàn)負(fù)值。如圖3所示，固定波浪周期為2 s、鉸鏈深度為5 m，設(shè)置水深分別為5 m、10 m、15 m、20 m，隨著水深的增加，低模態(tài)傳遞函數(shù)值減小，但在3～10 階的較高模態(tài)下，傳遞函數(shù)與水深成正比。如圖4所示，固定波浪周期為2 s、水深為10 m，設(shè)置鉸鏈深度分別為5 m、10 m、15 m、20 m，一階和二階模態(tài)下，鉸鏈深度越大，傳遞函數(shù)越小。比較結(jié)果顯示，非傳播模態(tài)傳遞函數(shù)隨著波浪周期和鉸鏈深度的變化更為明顯。

圖3 不同水深下傳遞函數(shù)隨模態(tài)的變化曲線

圖4 不同鉸鏈深度下傳遞函數(shù)隨模態(tài)的變化曲線

當(dāng)0 階模態(tài)時(shí)，C0接近它的極限值2，隨著模態(tài)數(shù)的增加，傳遞函數(shù)在模態(tài)數(shù)較小時(shí)下降明顯，當(dāng)模態(tài)大于4 階時(shí)，其值逐漸趨近于零，即當(dāng)模態(tài)為10 解以上時(shí)，非傳播模態(tài)傳遞函數(shù)差別不大，因此在實(shí)際計(jì)算非傳播模態(tài)時(shí)，取階數(shù)為10即可滿足精度要求。

2 二維波浪主動(dòng)吸收理論

采用力反饋式主動(dòng)吸收系統(tǒng)，根據(jù)造波板處的力傳感器所采集到的波浪力數(shù)據(jù)，實(shí)時(shí)修正造波控制信號(hào)，以達(dá)到消除二次反射波的效果[9]。

該文主動(dòng)吸收理論只研究波浪的前進(jìn)模態(tài)，不考慮非傳播模態(tài)。假設(shè)原始目標(biāo)波速度勢(shì)為Φg，運(yùn)動(dòng)至造波機(jī)對(duì)面的池壁或物理模型時(shí)產(chǎn)生與入射波周期相同、方向相反、波高衰減的反射波Φr，反射波傳播到波板時(shí)再次發(fā)生反射，產(chǎn)生與入射波周期相同、方向相同、波高不同的二次反射波Φrr，同時(shí)對(duì)波板施加一個(gè)波浪力。假設(shè)在造波板處發(fā)生完全反射，即反射波和二次反射波在波板處形成一個(gè)反節(jié)點(diǎn)，二者疊加相抵消，因此在波板處物面條件僅適用于Φg。

根據(jù)以上結(jié)果，可得到反射波和二次反射波，且滿足水底條件和自由水面條件。

上式中An是第n個(gè)組分波浪的復(fù)振幅，c.c代表行進(jìn)波的復(fù)共軛，根據(jù)之前的假設(shè)得,(n=1,2...N)。

對(duì)每一種波浪組分的三種速度勢(shì)求和，且根據(jù)波板的復(fù)速度與位移幅值的關(guān)系Un=iωXn，用波板的復(fù)速度代替位移幅值。

因?yàn)棣礸的前進(jìn)項(xiàng)與Φr相抵消，所以上式第二項(xiàng)為0，可知造波板速度與反射波、二次反射波波幅的關(guān)系

力反饋式主動(dòng)吸收系統(tǒng)多采用干背式造波機(jī)，即在造波板背面沒(méi)有池水，有利于力傳感器監(jiān)測(cè)造波板的受力狀態(tài)，根據(jù)線性伯努利方程，整個(gè)波浪場(chǎng)施加給造波板的一階壓強(qiáng)表達(dá)式如下。

式（24）中ρ是流體的密度，等式右邊第一項(xiàng)為非定常項(xiàng)，該項(xiàng)產(chǎn)生一階動(dòng)壓；第二項(xiàng)為流體水靜力項(xiàng)，該項(xiàng)產(chǎn)生一個(gè)恒定的靜壓，靜壓通常大于動(dòng)壓。

對(duì)速度勢(shì)取時(shí)間導(dǎo)數(shù)，代入式（24）中，計(jì)算在x=0處施加給波板的瞬時(shí)壓強(qiáng)。

對(duì)波板表面的壓強(qiáng)進(jìn)行積分，則作用在造波板上的扭矩為

將上式中Ar用Un代替，以得到波板速度與扭矩的關(guān)系。

將n個(gè)不同組分的規(guī)則波的扭矩疊加求和，則不規(guī)則波的扭矩為

3 三維波浪主動(dòng)吸收理論

3.1 斜向波

推板式和搖板式蛇形造波機(jī)都是一種分段式造波機(jī)，用于生成多向不規(guī)則波，它廣泛應(yīng)用于于海洋水文參數(shù)測(cè)量系統(tǒng)、海洋能發(fā)電裝置等海洋工程裝備模型樣機(jī)的陸地實(shí)驗(yàn)及海洋科學(xué)實(shí)驗(yàn)。在三維無(wú)反射數(shù)值水槽中，可以很好地模擬波浪與浮體的相互作用問(wèn)題[10]。三維波浪吸收理論是在二維波浪吸收理論的基礎(chǔ)上考慮造波機(jī)布置的方向即y軸方向，根據(jù)三個(gè)三維速度勢(shì)求解作用在造波板上的三維流體力。假設(shè)造波機(jī)無(wú)限寬度，不考慮造波機(jī)的邊界限制。對(duì)于分段式造波機(jī)，通過(guò)控制造波機(jī)相鄰板間的相位差可以產(chǎn)生斜向傳播的波浪，計(jì)算單向的不規(guī)則波，θ為斜向波的方向[11]。

斜向浪的目標(biāo)波、反射波、二次反射波的速度勢(shì)形式如下。

采用與二維流體力相同的求法，可得斜向波的扭矩為

將n個(gè)不同組分的三維規(guī)則波的扭矩疊加求和，則三維不規(guī)則波的扭矩為

在斜向波浪作用下，造波板單位寬度上的動(dòng)壓力是空間y和時(shí)間t的周期函數(shù)。

3.2 多向波

分段式造波機(jī)每塊造波板都是獨(dú)立的驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)，都帶有相同的液壓伺服控制系統(tǒng)，整臺(tái)造波機(jī)由多個(gè)子系統(tǒng)組成，且相對(duì)獨(dú)立工作[12]。對(duì)于多向的不規(guī)則波，造波板有相位滯后εn，第n個(gè)斜向組成波的方向?yàn)棣萵。

根據(jù)線性疊加理論，海面上任一點(diǎn)處波浪可表示成不同頻率和方向規(guī)則波浪的線性疊加[13-14]。將n個(gè)不同組分的三維斜向規(guī)則波的扭矩疊加求和，則三維多向不規(guī)則波的扭矩為

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)分析水池波浪場(chǎng)中存在的3 種不同波浪成分，對(duì)搖板式造波機(jī)的力反饋式主動(dòng)吸收系統(tǒng)進(jìn)行了理論研究?；趧?shì)流理論對(duì)干背式搖板造波條件下造波板速度勢(shì)解和壓強(qiáng)的分布特性進(jìn)行研究，并針對(duì)主動(dòng)吸收問(wèn)題，通過(guò)水動(dòng)力分析，利用規(guī)則波的單頻率特性和不規(guī)則波的多頻率特性，得到波浪作用于造波板上的扭矩的計(jì)算方法。該文研究的單向、多向、規(guī)則、不規(guī)則波的一階扭矩可作為開發(fā)造波機(jī)多方向吸收系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)，該理論推導(dǎo)將水池內(nèi)波浪的運(yùn)動(dòng)與造波板的運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來(lái)，在理論上證明了力反饋式造波機(jī)主動(dòng)吸收系統(tǒng)對(duì)于吸收二次反射波的可行性和有效性。但是該文推導(dǎo)的主動(dòng)吸收理論和技術(shù)主要基于一階線性造波理論，未考慮非線性因素在二階Stokes 波中的影響，在應(yīng)對(duì)非線性波的吸收時(shí)存在局限性，未來(lái)研究基于二階造波理論的主動(dòng)吸收理論是發(fā)展方向。