小學(xué)數(shù)學(xué)協(xié)作學(xué)習(xí)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)范式構(gòu)建研究
——基于認(rèn)知心理學(xué)和協(xié)作學(xué)習(xí)理論

陳發(fā)軍 張曼姿

(1.廣東教育研究院，廣東 廣州 510030；2.廣州市第十六中學(xué)東華實(shí)驗(yàn)學(xué)校，廣東 廣州 510100)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》在各學(xué)段安排了四個(gè)部分的課程內(nèi)容：“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”，其課程目標(biāo)從知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度等四個(gè)方面進(jìn)行闡述。根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)低年級(jí)和高年級(jí)的課程內(nèi)容和目標(biāo)，運(yùn)用認(rèn)知心理學(xué)理論，構(gòu)建了概念教學(xué)、運(yùn)算教學(xué)、操作技能教學(xué)、統(tǒng)計(jì)概率教學(xué)、解決問(wèn)題教學(xué)等五大類課型的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)范式。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)協(xié)作學(xué)習(xí)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)范式構(gòu)建的理論基礎(chǔ)

1.認(rèn)知心理學(xué)理論

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)把個(gè)體的知識(shí)分為兩類：一類為陳述性知識(shí)，另一類為程序性知識(shí)。陳述性知識(shí)是個(gè)人有意識(shí)地提取線索，因而能直接陳述的知識(shí)；程序性知識(shí)是個(gè)人沒(méi)有有意識(shí)地提取線索，只能借助某種作業(yè)形式間接推測(cè)其存在的知識(shí)，它主要用來(lái)解決怎么辦的問(wèn)題。[1]

陳述性知識(shí)能用多種不同的方式來(lái)表征信息，安德森(Anderson，1983，1993)提出了三種不同類型的組塊，每一種組塊都儲(chǔ)存了不同類型的信息：(1)時(shí)間序列；(2)表象；(3)命題。[2]時(shí)間序列保存的是我們對(duì)事情發(fā)生的時(shí)序和順序的知覺(jué)。表象是表征物體所在空間位置的信息組塊。表象與我們的視知覺(jué)緊密聯(lián)系，當(dāng)我們知覺(jué)某項(xiàng)經(jīng)驗(yàn)的重要方面為空間關(guān)系時(shí)，我們往往將信息貯存為表象。命題是一種基于語(yǔ)言的表征，它儲(chǔ)存了一個(gè)信息組塊中至少兩個(gè)元素間的語(yǔ)義聯(lián)系。陳述性知識(shí)主要以命題網(wǎng)絡(luò)或圖式表征，命題網(wǎng)絡(luò)是多個(gè)命題通過(guò)共同成分彼此聯(lián)系以層次結(jié)構(gòu)的形式貯存。圖式是根據(jù)客體的一組屬性組合表征一類客體的結(jié)構(gòu)。它是人在某特定領(lǐng)域中擁有的、有組織的及有內(nèi)在聯(lián)系的陳述性知識(shí)的記憶結(jié)構(gòu)。[2]圖式包括自然范疇的圖式、腳本、文本圖式三種類型。陳述性知識(shí)學(xué)習(xí)包括符號(hào)表征學(xué)習(xí)、概念學(xué)習(xí)和命題學(xué)習(xí)。符號(hào)表征學(xué)習(xí)，指學(xué)習(xí)單個(gè)符號(hào)或一組符號(hào)的意義。課程標(biāo)準(zhǔn)中提出要注重發(fā)展學(xué)生符號(hào)意識(shí)，“符號(hào)意識(shí)主要是指能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律；知道使用符號(hào)可以進(jìn)行運(yùn)算和推理，得到的結(jié)論具有一般性。建立符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生理解符號(hào)的使用是數(shù)學(xué)表達(dá)和進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要形式。”[3]符號(hào)表征學(xué)習(xí)是貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程之中的，那就是數(shù)學(xué)符號(hào)與它們所代表的數(shù)學(xué)意義在學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中建立相應(yīng)的等值關(guān)系，以此為基礎(chǔ)進(jìn)入命題學(xué)習(xí)，也就是學(xué)習(xí)若干事物或性質(zhì)之間的關(guān)系。命題學(xué)習(xí)必須以概念學(xué)習(xí)為前提。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)是作為第一類課堂教學(xué)設(shè)計(jì)范式提出來(lái)的。

“運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題?！盵3]通過(guò)練習(xí)，運(yùn)算技能是能夠達(dá)到高度自動(dòng)化的程序性知識(shí)，因此，小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)應(yīng)該以自動(dòng)化程序性知識(shí)學(xué)習(xí)過(guò)程和條件為依據(jù)來(lái)設(shè)計(jì)課堂教學(xué)范式。

課程標(biāo)準(zhǔn)中提倡學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探索，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)和操作進(jìn)行驗(yàn)證、猜想和推理。操作技能屬于程序性知識(shí)中的動(dòng)作技能，動(dòng)作技能同樣能夠通過(guò)練習(xí)達(dá)到高度自動(dòng)化程度。小學(xué)數(shù)學(xué)課程中，特別是在圖形與幾何的學(xué)習(xí)方面，學(xué)生要掌握測(cè)量和畫圖、圖形平移和旋轉(zhuǎn)、圖形投影和視圖等操作技能，經(jīng)歷借助圖形思考問(wèn)題的過(guò)程，建立幾何直觀。這類操作技能應(yīng)以動(dòng)作技能的程序性知識(shí)學(xué)習(xí)原理進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。

課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)于小學(xué)階段“統(tǒng)計(jì)與概率”的目標(biāo)為：能對(duì)調(diào)查過(guò)程中獲得的簡(jiǎn)單數(shù)據(jù)進(jìn)行歸類，體驗(yàn)和認(rèn)識(shí)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)涵著信息，發(fā)展數(shù)據(jù)分析觀念；經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理和分析的過(guò)程，掌握一些簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)處理技能；體驗(yàn)隨機(jī)事件和事件發(fā)生的可能性，通過(guò)實(shí)例感受簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象；能借助計(jì)算器解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題。在此過(guò)程中，通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想、驗(yàn)證等活動(dòng)，發(fā)展合情推理能力。這類學(xué)習(xí)更接近于探究性學(xué)習(xí)，或者說(shuō)是準(zhǔn)科學(xué)研究范式的學(xué)習(xí)，在加涅的認(rèn)知結(jié)果分類中屬于認(rèn)知策略。認(rèn)知策略屬于智慧技能，認(rèn)知心理學(xué)將智慧技能分為兩個(gè)亞類：一類用于對(duì)外辦事，一類用于對(duì)內(nèi)調(diào)控。認(rèn)知策略是學(xué)習(xí)者用以支配自己的心智加工過(guò)程而組織起來(lái)的智能。同時(shí)加涅認(rèn)為程序性知識(shí)分為兩個(gè)亞類：一類通過(guò)練習(xí)，其運(yùn)用能達(dá)到相對(duì)自動(dòng)化程度，很少或不需要受意識(shí)控制；另一類一般是受意識(shí)控制的，其運(yùn)用難以達(dá)到自動(dòng)化程度。前一類可與加涅的智慧技能大體對(duì)應(yīng)(也包括動(dòng)作技能)；后一類與加涅的認(rèn)知策略大體對(duì)應(yīng)。前一類程序性知識(shí)譬如運(yùn)算、閱讀、書寫以及動(dòng)作技能類的例如舞蹈、駕駛、球類運(yùn)動(dòng)等。后一類程序性知識(shí)，或者說(shuō)認(rèn)知策略，例如寫作策略、閱讀策略等，這些認(rèn)知策略需要學(xué)生的反省認(rèn)知，“認(rèn)知策略的習(xí)得不僅包括具體方法、技術(shù)的掌握，還要學(xué)會(huì)監(jiān)控自己的策略執(zhí)行情況，并了解不同策略適用的條件或情境”。因此，統(tǒng)計(jì)與概率課堂教學(xué)設(shè)計(jì)主要運(yùn)用認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)原理加以構(gòu)建。

美國(guó)心理學(xué)家紐厄爾與西蒙認(rèn)為：“問(wèn)題是這樣一種情景，個(gè)體想做某件事，但不能即刻知道做這件事所采取的一系列行動(dòng)?！睆埓号d(1998)解釋為“個(gè)人在有目的待追求而尚未找到適當(dāng)手段時(shí)感到的心理困境。”問(wèn)題皆可用問(wèn)題空間、初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和算子加以描述?！八^問(wèn)題空間，是問(wèn)題解決者內(nèi)部(或心理)對(duì)問(wèn)題解決的表征，包括初始狀態(tài)、當(dāng)前狀態(tài)和目標(biāo)狀態(tài)，還包括使問(wèn)題從一種狀態(tài)改變?yōu)榱硪环N狀態(tài)的算子?！盵4]因此問(wèn)題空間是一種心理空間，它可外化為對(duì)問(wèn)題各種狀態(tài)和心理或行為上的操作。[5]信息加工心理學(xué)家一般把解決問(wèn)題過(guò)程分解為問(wèn)題表征、設(shè)計(jì)解題計(jì)劃、執(zhí)行解題計(jì)劃和監(jiān)控四個(gè)步驟。問(wèn)題表征指形成問(wèn)題空間，包括明確問(wèn)題的給定條件、目標(biāo)和允許的操作。事實(shí)上，問(wèn)題表征也就是我們通常所說(shuō)的“審題”，換言之，就是理解題意的過(guò)程。設(shè)計(jì)解題計(jì)劃指確定解題的步驟和方法，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行重新表述，使之更加接近學(xué)科能夠解決的問(wèn)題，建立問(wèn)題的目標(biāo)、子目標(biāo)及其層次結(jié)構(gòu)。執(zhí)行解題計(jì)劃指運(yùn)用學(xué)科知識(shí)采取一系列行動(dòng)貫徹解題計(jì)劃，如運(yùn)用公理、定理、定律等進(jìn)行運(yùn)算或其他操作。監(jiān)控指問(wèn)題解決者對(duì)自己的思維過(guò)程進(jìn)行判斷和評(píng)價(jià)，分析和反思問(wèn)題解決的行動(dòng)過(guò)程是否恰當(dāng)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在問(wèn)題解決總目標(biāo)方面是這樣闡述的：初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力；獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)；學(xué)會(huì)與他人合作交流；初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)。小學(xué)階段的問(wèn)題解決主要培養(yǎng)學(xué)生以下能力：嘗試從日常生活中發(fā)現(xiàn)并提出簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并運(yùn)用一些知識(shí)加以解決；能探索分析和解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的有效方法，了解解決問(wèn)題方法的多樣性；經(jīng)歷與他人合作交流解決問(wèn)題的過(guò)程，嘗試解釋自己的思考過(guò)程。從課程標(biāo)準(zhǔn)和認(rèn)知心理學(xué)角度看待小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，可以看出學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力可以分解為應(yīng)用三類知識(shí)的能力：?jiǎn)栴}表征，即問(wèn)題的表層和深層理解需要陳述性知識(shí)，涉及語(yǔ)詞知識(shí)、事實(shí)知識(shí)和問(wèn)題類型知識(shí)；解題計(jì)劃的執(zhí)行需要程序性知識(shí)，主要為運(yùn)算技能；解題計(jì)劃的設(shè)計(jì)與監(jiān)控需要運(yùn)用策略性知識(shí)，包括反省認(rèn)知知識(shí)?？梢哉f(shuō)，問(wèn)題解決的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)范式要綜合運(yùn)用到認(rèn)知心理學(xué)中三類知識(shí)(包括動(dòng)作技能)的學(xué)習(xí)原理。

2.協(xié)作學(xué)習(xí)理論

建構(gòu)主義認(rèn)為：學(xué)生與其環(huán)境，尤其是與其環(huán)境中的他人的互動(dòng)，會(huì)影響他們所形成的理解類型。因此，應(yīng)允許學(xué)生對(duì)問(wèn)題的不同觀點(diǎn)展開(kāi)辯論；學(xué)生需要學(xué)會(huì)使用技術(shù)的能力，以便拓展自己解決問(wèn)題的能力；學(xué)生需參與到合作解決問(wèn)題的活動(dòng)中，特別是那些要求學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)貢獻(xiàn)其不同專長(zhǎng)的活動(dòng)；學(xué)習(xí)的經(jīng)歷應(yīng)延伸至學(xué)生所處的群體。[2]教師需要?jiǎng)?chuàng)設(shè)情境讓學(xué)生有機(jī)會(huì)與成年人和同伴一起學(xué)習(xí)而建構(gòu)理解，達(dá)到此目的的一個(gè)途徑是通過(guò)在學(xué)生學(xué)習(xí)或解決問(wèn)題時(shí)，提供支架來(lái)創(chuàng)設(shè)與成人或同伴共同學(xué)習(xí)的問(wèn)題解決或?qū)W習(xí)情境；另外一個(gè)途徑是創(chuàng)設(shè)諸如合作學(xué)習(xí)等小組學(xué)習(xí)情境。協(xié)作學(xué)習(xí)(Cooperative Leaning)也稱為合作學(xué)習(xí)，它是學(xué)生一起工作完成共享目標(biāo)的學(xué)習(xí)方式。有效合作學(xué)習(xí)的方法有五個(gè)共同的特征：有效的合作學(xué)習(xí)中，學(xué)生分配在小組中共同工作，面對(duì)面互動(dòng)，從而達(dá)到個(gè)人的目標(biāo)和小組的目標(biāo)；有效的合作學(xué)習(xí)會(huì)促進(jìn)積極的相互依賴感，學(xué)生相信必須通過(guò)彼此幫助才能取得成功；有效的合作學(xué)習(xí)賦予每個(gè)個(gè)體以責(zé)任，教師通過(guò)測(cè)驗(yàn)每個(gè)個(gè)體或者讓他們負(fù)責(zé)部分項(xiàng)目來(lái)激發(fā)他們的個(gè)人責(zé)任感；在有效的合作學(xué)習(xí)中，學(xué)生在與他人互動(dòng)時(shí)學(xué)習(xí)使用適當(dāng)?shù)纳鐣?huì)技能。當(dāng)你使用合作學(xué)習(xí)的方式進(jìn)行教學(xué)時(shí)，不僅要幫助學(xué)生達(dá)到學(xué)業(yè)目標(biāo)，也要幫助他們學(xué)會(huì)在小組中更為有效地互動(dòng)；有效的合作學(xué)習(xí)要給學(xué)生時(shí)間讓他們討論小組的運(yùn)作技能，讓他們思考如何能夠合作得更好以及未來(lái)如何改進(jìn)這種合作。合作學(xué)習(xí)類型有學(xué)習(xí)小組成就區(qū)分法、組合閱讀以及小組探究等。[2]

二、小學(xué)數(shù)學(xué)五大類型課堂教學(xué)設(shè)計(jì)范式

“教學(xué)設(shè)計(jì)是面向教學(xué)系統(tǒng)、解決教學(xué)問(wèn)題的一種特殊的設(shè)計(jì)活動(dòng)，是運(yùn)用現(xiàn)代學(xué)習(xí)論和教育心理學(xué)、傳播學(xué)、教學(xué)媒體論等相關(guān)的理論與技術(shù)，分析教學(xué)中的問(wèn)題和需要，設(shè)計(jì)解決方法，試行解決方法，評(píng)價(jià)試行結(jié)果并對(duì)評(píng)價(jià)手段、活動(dòng)等進(jìn)行總體規(guī)劃的過(guò)程?！盵6]“教學(xué)設(shè)計(jì)是指教師對(duì)課堂教學(xué)的內(nèi)容、方法、手段、活動(dòng)等進(jìn)行總體規(guī)劃的過(guò)程?！盵7]奚定華(2001)認(rèn)為“數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)是以數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)論、數(shù)學(xué)教學(xué)論等理論為基礎(chǔ)，運(yùn)用系統(tǒng)方法分析數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題、確定教學(xué)目標(biāo)，設(shè)計(jì)解決數(shù)學(xué)教學(xué)問(wèn)題的策略方案、試行方案，評(píng)價(jià)試行結(jié)果和修改方案的過(guò)程?！薄靶W(xué)數(shù)學(xué)教師依據(jù)數(shù)學(xué)教學(xué)論和學(xué)習(xí)論，針對(duì)小學(xué)生及小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)際，用系統(tǒng)的方法將數(shù)學(xué)教學(xué)中各要素組織起來(lái)，制訂完整的教學(xué)方案，包括確立教學(xué)目標(biāo)、選擇教學(xué)內(nèi)容、設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程等，用以指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐，更好地解決教學(xué)中的問(wèn)題?！盵8]“小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)不僅要關(guān)注教師、學(xué)生、內(nèi)容、環(huán)境、方法等因素，同時(shí)還需考慮教學(xué)觀、學(xué)生觀、數(shù)學(xué)觀等不同的視角，是一項(xiàng)較為復(fù)雜的系統(tǒng)過(guò)程?！盵9]“教學(xué)設(shè)計(jì)是由目標(biāo)設(shè)計(jì)、達(dá)成目標(biāo)的諸要素的分析與設(shè)計(jì)、教學(xué)效果的評(píng)價(jià)所構(gòu)成的有機(jī)整體?！盵10]何小軍(2016)指出小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)由6個(gè)基本要素和7個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成，即：目標(biāo)設(shè)計(jì)、情景設(shè)計(jì)、問(wèn)題設(shè)計(jì)、組織設(shè)計(jì)、習(xí)題設(shè)計(jì)和信息技術(shù)設(shè)計(jì)6個(gè)基本要素，明確目標(biāo)—尋找聯(lián)系—嘗試?yán)斫狻疃壤斫狻故痉窒怼獙?shí)踐反饋—小結(jié)反思7個(gè)環(huán)節(jié)。王光明、康明媛(2014)等人從“學(xué)”的角度出發(fā)，指出教學(xué)設(shè)計(jì)包括“學(xué)什么”、“怎么學(xué)”和“學(xué)得怎么樣”三個(gè)具體要素，明確指出分析、設(shè)計(jì)與反思三大系統(tǒng)。

通常認(rèn)為，范式的基本含義有：某一學(xué)科或相關(guān)聯(lián)的科學(xué)領(lǐng)域即“科學(xué)共同體”所具有的共同的基本理念，包括中心觀點(diǎn)和價(jià)值取向；以這種共同理念為基礎(chǔ)，形成科學(xué)共同體的行為規(guī)則、模式；具有公認(rèn)的研究問(wèn)題和解決問(wèn)題的方法和框架；有十分典型的范例作為模板或者典范。也就是說(shuō)，范式就是科學(xué)共同體所共有和公認(rèn)的一套規(guī)則。庫(kù)恩“范式”是指一個(gè)科學(xué)共同體在某一專業(yè)或?qū)W科中所具有的共同信念，這種信念支撐了一系列的基本觀點(diǎn)、基本理論和基本方法，為科學(xué)提供了共同的理論框架和研究方法的集合體，并為整個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的發(fā)展規(guī)定了基本方向。在這里，范式是指解決某一類問(wèn)題的方法論，是將解決某類問(wèn)題的方法總結(jié)歸納到理論高度，成為公認(rèn)的模型或模式。

根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合認(rèn)知信息加工心理學(xué)和協(xié)作學(xué)習(xí)相關(guān)理論，提煉出小學(xué)數(shù)學(xué)五大類型知識(shí)或技能的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)操作程序，形成理論與方法的完整范式。

1.概念教學(xué)設(shè)計(jì)

概念是指符號(hào)所代表的具有共同關(guān)鍵特征的一類事物或性質(zhì)。概念是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，例如長(zhǎng)方形、平行四邊形、分?jǐn)?shù)、周長(zhǎng)、面積等概念，學(xué)生只有掌握了這些概念，才能學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的規(guī)則和高級(jí)規(guī)則(如公理、定律等)。概念學(xué)習(xí)方式分為兩類：概念形成和概念同化學(xué)習(xí)。

奧蘇泊爾的上位學(xué)習(xí)模式是概念形成教學(xué)的理論基礎(chǔ)。在教學(xué)時(shí)，教師先呈現(xiàn)概念的若干正例，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行辨別，讓學(xué)生獨(dú)立探究概念的本質(zhì)屬性；再通過(guò)小組協(xié)作，提出假設(shè)，并進(jìn)行檢驗(yàn)；再由小組用比較準(zhǔn)確的語(yǔ)言對(duì)概念的本質(zhì)特征進(jìn)行提煉和概括；最后教師再呈現(xiàn)一系列正反例證，通過(guò)變式練習(xí)，加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)特征的理解，納入學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中。

奧蘇泊爾的下位先行同化模式是概念同化教學(xué)的理論基礎(chǔ)。概念同化是從上位到下位的學(xué)習(xí)，其先決條件是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中具有同化下位概念的上位的一般概念。在教學(xué)時(shí)，教師復(fù)習(xí)原有相關(guān)概念，例如在學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)概念時(shí)，先復(fù)習(xí)分?jǐn)?shù)概念，然后呈現(xiàn)百分?jǐn)?shù)的幾個(gè)例證，讓學(xué)生先獨(dú)立探究百分?jǐn)?shù)的分母為100的關(guān)鍵屬性，再由小組協(xié)作概括出新概念，通過(guò)正反例證將百分?jǐn)?shù)的概念同化到分?jǐn)?shù)的下位概念的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中。兩類概念學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)范式見(jiàn)圖1。

圖1 概念學(xué)習(xí)的教學(xué)設(shè)計(jì)范式

2.運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)

運(yùn)算能力主要是指能夠根據(jù)法則和運(yùn)算律正確地進(jìn)行運(yùn)算的能力。培養(yǎng)運(yùn)算能力有助于學(xué)生理解運(yùn)算的算理，尋求合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑解決問(wèn)題。[3]運(yùn)算能夠幫助學(xué)生建立數(shù)感和符號(hào)意識(shí)，初步發(fā)展抽象思維。

根據(jù)皮亞杰對(duì)認(rèn)知發(fā)展過(guò)程四個(gè)階段的劃分，7—11歲的兒童處于具體運(yùn)算階段，對(duì)于小學(xué)一年級(jí)兒童而言，正好是學(xué)生從前運(yùn)算階段向具體運(yùn)算階段發(fā)展的時(shí)期。前運(yùn)算階段兒童的象征性思維能力(即符號(hào)功能)已經(jīng)有了較成熟的發(fā)展，也就是說(shuō)“他們現(xiàn)在能夠運(yùn)用心理符號(hào)來(lái)表征這些體驗(yàn)，在兒童的許多行為模式中，包括延遲模仿和象征性游戲中，都可看到這種符號(hào)功能的發(fā)展。”[2]運(yùn)算是一種能使兒童對(duì)其體驗(yàn)進(jìn)行邏輯推理的內(nèi)化的認(rèn)知行為，處于前運(yùn)算階段的兒童還未發(fā)展出運(yùn)算的邏輯，相反，他們只能依靠直覺(jué)和知覺(jué)。此階段兒童的推理活動(dòng)具有不可逆性、自我中心主義以及中心化這些局限。具體運(yùn)算階段兒童的思維已不受自我中心主義、不可逆性和中心化的影響，具體運(yùn)算是指作用于物質(zhì)對(duì)象的那類心理活動(dòng)及兒童是如何開(kāi)始理解客觀現(xiàn)實(shí)的性質(zhì)的，而守恒、序列化以及分類規(guī)則是這類具體運(yùn)算的一些重要特征。

小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的低年段要求兒童能夠從日常生活經(jīng)歷中抽象出數(shù)的過(guò)程，理解萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的意義，初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和小數(shù)，掌握必要的運(yùn)算技能，能準(zhǔn)確進(jìn)行運(yùn)算，能夠在具體情境中，選擇適當(dāng)?shù)膯挝?，并能夠進(jìn)行簡(jiǎn)單的估算。到高年段則要求能從具體情境中抽象出數(shù)的過(guò)程，認(rèn)識(shí)萬(wàn)以上的數(shù)，理解分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)、負(fù)數(shù)的意義，理解估算的意義，能用方程表示簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系，能解簡(jiǎn)單的方程。因此，對(duì)于小學(xué)的運(yùn)算教學(xué)，應(yīng)該從兒童的心理發(fā)展階段出發(fā)，通過(guò)具體事物的操作，抽象出數(shù)的概念和進(jìn)行符號(hào)的運(yùn)算，剛開(kāi)始兒童必須要利用具體事物形象來(lái)輔助進(jìn)行運(yùn)算，這種具體事物類似于支架式教學(xué)，再通過(guò)變式練習(xí)，逐步脫離具體事物，發(fā)展到能夠直接運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，以至達(dá)到熟練和自動(dòng)化水平。

運(yùn)算的教學(xué)設(shè)計(jì)以學(xué)生的心理過(guò)程為基礎(chǔ)，首先是設(shè)計(jì)生活情境，讓學(xué)生運(yùn)用具體事物(圖像)來(lái)解決問(wèn)題，在教師的引導(dǎo)下，讓孩子一步一步獨(dú)立操作運(yùn)算過(guò)程，直至獲得結(jié)果。再引入類似的數(shù)學(xué)情境，讓孩子們分組一起協(xié)作完成操作運(yùn)算，在協(xié)作中找到最優(yōu)的運(yùn)算方法。最后，將這些運(yùn)算方法遷移到其他數(shù)學(xué)情境中。具體事物操作運(yùn)算過(guò)程中，引出數(shù)學(xué)符號(hào)，并與活動(dòng)相對(duì)應(yīng)地逐步進(jìn)行抽象符號(hào)的運(yùn)算。符號(hào)運(yùn)算教學(xué)剛開(kāi)始是用陳述性知識(shí)的教學(xué)方法，在教師的示范下，讓孩子按照運(yùn)算步驟一步一步操作，并且讓孩子以出聲的語(yǔ)言，對(duì)自己的思維過(guò)程進(jìn)行描述，從而監(jiān)控自己的運(yùn)算行為。通過(guò)這種方式，強(qiáng)化練習(xí)，直至學(xué)生能夠?qū)⑦\(yùn)算步驟聯(lián)結(jié)連鎖，完成運(yùn)算自動(dòng)化。運(yùn)算的教學(xué)設(shè)計(jì)范式見(jiàn)圖2。

圖2 運(yùn)算教學(xué)設(shè)計(jì)范式

3.操作技能教學(xué)設(shè)計(jì)

操作技能是指學(xué)生能夠正確運(yùn)用工具和材料，熟練地按照任務(wù)要求和程序完成目標(biāo)活動(dòng)的程序性知識(shí)。小學(xué)階段數(shù)學(xué)要求學(xué)生掌握的操作技能主要有：測(cè)量、畫圖、圖形移動(dòng)、投影以及一些數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐課程中的變換操作。數(shù)學(xué)操作能夠讓孩子通過(guò)具體的形象支撐，綜合運(yùn)用觸覺(jué)、視覺(jué)等多渠道感知系統(tǒng)，逐步經(jīng)歷從具體形象思維到抽象邏輯思維的提升過(guò)程，感受幾何直觀，形成空間觀念。在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決問(wèn)題過(guò)程中，學(xué)生還可以通過(guò)畫示意圖的方式，將數(shù)學(xué)過(guò)程正確地進(jìn)行外部表征，從而正確地判斷位置、數(shù)量關(guān)系，把握數(shù)學(xué)相關(guān)量的關(guān)系和計(jì)算應(yīng)用條件，順利地解決問(wèn)題。

操作技能的學(xué)習(xí)依據(jù)動(dòng)作技能形成的心理過(guò)程進(jìn)行設(shè)計(jì)。以畫圓為例，首先是教師示范過(guò)程，正確使用圓規(guī)，讓學(xué)生對(duì)教師的示范過(guò)程進(jìn)行視覺(jué)編碼，在此過(guò)程中，教師邊示范，邊運(yùn)用語(yǔ)言陳述操作的步驟。示范完成后，讓學(xué)生模仿教師的操作過(guò)程，可以讓學(xué)生邊操作邊用出聲語(yǔ)言說(shuō)出自己的操作過(guò)程。小組協(xié)作過(guò)程中，可以讓學(xué)生展示自己的操作過(guò)程，讓同伴觀察并糾正。對(duì)于比較復(fù)雜的操作，教師需要將復(fù)雜的動(dòng)作分解為幾組簡(jiǎn)單的動(dòng)作，分別示范，讓學(xué)生模仿。當(dāng)幾組簡(jiǎn)單動(dòng)作能夠較為熟練掌握時(shí)，再將幾組動(dòng)作聯(lián)結(jié)起來(lái)，加強(qiáng)練習(xí)，直至達(dá)到自動(dòng)化水平。操作技能的教學(xué)設(shè)計(jì)范式見(jiàn)圖3。

圖3 操作技能教學(xué)設(shè)計(jì)范式

4.統(tǒng)計(jì)概率教學(xué)設(shè)計(jì)

統(tǒng)計(jì)概率的教學(xué)設(shè)計(jì)主要依據(jù)加涅關(guān)于認(rèn)知策略學(xué)習(xí)的心理過(guò)程來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)。認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)需要學(xué)生能夠清晰地監(jiān)控自己的思維過(guò)程。以“單手投球遠(yuǎn)還是雙手投球遠(yuǎn)”教學(xué)為例，首先要讓學(xué)生明確問(wèn)題與目標(biāo)，該教學(xué)要學(xué)生能夠根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)推斷結(jié)論。教學(xué)過(guò)程可以通過(guò)真實(shí)情境設(shè)計(jì)，讓學(xué)生分組，小組的每個(gè)學(xué)生實(shí)踐操作，測(cè)量、記錄和比較每個(gè)人的兩個(gè)數(shù)據(jù)。教師可以先行示范，設(shè)計(jì)記錄的表格。小組再根據(jù)數(shù)據(jù)共同協(xié)作完成數(shù)據(jù)記錄，然后根據(jù)表格的數(shù)據(jù)在方格子上畫條形圖。畫條形圖的重點(diǎn)是讓學(xué)生自己嘗試著建立坐標(biāo)縱軸的刻度范圍，這個(gè)過(guò)程可以讓小組的學(xué)生獨(dú)立完成，給予他們嘗試的機(jī)會(huì)。每個(gè)學(xué)生畫出的圖形呈現(xiàn)的效果肯定會(huì)有所不同，教師可以提醒學(xué)生在組內(nèi)先進(jìn)行討論和比較，分析數(shù)據(jù)，進(jìn)行合情推理，驗(yàn)證自己的假設(shè)。學(xué)生在此過(guò)程中，既有獨(dú)立探究的活動(dòng)，也有協(xié)作活動(dòng)。同時(shí)要求學(xué)生在即將完成活動(dòng)時(shí)，要對(duì)自己的思維和操作過(guò)程重新描述和梳理，以增強(qiáng)學(xué)生元認(rèn)知監(jiān)控能力。認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)對(duì)于不同情境的遷移比較弱，因此，統(tǒng)計(jì)概率教學(xué)需要給出盡可能多的情境讓學(xué)生去探究。統(tǒng)計(jì)概率的教學(xué)設(shè)計(jì)范式見(jiàn)圖4。

圖4 統(tǒng)計(jì)概率教學(xué)設(shè)計(jì)范式

5.問(wèn)題解決教學(xué)設(shè)計(jì)

喬納森從問(wèn)題結(jié)構(gòu)維度出發(fā)，把教學(xué)問(wèn)題歸為良構(gòu)問(wèn)題，把現(xiàn)實(shí)生活問(wèn)題劃為劣構(gòu)問(wèn)題，而邏輯問(wèn)題則處于這兩類問(wèn)題中間，提出了以信息加工理論為基礎(chǔ)的良構(gòu)問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)模型和以建構(gòu)主義理論為基礎(chǔ)的劣構(gòu)問(wèn)題的教學(xué)設(shè)計(jì)模型。結(jié)構(gòu)良好的問(wèn)題解決教學(xué)步驟：復(fù)習(xí)概念、規(guī)則與原理;呈現(xiàn)問(wèn)題領(lǐng)域的概念模型或因果模型;出示樣例;呈現(xiàn)練習(xí)問(wèn)題;支持搜索解法;反思問(wèn)題狀態(tài)與問(wèn)題解法。結(jié)構(gòu)不良問(wèn)題的教學(xué)過(guò)程提出了從五個(gè)方面環(huán)節(jié)，幫助學(xué)生成為更好的問(wèn)題解決者：利用社會(huì)交互作用;在有意義的情境中呈現(xiàn)問(wèn)題;提供發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的練習(xí);為問(wèn)題解決新手提供支架;教一般問(wèn)題解決策略。問(wèn)題解決教學(xué)的一般過(guò)程應(yīng)該包括以下幾個(gè)環(huán)節(jié)：創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、提出問(wèn)題、提出假設(shè)、解決問(wèn)題、檢驗(yàn)假設(shè)、總結(jié)評(píng)價(jià)。[11]

對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)的問(wèn)題解決而言，要求學(xué)生能夠“初步學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力；學(xué)會(huì)與他人合作交流；初步形成評(píng)價(jià)與反思的意識(shí)；獲得分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一些基本方法，體驗(yàn)解決問(wèn)題方法的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)?！盵2]“數(shù)學(xué)問(wèn)題解決更強(qiáng)調(diào)真實(shí)情境，需要借助生活經(jīng)驗(yàn)，考慮生活情境或數(shù)學(xué)情境的因素，培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)可以幫助學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)，讓學(xué)生獲得與自己生活息息相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣?！盵12]通過(guò)問(wèn)題解決的教學(xué)，發(fā)展學(xué)生合情推理和演繹推理能力、數(shù)學(xué)模型思想、數(shù)學(xué)應(yīng)用和創(chuàng)新意識(shí)。

以小學(xué)數(shù)學(xué)《植樹(shù)問(wèn)題》為例來(lái)闡述問(wèn)題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)。[13]第一步，呈現(xiàn)生活情景。生活情景盡可能豐富，但也不能淹沒(méi)問(wèn)題的主題，更加強(qiáng)調(diào)現(xiàn)實(shí)背景。課堂引入，可以提問(wèn)“你們哪位同學(xué)家里有田地，或者房子前后有自家的自留地?”然后再詢問(wèn)這塊地大概有多長(zhǎng)？有多寬？這樣就把數(shù)學(xué)問(wèn)題變成了一個(gè)現(xiàn)實(shí)生活的情景。教師開(kāi)始設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果你家的田地長(zhǎng)100米，現(xiàn)在要種荔枝樹(shù)(以當(dāng)?shù)貙W(xué)生熟悉的樹(shù)木)，荔枝樹(shù)栽植的要求是每10米種植一棵，首尾都要種，那么一排能夠種植多少棵？第二步，請(qǐng)同學(xué)們先列數(shù)學(xué)式子和畫圖，讓孩子們先提出假設(shè)。先讓學(xué)生們自己通過(guò)畫線段圖、擺小棍等來(lái)獲取答案，再詢問(wèn)答案如何列出數(shù)學(xué)式子來(lái)表達(dá)，讓學(xué)生自己提出假設(shè)。這樣可以得到“全長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)度=間隔段數(shù)”，然后再根據(jù)示意圖得出“植樹(shù)數(shù)量=間隔段數(shù)+1”的數(shù)學(xué)表達(dá)式。第三步，變式檢驗(yàn)和驗(yàn)證假設(shè)。這里可以有兩種變式的方法，一是田地的總長(zhǎng)度不變，改變間隔長(zhǎng)度，如“如果現(xiàn)在改種芒果，芒果樹(shù)栽植的要求是每5米種植一棵，首尾都要種，那么一排能夠種植多少棵？”讓學(xué)生小組協(xié)作學(xué)習(xí)和討論，并讓學(xué)生自己再改變題目，在小組內(nèi)討論。二是間隔長(zhǎng)度不變，仍然是種荔枝，田地的總長(zhǎng)度改變，如改成總長(zhǎng)度為120米等。第四步，小組匯報(bào)，反思總結(jié)。各個(gè)小組分別展示自己創(chuàng)造的新題目、問(wèn)題解決過(guò)程與結(jié)論。通過(guò)展示，學(xué)生能夠?qū)ψ约禾岢鰡?wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程進(jìn)行反思，提升他們的元認(rèn)知監(jiān)控能力。問(wèn)題解決的教學(xué)設(shè)計(jì)范式見(jiàn)圖5。

圖5 問(wèn)題解決教學(xué)設(shè)計(jì)范式

問(wèn)題解決教學(xué)設(shè)計(jì)主要是考慮小學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和學(xué)習(xí)心理過(guò)程，學(xué)生需要從問(wèn)題情景的文字陳述中提煉和轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問(wèn)題，此時(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題停留在言語(yǔ)表征，為了能夠理解數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生需要通過(guò)具體實(shí)物、畫圖等方式，用視覺(jué)空間表征的方式將言語(yǔ)信息涉及的數(shù)學(xué)信息和參量表征出來(lái)，在圖示中標(biāo)明數(shù)學(xué)問(wèn)題的參量，形象直觀地理解各數(shù)學(xué)參量之間的關(guān)系，為抽象成數(shù)學(xué)表征提供“腳手架”，然后再根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)概念、規(guī)則建立數(shù)學(xué)模型進(jìn)行運(yùn)算操作。在此過(guò)程中，學(xué)生能夠發(fā)展合情推理、歸納推理、演繹推理等邏輯思維能力，初步發(fā)展數(shù)學(xué)模型思想，同時(shí)在假設(shè)、驗(yàn)證的探究過(guò)程中體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新和運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的快樂(lè)。

三、結(jié)語(yǔ)

小學(xué)數(shù)學(xué)協(xié)作學(xué)習(xí)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的五大類范式也只是對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)所涉及的幾大部分的課程內(nèi)容進(jìn)行了抽象的概括和提升，并建立了具有可操作性的程序和流程，不可能完全覆蓋整個(gè)小學(xué)數(shù)學(xué)課程的全部領(lǐng)域。同時(shí)范式是建立在理論和方法抽象的基礎(chǔ)上完成的，面對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)際教學(xué)，可以根據(jù)認(rèn)知心理學(xué)和協(xié)作學(xué)習(xí)理論模仿和創(chuàng)新出更多的范式變式。