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    具有l(wèi)ogistic增長的SIS傳染病模型動力學(xué)分析

    2022-09-23 00:44:30聶勇冰
    關(guān)鍵詞:尖點平衡點分支

    聶勇冰,侯 強

    (中北大學(xué) 理學(xué)院,山西 太原 030051)

    0 引 言

    文獻[1]利用函數(shù)h(I)=cI/(b+I)反映疾病治療的情況,提出以下傳染病模型:

    (1)

    作者利用穩(wěn)定性和分支理論,研究了平衡點的存在性、 穩(wěn)定性、 后向分支和Hopf分支等[1]. 文獻[2-12]深入研究了具有飽和治療函數(shù)的傳染病模型. 這些模型的人口輸入均是常數(shù)輸入,這與實際情況不是很吻合. 因此,本文基于Logistic出生和飽和治療項提出以下模型:

    (2)

    式中:S(t),I(t)分別為t時刻的易感者和染病者數(shù)量;r為內(nèi)稟增長率;k為環(huán)境容納量;β為有效接觸率;μ為自然恢復(fù)率;c為單位時間內(nèi)的最大治療量;b用來衡量飽和發(fā)生的時間,滿足h(b)=c/2;d為染病者的死亡率; 所有參數(shù)都是正的.

    本文主要研究模型(2)的可行域和平衡點的存在性、 穩(wěn)定性,以及模型的Hopf分支和B-T分支,并通過數(shù)值模擬來驗證理論結(jié)果.

    1 模型的基本結(jié)果

    根據(jù)模型(2)的第1個方程,可以得到

    對上述不等式積分,并代入初始條件,得

    類似地,根據(jù)模型(2)的第2個方程,可以得到

    因此,模型的解都是正的. 接下來考慮模型解的有界性,首先把模型(2)的兩個方程相加得到

    對于任意的實數(shù)λ,有

    其中,N=S+I.選擇一個正數(shù)λ,使得d-λ>0. 然后有

    (3)

    定理1模型(2)的正不變集為

    模型(2)有一個無病平衡點E0=(S0,0)=(k,0). 根據(jù)下一代生成矩陣[13],模型的基本再生數(shù)為

    (4)

    正平衡點滿足下列方程

    (5)

    令A(yù)1=B2-3AC,B1=BC-9AD,C1=C2-3BD,定義Δ是g(I)關(guān)于I的判別式.

    引理1當(dāng)R0≥1時,如果C>0那么B>0.

    d+μ)cr+4(μ+d)(-βk+d+μ)r≥

    B=2bβ2dk+(μ+d)(-βk+d+μ)r≥mC.

    根據(jù)引理1可以得到:

    1) 當(dāng)R0>1,C>0,B>0;C<0,B>0或C<0,B<0時,模型存在一個正平衡點.

    2) 當(dāng)R0=1,C>0,B>0時,模型不存在正平衡點;C<0時,模型存在一個正平衡點.

    3) 當(dāng)R0<1,C>0,B>0時,模型不存在正平衡點;C<0時,有下列幾種情況:

    a) 當(dāng)Δ>0時,模型不存在正平衡點.

    b) 當(dāng)Δ<0時,模型存在兩個正平衡點.

    c) 當(dāng)Δ=0時,模型存在一個正平衡點.

    根據(jù)以上分析,有以下定理:

    定理2對于模型(2)而言,無病平衡點E0始終存在.當(dāng)R0>1時,模型存在唯一的正平衡點E1(S1,I1); 當(dāng)R0=1,C<0時,模型存在唯一的正平衡點E2(S2,I2); 當(dāng)R0<1,C<0,Δ<0時,模型存在兩個正平衡點E3(S3,I3),E4(S4,I4),且當(dāng)Δ=0時,兩個正平衡點重合為一個正平衡點E*.

    2 平衡點的穩(wěn)定性

    2.1 無病平衡點的穩(wěn)定性

    在無病平衡點E0(k,0)處,模型(2)的Jacobian矩陣為

    特征方程為

    (6)

    通過分析,可以得到以下定理:

    定理3當(dāng)R0<1時,無病平衡點是局部漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)R0>1時,無病平衡點是不穩(wěn)定的.

    2.2 正平衡點的穩(wěn)定性

    模型(2)在正平衡點E(S,I)的Jacobian矩陣為

    特征方程為

    λ2-tr(JE)λ+det(JE)=0.

    (7)

    根據(jù)模型(2)的第2個方程,得

    ((βb2-2rb-c)k+4rbS)I-b2r(k-2S)),

    Idkβ(b+I)2+(-2βS+2d+2μ)Ib)+

    I2(-βS+d+μ)(k-2S)r)=βIg′(I),

    其中,g′(I)=3AI2+2BI+C,A>0.因此,有以下幾種情況:

    1) 當(dāng)R0>1時,存在一個正平衡點E1,當(dāng)R0=1時,存在一個正平衡點E2.在Ei(i=1,2)處,g′(Ii)>0,det(JEi)>0,當(dāng)tr(JEi)<0時,Ei是局部漸近穩(wěn)定的; tr(JEi)>0時,Ei是不穩(wěn)定的.

    2) 當(dāng)R0<1時,在E3處,g′(I3)<0,det(JE3)<0,則E3是一個鞍點.在E4處,g′(I4)>0,det(JE4)>0,當(dāng)tr(JE4)<0時,E4是局部漸近穩(wěn)定的; 當(dāng)tr(JE4)>0時,E4是不穩(wěn)定的.于是,可得下面的定理:

    定理4當(dāng)R0>1時,存在一個正平衡點E1; 當(dāng)R0=1時,存在一個正平衡點E2; 當(dāng)tr(JEi)<0(i=1,2)時,Ei是穩(wěn)定的結(jié)點或焦點; 當(dāng)tr(JEi)>0時,Ei是不穩(wěn)定的.當(dāng)R0<1時,存在兩個正平衡點E3和E4;E3是一個鞍點; 當(dāng)tr(JE4)<0時,E4是穩(wěn)定的結(jié)點或焦點; 當(dāng)tr(JE4)>0時,E4是不穩(wěn)定的.

    3 分支分析

    根據(jù)Sotomayor’s定理[14],當(dāng)R0=1時,如果cr≠βb2d,模型會發(fā)生跨臨界分支; 如果cr=βb2d,模型會發(fā)生叉形分支.根據(jù)文獻[15]的方法,當(dāng)R0=1時,如果cr>βb2d,模型會發(fā)生后向分支. 接下來研究Hopf分支以及尖點分支.

    3.1 Hopf分支

    在正平衡點Ei(i=1,2,4)處,當(dāng)tr(JEi)=0時,模型可能會發(fā)生Hopf分支,令x=S-S*,y=I-I*,將模型(2)在原點泰勒展開可得

    (8)

    其中

    其中,Δ=a0d0-b0c0=det(JE2)>0,可以得到下面的定理:

    定理5對于模型(2),當(dāng)σ<0時,模型發(fā)生超臨界Hopf分支; 當(dāng)σ>0時,模型發(fā)生亞臨界Hopf分支; 當(dāng)σ=0時,模型發(fā)生Bautin分支.

    3.2 尖點分支

    由定理2的分析可知,當(dāng)Δ=0時,兩個正平衡點E3和E4合并為一個正平衡點E*,此時det(E*)=0.如果tr(E*)=0,正平衡點的特征方程有兩個零特征值,模型(2)會發(fā)生B-T分支.

    定理6正平衡點E*是一個余維2的尖點,也是一個B-T分支點.

    證明令x=S-S*,y=I-I*,然后將模型(2) 在原點泰勒展開成式(8),同時作變換X=x,Y=a0x+b0y,可以得到

    (9)

    其中

    作近似恒等變換

    v=Y+α20X2-β02XY.

    可以得到

    (10)

    因此,當(dāng)β11+2α20≠0時,E*是一個余維2尖點,當(dāng)β11+2α20=0時,至少是余維3的.

    4 數(shù)值模擬

    為了驗證正平衡點的存在性,取r=0.05,k=20,β=0.033,μ=0.001,c=0.027,b=0.1,繪制I隨R0變化的曲線.由圖 1 可以看出,正平衡點的個數(shù)隨著R0的變化而變化.當(dāng)R0較小時,模型不存在正平衡點; 當(dāng)R0=0.858時,模型存在一個正平衡點; 當(dāng)R0取值在0.858~1之間時,模型存在兩個正平衡點; 當(dāng)R0≥1時,模型存在一個正平衡點.

    圖 1 模型(2)平衡點個數(shù)隨R0變化的分支圖

    下面驗證Hopf分支以及極限環(huán)的存在性,選擇第1個Hopf分支點作為初始點,以R0為分支參數(shù),繪制極限環(huán)曲線,如圖 2 所示.

    圖 2 以第1個Hopf分支點為初始點的分支圖

    由圖 2 可以看出,在第1個Hopf分支點附近形成一個不穩(wěn)定的極限環(huán)且在第2個Hopf分支點附近消失.

    然后,以第3個Hopf分支點為初始點,以R0作為分支參數(shù),繪制極限環(huán)曲線,如圖 3 所示. 由圖 3 可以看出,在第3個Hopf分支點附近形成一個不穩(wěn)定極限環(huán)后趨于穩(wěn)定,最后消失.

    圖 3 以第3個Hopf分支點為初始點的分支圖

    固定參數(shù)r=0.027 412 217,k=20,μ=0.001,c=0.5,b=0.2,d=0.027,隨著參數(shù)β的變化模型會發(fā)生倍周期分支,如圖 4 所示.

    圖 4 模型(2)的倍周期分支曲線圖

    選擇r,c作為分支參數(shù),固定參數(shù)k=20,μ=0.001,b=2,d=0.027,模型會隨著分支參數(shù)的變化出現(xiàn)Bautin分支GH點、 B-T分支點以及尖分支CP點,如圖 5 和圖 6 所示.

    圖 5 模型(2)的Bautin分支及B-T分支曲線圖

    圖 6 圖5中BT點以及CP點的局部放大圖

    以上數(shù)值模擬驗證了理論結(jié)果,變化的人口模型具有更加復(fù)雜的分支現(xiàn)象.

    5 結(jié) 論

    基于文獻[1]中的傳染病動力學(xué)模型,本文考慮logistic增長率和飽和治療項,建立了一個新的SIS傳染病模型. 首先確定了模型的可行域和基本再生數(shù),分析發(fā)現(xiàn)模型正平衡點的個數(shù)會隨著R0的變化發(fā)生改變; 其次,分析了平衡點的穩(wěn)定性,利用規(guī)范型理論,研究模型出現(xiàn)的分支現(xiàn)象,發(fā)現(xiàn)模型不僅出現(xiàn)余維1的跨臨界、 叉形、 后向和Hopf分支,還會出現(xiàn)Bautin分支和至少余維2的尖點. 通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),模型經(jīng)歷了倍周期分支和B-T分支. 分析結(jié)果拓展了人們對疾病控制影響因素的認(rèn)識,在控制長期傳播的傳染病時,不僅要考慮到醫(yī)療資源的限制,而且要充分考慮人口增長的影響.

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