透過(guò)題干抓本質(zhì) 類比推理巧解題

白銀市第一中學(xué)

高曉藝

1 問(wèn)題提出

類比推理也稱類比法.在人教A版選修1-2中第二章推理與證明中有系統(tǒng)詳細(xì)的介紹.類比推理是培養(yǎng)和提升學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)的重要的知識(shí)載體.而在教學(xué)過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)學(xué)生在應(yīng)用類比推理解題時(shí)往往存在思維過(guò)程無(wú)法落地的困惑.僅僅追求所得結(jié)論與題干已知結(jié)論的“形似”，而忽略了類比的本質(zhì)“神似”.從而導(dǎo)致了對(duì)一些較為復(fù)雜的問(wèn)題無(wú)從下手求解.

實(shí)際上，在進(jìn)行類比推理時(shí)，我們所需要的核心并不是結(jié)論的一致性或者相似性，而是透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，挖掘在解題過(guò)程中對(duì)本質(zhì)思想或方法的類比過(guò)程.

本文中將結(jié)合幾個(gè)利用類比推理思想來(lái)求解的具體案例進(jìn)行實(shí)踐和反思.

2 教學(xué)案例

請(qǐng)你類比上述方法，計(jì)算1×2×3+2×3×4+……+n(n+1)(n+2)的結(jié)果.

解：依題意可得

由此可得

…………

以上n個(gè)式子相加，得

問(wèn)題推廣1：

“計(jì)算1×2×3×4+2×3×4×5+……+n(n+1)(n+2)(n+3)的值.”[1]

問(wèn)題推廣2：

求12+22+32+……+n2的值.

=1×2+2×3+……+n(n+1)-(1+2+……+n)

A.714 B.1870 C.4895 D.4896

解：由an+1=an+2-an，得

例3在等差數(shù)列{an}中，若a10=0，則有a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n(n<19,且n∈N*)成立.類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則存在怎樣的等式？

分析：等差數(shù)列與等比數(shù)列由于具有相似的定義和性質(zhì)而經(jīng)常進(jìn)行類比.首先分析題干本質(zhì)，在等差數(shù)列中,由a10=0,易知，an+a20-n=0,即an+1+a19-n=0，故an+1+an+2+……+a19-n=0，因此有結(jié)論a1+a2+……+an=a1+a2+……+a19-n成立.那么類比到等比數(shù)列中，由b9=1，得bn·b18-n=1，即bn+1·b17-n=1，因此bn+1·bn+2……b17-n=1，故可類比推理得出相應(yīng)的性質(zhì)b1·b2……bn=b1·b2……b18-n(n<18，且n∈N*).

解：在等比數(shù)列{bn}中，若b9=1，則有b1·b2……bn=b1·b2……b18-n(n<18，且n∈N*).

圖1

分析：首先分析題干中“黃金橢圓”的離心率求解過(guò)程，進(jìn)而類比求解“黃金雙曲線”的離心率.其實(shí)質(zhì)依然是求解過(guò)程及思路的類比，是思想方法的遷移.

3 教學(xué)反思

開(kāi)普勒曾經(jīng)說(shuō)過(guò)：“我珍視類比勝過(guò)任何別的東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密.”的確，我們經(jīng)常應(yīng)用平面幾何的結(jié)論去類比推理得到空間幾何中的一些結(jié)論，也會(huì)不斷地將等比數(shù)列與等差數(shù)列進(jìn)行類比學(xué)習(xí).在教學(xué)過(guò)程中，我們也經(jīng)常應(yīng)用類比已有知識(shí)的形成過(guò)程去習(xí)得新知.比如，在學(xué)習(xí)“數(shù)學(xué)歸納法”這一內(nèi)容時(shí)，就會(huì)類比多米諾骨牌游戲的原理，從而容易理解數(shù)學(xué)歸納法的證明原理.類比推理為我們獲得新知識(shí)和新結(jié)論提供了方向和思路，也是我們解題中不可或缺的好幫手.在日常教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)該重視對(duì)學(xué)生類比推理思維的培養(yǎng).這個(gè)培養(yǎng)不是通過(guò)一道題或者一堂課就能做到的，而應(yīng)該是一個(gè)不斷滲透，慢慢形成的過(guò)程.教師在具體的解題教學(xué)過(guò)程中，應(yīng)該重視對(duì)類比過(guò)程的分析和引導(dǎo)，鼓勵(lì)學(xué)生抓住問(wèn)題的本質(zhì)去進(jìn)行類比，尤其是在思想方法的類比過(guò)程中，應(yīng)該重視舉一反三，重視變式練習(xí)和對(duì)問(wèn)題的推廣應(yīng)用.只有在由易到難不斷應(yīng)用的過(guò)程中，才能逐漸培養(yǎng)和提升學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng).