平面P波入射具有不完美界面圓形夾塞的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性*

陶 明,姚 靖,李夕兵

(中南大學(xué) 資源與安全工程學(xué)院,長(zhǎng)沙 410083)

在采礦、交通、國(guó)防等諸多領(lǐng)域,常常遇到地下構(gòu)筑物遭受動(dòng)態(tài)擾動(dòng)而發(fā)生損害的問(wèn)題[1]。擾動(dòng)的來(lái)源既有人為因素也有自然因素,例如鉆爆法產(chǎn)生的爆破震動(dòng)、地震產(chǎn)生的地震波等。這些擾動(dòng)在地下巖層中以應(yīng)力波的形式傳播,當(dāng)波遇到不連續(xù)面的時(shí)候,波的傳播狀態(tài)發(fā)生改變并且發(fā)生散射。研究表明動(dòng)態(tài)擾動(dòng)在不連續(xù)界面發(fā)生散射并引起動(dòng)應(yīng)力集中是造成地下構(gòu)筑物破壞的重要原因[2]。

應(yīng)力波在傳播過(guò)程中遇到結(jié)構(gòu)或材料的不連續(xù)處將產(chǎn)生應(yīng)力波的散射,應(yīng)力集中現(xiàn)象最早由Rankine于1843年發(fā)現(xiàn)。1962年鮑亦興利用波函數(shù)展開(kāi)法研究穩(wěn)態(tài)波入射無(wú)限彈性薄板中圓孔的動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題[3]。劉殿魁等將彈性力學(xué)中求解空洞周邊靜應(yīng)力集中問(wèn)題的復(fù)變函數(shù)論方法推廣到SH波入射空洞導(dǎo)致動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題[4],給出了逼近任意形狀孔洞的穩(wěn)態(tài)彈性動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的完備函數(shù)序列“域函數(shù)”及邊界條件的一般表達(dá)式。Li,et al用復(fù)變函數(shù)法求解了瞬態(tài)P波作用下淺埋圓形空腔周?chē)膭?dòng)應(yīng)力集中情況[5],給出了空腔深度、入射角和波峰位置對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中因子(DSCF)分布的影響。趙春香等研究了SH波入射作用下半空間界面圓孔的動(dòng)力響應(yīng)[6],給出了該問(wèn)題的解析解和動(dòng)應(yīng)力分布規(guī)律。陳濤等研究了板的橫截面處孔洞在平面P波入射下動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題[7],并得出自由表面距孔洞距離影響動(dòng)應(yīng)力集中。除了圓形截面的散射體外,陳志剛等研究了平面SH波在彈性半空間中淺埋橢圓柱形孔洞上的散射[8],結(jié)果表明淺埋孔洞與水平表面存在強(qiáng)烈的相互作用并產(chǎn)生動(dòng)應(yīng)力集中。Ghafarollahi,et al基于多極展開(kāi)法分析了SH波以任意角度入射到橢圓形截面空腔或裂縫時(shí)的反平面散射問(wèn)題[9],結(jié)果表明入射波數(shù)、入射波角、空腔到雙材料界面的距離等參數(shù)對(duì)圍巖的動(dòng)力響應(yīng)有顯著的影響。Tao,et al采用波函數(shù)展開(kāi)法求解了SH波作用下的全平面橢圓空腔周?chē)纳⑸浜蛣?dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題[10],結(jié)果表明：入射波、波數(shù)、和橢圓軸比對(duì)動(dòng)應(yīng)力集中有較大影響。

脫胎于實(shí)際工程中的波散射問(wèn)題,邊界更加復(fù)雜。Lee 等人利用大圓弧假定方法求解了半平面空間中襯砌隧道在P波和SV波作用下的動(dòng)力響應(yīng)[11,12],易長(zhǎng)平等人使用波動(dòng)函數(shù)展開(kāi)法來(lái)分析襯砌隧道周邊在平面波和圓柱波作用下的動(dòng)力響應(yīng)[12]。結(jié)果表明：襯砌結(jié)構(gòu)剛度的增加將導(dǎo)致隧道圍巖的DSCF減小。袁曉銘采用波函數(shù)展開(kāi)方法給出了半空間中圓形夾塞物對(duì)平面SH波散射的封閉解析解[13]。Trifunac研究了在入射平面SH波的情況下[14],半圓柱形沖積河谷內(nèi)及其周?chē)乇磉\(yùn)動(dòng)的性質(zhì),并且分析了波入射角度對(duì)表面振動(dòng)特性的影響。劉中憲等基于Biot理論[15],采用間接邊界積分方程法,研究流體飽和半空間中夾塞物對(duì)平面SV波的二維散射。張鴻等采用飽和土Biot理論分析了地震P波作用下飽和土體中圓形隧洞襯砌的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題[16]。何穎等采用波函數(shù)展開(kāi)法及邊界離散的方法給出了任意斷面形狀的地下夾塞對(duì)平面SH波散射的半解析解[17]。楊在林等采用Green函數(shù),復(fù)變函數(shù)和多極坐標(biāo)等方法研究了圓形夾塞和裂紋組合對(duì)SH波的散射與地震動(dòng)[18],討論各種參數(shù)對(duì)夾塞上方地表位移的影響。張海等根據(jù)彈性波動(dòng)理論,結(jié)合分區(qū)和契合思想[19],利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)法,由連續(xù)性條件和自由地表邊界條件,求得了凸起地形中襯砌隧道對(duì)SH波散射的解析解。齊輝等對(duì)穩(wěn)態(tài)SH(shear horizontal)導(dǎo)波在表面含有多個(gè)半圓柱形凹陷的彈性帶形介質(zhì)內(nèi)的散射問(wèn)題進(jìn)行了研究[20],并給出了解析解。

在以往的研究中,夾塞與介質(zhì)的交界面被認(rèn)為是完美界面,也就是說(shuō)位移和應(yīng)力在界面處保持連續(xù),這在一定情況下是合理的。但是更多情況下,因?yàn)榱严痘蛘呤敲撃z的原因,界面出現(xiàn)缺陷變?yōu)椴煌昝澜缑?。此時(shí),繼續(xù)假設(shè)位移和應(yīng)力在交界面連續(xù)是不合理的。因此引入彈簧模型來(lái)表征不完美界面,并且分析不完美界面以及入射波波數(shù)對(duì)P波入射夾塞動(dòng)態(tài)響應(yīng)的影響。

1 控制方程

對(duì)于動(dòng)荷載作用下圓柱形夾塞的動(dòng)態(tài)響應(yīng),可以將問(wèn)題簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問(wèn)題?？紤]無(wú)限均勻彈性介質(zhì)中有一個(gè)無(wú)限長(zhǎng)圓柱體夾塞,夾塞中心位于o處,如圖1。彈性波在傳播方向上遇到圓形夾塞,會(huì)在夾塞周?chē)l(fā)生散射和透射。散射波與入射波在夾塞周邊介質(zhì)中疊加造成夾塞周邊動(dòng)應(yīng)力集中。以圓形夾塞中心為原點(diǎn)建立極坐標(biāo)系(r,θ),P波入射方向?yàn)閤+方向。

在不考慮體力及自由傳播情況下,標(biāo)量波動(dòng)方程以及入射波表達(dá)式見(jiàn)式(1)和式(2)

(1)

u(i)=u0eiαr cos θe-iωt

(2)

圖 1 幾何模型Fig. 1 Geometric model

平面P波入射并且在圓形夾塞周邊發(fā)生散射,向介質(zhì)反射P波和S波,同時(shí),在夾塞中產(chǎn)生駐波。利用Fourier級(jí)數(shù)將入射波表達(dá)式(2)進(jìn)行展開(kāi)后根據(jù)Bessel函數(shù)的積分定義有

(3)

介質(zhì)中的散射P波、S波位移勢(shì)函數(shù)分別表示為

(4)

(5)

式中：An和Bn為未知系數(shù)；α1和β1分別為介質(zhì)中的P波波數(shù)和S波波數(shù)。彈性?shī)A塞中的駐波分別可以表示為

(6)

(7)

式中：Cn和Dn為未知系數(shù)；α2和β2分別為夾塞中的P波波數(shù)和S波波數(shù)。將所有波的分量相加,得到介質(zhì)中總波場(chǎng)

(8)

以及夾塞中波場(chǎng)

(9)

2 邊界條件

大多數(shù)情況下,考慮波入射夾塞發(fā)生散射問(wèn)題時(shí),假設(shè)介質(zhì)與夾塞交界面為完美界面是合理的。但是在某些情況下,交界面的連接鍵并不是完全固定和剛性的,而是具有明顯的粘彈性[21]。這種不完美界面條件假設(shè)在介質(zhì)和夾塞之間有一層厚度無(wú)窮小的無(wú)慣性粘彈性層。不完美界面的無(wú)慣性表明交界面處的應(yīng)力連續(xù),粘彈性表明剪切應(yīng)力與法向應(yīng)力和各自位移成正比[22],表達(dá)式如下

(10)

式中：kr和kθ分別為法向彈簧系數(shù)和切向彈簧系數(shù),而下標(biāo)1和2分別代表介質(zhì)和夾塞中的參數(shù)。

當(dāng)kr→+∞和kθ→+∞時(shí),界面處的法向位移和切向位移可以看作是連續(xù)的,彈簧模型接近于一個(gè)完美的結(jié)合界面。對(duì)于kr→+∞和kθ→0,相當(dāng)于無(wú)摩擦的完美滑移。對(duì)于kr→0和kθ→0,也就意味著沒(méi)有波從巖體傳輸?shù)綂A塞。

3 介質(zhì)和夾塞中的應(yīng)力和位移

介質(zhì)中的應(yīng)力表達(dá)式

(11)

介質(zhì)中的位移表達(dá)式

(12)

彈性?shī)A塞中的應(yīng)力表達(dá)式

(13)

彈性?shī)A塞中的位移表達(dá)式

(14)

將得到的應(yīng)力和位移表達(dá)式(11)、(12)、(14)代入邊界連續(xù)條(10),得到求解系數(shù)An、Bn、Cn、Dn的聯(lián)立方程組,用矩陣表示為

QMT=PT

式中：Q為矩陣；M、P為向量。

在沒(méi)有不連續(xù)體的情況下,波在介質(zhì)中自由傳播導(dǎo)致的應(yīng)力可以表示為

σ0=-α2(λ+2μ)φ0

(15)

根據(jù)應(yīng)力表達(dá)式(11)和式(15)可以求得穩(wěn)態(tài)應(yīng)力集中因子

(16)

4 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分析

動(dòng)應(yīng)力集中因子(DSCF)是評(píng)判動(dòng)應(yīng)力集中的重要標(biāo)準(zhǔn)。研究問(wèn)題是不完美界面條件下波入射夾塞的動(dòng)態(tài)響應(yīng),給出不完界面條件下的DSCF。計(jì)算波在夾塞處的動(dòng)態(tài)響應(yīng)還需給出具體的材料參數(shù),比如巖石材料,假設(shè)參數(shù)為：介質(zhì)與夾塞剪切彈性模量之比為2.5,介質(zhì)與夾塞波速度之比為1.5,介質(zhì)與夾塞泊松比分別為v1=0.20,v2=0.25。為了計(jì)算更加簡(jiǎn)便,取kr與kθ的值為m0μ1/a,m0為指定常數(shù)。已有的研究表明夾塞周?chē)邢驊?yīng)力遠(yuǎn)大于徑向應(yīng)力,因此下面僅討論切向DSCF。

穩(wěn)態(tài)DSCF計(jì)算結(jié)果如圖2所示,為了得到不完美界面對(duì)DSCF的影響,分別給出了當(dāng)kr、kθ→+∞,kr=kθ=10.0μ1/a,kr=kθ=1.0μ1/a,kr=kθ=0.1μ1/a時(shí)夾塞周邊DSCF分布,其中彈簧剛度趨近+∞代表界面為完美邊界條件。圖2(a)顯示無(wú)量綱波數(shù)為0.25,此時(shí)彈簧剛度對(duì)DSCF的影響十分明顯,當(dāng)kr=kθ=0.1μ1/a時(shí)DSCF峰值出現(xiàn)在θ=π/2為4.045,是完美界面DSCF峰值2.624的1.54倍。隨著波數(shù)的增大,彈簧剛度對(duì)DSCF分布的影響變小。

當(dāng)彈簧剛度越趨近于+∞,即邊界越趨近完美邊界,計(jì)算所得DSCF的峰值和分布形狀越完美邊界時(shí)的峰值和分布形狀。這也說(shuō)明了計(jì)算的正確性。圖2(d)可以觀察到DSCF在夾塞周?chē)霈F(xiàn)了多處峰值,也說(shuō)明高波數(shù)時(shí)波向各個(gè)方向散射的能量變的更多,這種共振散射現(xiàn)象在Rajabi和Hasheminejad文章中有記錄[23]。

圖 2 不同彈簧剛度情況下,夾塞周邊DSCF分布Fig. 2 Distribution of DSCF around the inclusion with different values of spring stiffness

圖3為不同彈簧剛度條件下,界面不同位置的DSCF隨波數(shù)變化圖像。DSCF最大值出現(xiàn)在界面θ=π/2位置,此時(shí)的無(wú)量綱波數(shù)為0.25,并且彈簧剛度對(duì)DSCF的影響很明顯。隨著波數(shù)增大,不同彈簧剛度條件下的DSCF都有下降的趨勢(shì),并最終趨于1。從圖3(d)觀察到在θ=π位置,無(wú)量綱波數(shù)為2.25時(shí),出現(xiàn)較大的負(fù)值,表明此時(shí)有較大的切向拉應(yīng)力在迎波面產(chǎn)生。

圖 3 不同波數(shù)時(shí)圓夾塞周邊DSCF分布Fig. 3 Distribution of DSCF around the circular inclusion with different wave numbers

最后,分析彈簧剛度和波數(shù)共同作用時(shí)夾塞周邊DSCF最大值的變化,如圖4。隨波數(shù)增大DSCF最大值有減小的趨勢(shì)。當(dāng)彈簧剛度比較大時(shí),DSCF最大值隨波數(shù)呈現(xiàn)波浪式起伏,而在連接鍵剛度變?nèi)鹾?這種起伏隨之變?nèi)酢?/p>

圖 4 不同彈簧剛度組合下最大DSCF值Fig. 4 Maximum DSCF value under different spring stiffness combinations

5 瞬態(tài)響應(yīng)分析

爆破或者地震引起的地震波具有明確起始時(shí)間也不是周期性的,與穩(wěn)態(tài)波相比有一定的差別。在分析了穩(wěn)態(tài)波入射作用下的散射和動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題后,進(jìn)一步求出瞬態(tài)波入射作用下的散射和動(dòng)應(yīng)力集中。

獲得瞬態(tài)波反應(yīng)的通常做法是先求得穩(wěn)態(tài)波入射的反應(yīng)然后將不同頻率入射波的反應(yīng)疊加。Fourier變換在整個(gè)過(guò)程中起重要橋梁作用。分析一個(gè)線性系統(tǒng)在輸入任意一個(gè)函數(shù)f(t)時(shí)的瞬態(tài)反應(yīng)g(xi,t)由式(17)確定

(17)

(18)

劇烈的地震擾動(dòng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)移動(dòng)的小波,它的形狀由地球上彈性波的吸收光譜的性質(zhì)決定[24]。Ricker在文章中將尖銳的波形轉(zhuǎn)換成由地球吸收光譜截止的陡度決定的移動(dòng)的“小波”(雷克子波),給出了雷克子波的數(shù)學(xué)證明及數(shù)學(xué)表達(dá)式。因此本文選擇雷克子波作為入射的瞬態(tài)波形可以很好的模擬爆破產(chǎn)生的擾動(dòng)。

雷克子波收斂快,旁瓣的幅度比上主瓣幅度的值為,約等于2.241。雷克子波在時(shí)域上的表達(dá)式為[24]

(19)

假設(shè)瞬態(tài)波在t=0時(shí)刻主瓣峰值傳到即圓夾塞中心,此時(shí)t0=0,T為雷克子波一個(gè)波長(zhǎng)對(duì)應(yīng)時(shí)間。雷克子波的傅里葉變換表達(dá)式如式[25]

(20)

當(dāng)雷克子波峰值頻率為1000時(shí)DSCF隨時(shí)間變化曲線如圖5所示,測(cè)點(diǎn)位于π/2處。DSCF曲線形狀與波形形狀相似,兩處DSCF中凹陷處的最小值與凸出部分的最大值之比為2.07,接近雷克子波主瓣與副瓣的波形幅值之比2.241。瞬態(tài)DSCF最大值分別為6.71、5.56、4.74、4.57,分別對(duì)應(yīng)kr=kθ=0.1μ1/a、1.0μ1/a、10.0μ1/a。

圖 5 不同彈簧剛度時(shí)雷克子波造成的環(huán)向方向DSCF Fig. 5 The circumferential DSCF generated by the Rick wavelet with different values of spring stiffness

不同峰值頻率wp條件下,彈簧剛度對(duì)DSCF的影響如圖6所示。峰值頻率wp=300,kr=kθ=0.1μ1/a時(shí)DSCF最大值為6.93,當(dāng)wp增加到6000彈簧剛度不變時(shí),DSCF最大值減小到2.83。

圖 6 不同峰值頻率wp條件下彈簧剛度對(duì)DSCF的影響Fig. 6 The influence of spring stiffness on DSCF under different peak frequencies wp

瞬態(tài)波入射時(shí),與穩(wěn)態(tài)波的最大區(qū)別在于其在時(shí)域上有限,因此反射波和入射波有可能不會(huì)同時(shí)作用在圓孔周邊。但是,當(dāng)頻率較小時(shí),波形的前部被反射并與其他部分一起對(duì)夾塞產(chǎn)生影響。所以在相同的彈簧剛度條件下,當(dāng)瞬態(tài)波的峰值頻率wp設(shè)為300時(shí),DSCF最大值達(dá)到了6.93,而當(dāng)峰值頻頻增加到6000時(shí),DSCF最大值下降到2.83。

彈簧剛度對(duì)圓形夾塞的動(dòng)應(yīng)力響應(yīng)也與峰值頻率有關(guān)。峰值頻率較小時(shí),彈簧剛度對(duì)環(huán)向動(dòng)應(yīng)力影響較大。隨著峰值頻率上升,彈簧剛度對(duì)動(dòng)應(yīng)力的影響在減弱。

6 結(jié)論

(1)基于波函數(shù)展開(kāi)法求解了平面P波入射具有不完美交界面夾塞體的動(dòng)應(yīng)力集中問(wèn)題,并利用Fourier積分得到了雷克子波入射下的瞬態(tài)DSCF。計(jì)算結(jié)果具有收斂性。

(2)彈簧剛度kr和kθ越小表明界面連接鍵越弱,此時(shí)夾塞上的動(dòng)應(yīng)力集中系數(shù)也普遍越大。同時(shí),彈簧剛度對(duì)DSCF的影響隨著波數(shù)增加在減弱。在高波數(shù)條件下P波發(fā)生振動(dòng)散射現(xiàn)象,觀察到夾塞體周?chē)霈F(xiàn)多處DSCF峰值。

(3)不同彈簧剛度條件下的瞬態(tài)DSCF變化情況與穩(wěn)態(tài)條件下相似,但是幅值有提高。夾塞周?chē)腄SCF與雷克子波峰值頻率wp成負(fù)相關(guān)。

附錄

αrJn-1(αr)

αrHn-1(αr)

αrJn-1(αr)

αrHn-1(αr)

βrJn-1(βr)

βrHn-1(βr)