六腿滾動(dòng)式奔跑機(jī)器人的建模與跟蹤控制

馮鵬凌，何廣平，張向慧，梁旭，蘇婷婷

(北方工業(yè)大學(xué)機(jī)械與材料工程學(xué)院，北京 100144)

0 前言

21世紀(jì)以來，隨著機(jī)器人技術(shù)的發(fā)展，移動(dòng)機(jī)器人因具有更廣闊的應(yīng)用空間而受到重視。相較于傳統(tǒng)的移動(dòng)機(jī)器人，輪式腿型機(jī)器人不僅具備輪式機(jī)器人的快速響應(yīng)和運(yùn)動(dòng)平穩(wěn)等特點(diǎn)，還具備腿式機(jī)器人的機(jī)動(dòng)靈活和地勢(shì)適應(yīng)等優(yōu)點(diǎn)，常被用于野外勘探、星球探測(cè)等復(fù)雜地形環(huán)境。

近幾年，移動(dòng)機(jī)器人的控制研究受到了國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[4]所研制的獨(dú)輪機(jī)器人采用控制2個(gè)陀螺力矩來驅(qū)動(dòng)橫滾運(yùn)動(dòng)，從而獲得橫向穩(wěn)定性,并針對(duì)魯棒鎮(zhèn)定問題，提出了一種增益調(diào)整算法。文獻(xiàn)[5]提出了一種非完整約束移動(dòng)機(jī)器人的自適應(yīng)位置控制算法，通過仿真驗(yàn)證了該控制算法的有效性。文獻(xiàn)[6]通過設(shè)計(jì)控制李亞普諾夫函數(shù)，構(gòu)造了魯棒反饋控制器，并結(jié)合輸入狀態(tài)穩(wěn)定性分析了非線性系統(tǒng)的魯棒性。文獻(xiàn)[7]提出了一種模糊軌跡跟蹤控制器，用于移動(dòng)機(jī)器人室內(nèi)環(huán)境導(dǎo)航。文獻(xiàn)[8]基于多輸入多輸出狀態(tài)觀測(cè)器以及機(jī)械動(dòng)態(tài)不確定性和擾動(dòng)的不確定性，設(shè)計(jì)了一種新的積分滑模控制器，并對(duì)機(jī)器人進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)研究，驗(yàn)證了該算法的性能。文獻(xiàn)[9]將反步控制和滑?？刂葡嘟Y(jié)合，提出了一種新的控制器，并進(jìn)行了仿真研究，證明了該控制器的魯棒性。文獻(xiàn)[10]提出了一種自適應(yīng)模糊神經(jīng)滑模控制算法，克服了移動(dòng)機(jī)器人所受參數(shù)和非參數(shù)的不確定性問題，實(shí)現(xiàn)了機(jī)器人對(duì)期望軌跡的穩(wěn)定跟蹤。文獻(xiàn)[11]將動(dòng)力學(xué)模型在平衡點(diǎn)處線性化處理，采用了魯棒最優(yōu)和滑模控制算法，仿真結(jié)果展現(xiàn)了較好的跟蹤和穩(wěn)定效果，但所設(shè)計(jì)的控制器只具備局部穩(wěn)定性。

目前,國內(nèi)外關(guān)于輪式腿型移動(dòng)機(jī)器人精準(zhǔn)軌跡跟蹤控制的研究很少，以往傳統(tǒng)方法通常用線性近似系統(tǒng)代替真實(shí)系統(tǒng)的非線性系統(tǒng)模型，使得控制器只具有局部穩(wěn)定性。因此，本文作者研究六腿輪式移動(dòng)機(jī)器人的全局穩(wěn)定非線性控制策略。

在六腿滾動(dòng)式奔跑機(jī)器人的俯仰和橫滾2個(gè)方向，分別建立動(dòng)力學(xué)模型。針對(duì)被控對(duì)象的非線性模型，在俯仰方向設(shè)計(jì)滑模魯棒控制器，增強(qiáng)俯仰方向系統(tǒng)的魯棒性，提高系統(tǒng)的軌跡跟蹤精度；在橫滾方向設(shè)計(jì)反步滑?？刂破?，提高橫滾方向的抗干擾能力，加快系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

1 機(jī)器人動(dòng)力學(xué)建模

文中所討論的欠驅(qū)動(dòng)非完整約束六腿滾動(dòng)式奔跑機(jī)器人的虛擬樣機(jī)如圖1所示。6條腿分別位于機(jī)身兩側(cè)，采用彈性腿設(shè)計(jì)，每側(cè)3條腿之間的夾角呈120°均勻分布，且兩側(cè)相鄰的腿交錯(cuò)分布。俯仰驅(qū)動(dòng)電機(jī)用來驅(qū)動(dòng)同軸的兩側(cè)腿交替前進(jìn)，飛輪電機(jī)用來驅(qū)動(dòng)飛輪，起到調(diào)節(jié)機(jī)器人橫滾方向平衡的作用。

圖1 六腿滾動(dòng)式奔跑機(jī)器人虛擬樣機(jī)

與傳統(tǒng)的移動(dòng)機(jī)器人相比，由于該機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)方式為兩側(cè)腿交替支撐前進(jìn)，它與地面只有一個(gè)接觸點(diǎn)，可以將該機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)看作雙腿奔跑機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)。因此，采用彈簧負(fù)載倒立擺的模型來研究機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，并采用拉格朗日函數(shù)建立機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)模型。為使問題簡(jiǎn)單，忽略六腿滾動(dòng)式奔跑機(jī)器人俯仰和橫滾方向上的耦合，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)分開建模。

1.1 俯仰方向動(dòng)力學(xué)建模

俯仰方向采用基于彈簧負(fù)載倒立擺模型的設(shè)計(jì)方法，由于機(jī)器人奔跑過程中為單條腿著地，故只考慮一條腿的支撐相模型進(jìn)行分析。如圖2所示：假設(shè)六腿滾動(dòng)式機(jī)器人的每條彈性腿的質(zhì)量都集中于一側(cè)的髖關(guān)節(jié)，彈性腿的質(zhì)心為點(diǎn)，每個(gè)彈性腿的質(zhì)量為，機(jī)身的質(zhì)心為點(diǎn)、質(zhì)量為，飛輪的質(zhì)心為點(diǎn)、質(zhì)量為。彈性腿的長度為，其初始長度為，長度變量為，與豎直方向的夾角為，為著地腳。與豎直方向的夾角為，為機(jī)身俯仰角，和之間的夾角為，和與豎直方向的夾角分別為和。彈性腿質(zhì)心點(diǎn)到機(jī)身質(zhì)心點(diǎn)處的距離為，=,=；彈性腿質(zhì)心點(diǎn)到飛輪質(zhì)心點(diǎn)處的距離為，彈性腿相對(duì)于觸地點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，機(jī)身、飛輪相對(duì)于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為、。為機(jī)器人俯仰電機(jī)的力矩。

圖2 機(jī)器人俯仰方向示意

在俯仰方向上彈性腿質(zhì)心、機(jī)身質(zhì)心、飛輪質(zhì)心處的線速度分別為

(1)

(2)

(3)

由圖2可得機(jī)器人俯仰方向總動(dòng)能為

=++

(4)

式中:為機(jī)器人彈性腿動(dòng)能；為機(jī)身動(dòng)能；為飛輪動(dòng)能，公式分別為

由圖2可得機(jī)器人俯仰方向總勢(shì)能為

=++

(5)

式中:為機(jī)器人彈性腿勢(shì)能；為機(jī)身勢(shì)能；為飛輪勢(shì)能，公式分別為

=cos

=cos

俯仰方向拉格朗日函數(shù)為

=-

(6)

拉格朗日方程為

(7)

式中：為系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)；為受到的廣義作用力。由于彈性腿的剛度較大，在觸地過程中腿的形變較小，所以忽略彈性腿的變化，即=。將式(6)代入式(7),得到俯仰方向系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(8)

式中：

其中：

=(2++)+2

==-cos(-)-cos(-+)

=sin+sin(+)

=-(2++)sin

通過式(8)可以看出，俯仰方向上為控制輸入，、為2個(gè)被控量，故該方向上為欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。

1.2 橫滾方向動(dòng)力學(xué)建模

機(jī)器人橫滾方向示意如圖3所示。

圖3 機(jī)器人橫滾方向示意

其中，轉(zhuǎn)動(dòng)軸的質(zhì)心為點(diǎn)；為與豎直方向的夾角，即為機(jī)器人的橫滾角；為與豎直方向的夾角；為與豎直方向的夾角；、之間的距離為；、之間的距離為；=，=，=；彈性腿相對(duì)于觸地點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為；機(jī)身相對(duì)于觸地點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為；飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為；飛輪的轉(zhuǎn)動(dòng)角度為；飛輪驅(qū)動(dòng)電機(jī)的力矩為。、、、、、的含義與第1.1節(jié)相同。

在橫滾方向上彈性腿質(zhì)心、機(jī)身質(zhì)心、飛輪質(zhì)心處的線速度分別為

(9)

(10)

(11)

由圖3可得機(jī)器人橫滾方向總動(dòng)能為

=++

(12)

式中:為機(jī)器人彈性腿動(dòng)能；為機(jī)身動(dòng)能；為飛輪動(dòng)能，公式分別為

由圖3可得機(jī)器人橫滾方向總勢(shì)能為

=++

(13)

式中：為機(jī)器人彈性腿勢(shì)能；為機(jī)身勢(shì)能；為飛輪勢(shì)能，公式分別為

=2cos+12(-)

=(--tan)cos

=(--tan)cos

橫滾方向拉格朗日函數(shù)為

=-

(14)

由于彈性腿的剛度較大，在觸地過程中腿的形變較小，所以忽略彈性腿的變化，即=。將式(14)代入式(7)得到橫滾方向系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程為

(15)

式中：

=2++++(-)+

===

=-[2+(-)+(-)]·

sin-(+)cos

=0

通過式(15)可以看出，橫滾方向上為控制輸入，、為被控量，故該方向上為欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)。

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 俯仰方向控制器設(shè)計(jì)

滑模變結(jié)構(gòu)控制是一種有效而流行的控制方法，特別是針對(duì)控制系統(tǒng)中的動(dòng)態(tài)不確定性和外部干擾問題?；Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制技術(shù)的優(yōu)點(diǎn)是非線性系統(tǒng)的狀態(tài)可以快速無誤差地收斂到循環(huán)軌跡，在機(jī)器人控制領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛。為增強(qiáng)閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性，提高控制精度，在俯仰方向采用基于HJI理論的滑模魯棒控制方法設(shè)計(jì)控制器。

由文獻(xiàn)[15]可知，系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程式(8)可以寫成如下形式：

(16)

其中：為外加干擾。

理想位置指令為，跟蹤誤差=-，設(shè)計(jì)控制律為

(17)

其中：為反饋控制律。

將式(17)代入式(16)，得：

(18)

滑模函數(shù)為

(19)

其中：>0,則：

(20)

為利用HJI不等式，將式(20)寫為

(21)

設(shè)計(jì)控制律為

(22)

證明：

定義Lyapunov函數(shù)為

(23)

其中：為滑模函數(shù);為動(dòng)力學(xué)方程中的質(zhì)量慣性矩陣，則:

定義

(24)

則

(25)

由于:

則≤0，即

(26)

2.2 橫滾方向控制器設(shè)計(jì)

反步(Back-Stepping)控制是一種非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，基本思想是將復(fù)雜的非線性系統(tǒng)分解成不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，然后為每個(gè)子系統(tǒng)分別設(shè)計(jì)Lyapunov函數(shù)和中間虛擬控制量，一直“后退”到整個(gè)系統(tǒng)，直到完成整個(gè)控制律的設(shè)計(jì)。傳統(tǒng)的反步控制方法無法保證系統(tǒng)的魯棒性，通過引入滑模項(xiàng)，可以克服干擾，保證控制器的魯棒性。因此，在橫滾方向?qū)⒎床胶突?種控制方法相結(jié)合來設(shè)計(jì)控制器。

將如式(15)所示的系統(tǒng)改寫為如下形式：

(27)

由于橫滾方向上飛輪轉(zhuǎn)角是控制輸入，故只有橫滾角是被控量。

定義角度誤差為=-，其中為指令信號(hào)，則:

定義Lyapunov函數(shù)

(28)

則:

則:

(29)

則:

(30)

其中：為大于零的正常數(shù)；≥0。

則：

即：

從而得到指數(shù)收斂的形式為

()=(0)e-

(31)

3 仿真驗(yàn)證

設(shè)置六腿滾動(dòng)式奔跑機(jī)器人的結(jié)構(gòu)參數(shù)如表1所示。

表1 六腿滾動(dòng)式奔跑機(jī)器人結(jié)構(gòu)參數(shù)

3.1 俯仰方向跟蹤仿真

圖4 觸地角跟蹤曲線 圖5 俯仰角跟蹤曲線

圖6 觸地角角速度跟蹤曲線 圖7 俯仰角角速度跟蹤曲線

圖8 俯仰方向控制輸入

由圖4—圖8可以得到：在給定外界干擾的情況下，機(jī)器人的觸地角、機(jī)身俯仰角及其角速度可以在5 s左右穩(wěn)定跟蹤到期望軌跡，并隨著軌跡有規(guī)律的擺動(dòng)。由圖8可以看出：控制輸入并沒有出現(xiàn)明顯的抖振現(xiàn)象，輸入比較穩(wěn)定，因此俯仰方向所設(shè)計(jì)的滑模魯棒控制器是可行的。

3.2 橫滾方向跟蹤仿真

圖9 橫滾角跟蹤曲線 圖10 橫滾角角速度跟蹤曲線

圖11 橫滾方向控制輸入

由圖9—圖11可以看出：在給定干擾的情況下，閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)是穩(wěn)定的，橫滾角和角速度在2 s內(nèi)可以跟蹤到期望軌跡，故通過驅(qū)動(dòng)飛輪控制機(jī)器人的橫滾角是可行的。

4 結(jié)論

本文作者研究了一種欠驅(qū)動(dòng)非完整約束的六腿滾動(dòng)式奔跑機(jī)器人，將系統(tǒng)解耦為俯仰和橫滾2個(gè)方向，采用拉格朗日法在2個(gè)方向上分別建立動(dòng)力學(xué)模型。針對(duì)機(jī)器人的非線性系統(tǒng)，在俯仰方向設(shè)計(jì)了基于HJI理論的滑模魯棒控制器，該算法將系統(tǒng)外界干擾考慮在內(nèi)，為滿足HJI不等式魯棒控制條件，設(shè)計(jì)了合適的滑?？刂坡桑ＷC了系統(tǒng)的穩(wěn)定性；在橫滾方向設(shè)計(jì)了反步滑?？刂破鳎诜床娇刂品椒ǖ幕A(chǔ)上引入滑模項(xiàng)，從而保證了控制器的魯棒性。使用MATLAB進(jìn)行仿真，在給定干擾的情況下驗(yàn)證了2種控制算法在機(jī)器人俯仰和橫滾方向上的魯棒性。