基于非線性磨削模型的穩(wěn)態(tài)與顫振抑制的研究

楊鐸，陳添定，李鶴，饒成飛

(1.大連大學(xué)機械工程學(xué)院，遼寧大連 116622；2.東北大學(xué)機械工程與自動化學(xué)院，遼寧沈陽 110819)

0 前言

在機械加工過程中，工件的加工質(zhì)量與切削過程的穩(wěn)定性有關(guān)。當(dāng)過程參數(shù)選擇不當(dāng)時，會發(fā)生切削顫振，導(dǎo)致加工的零件質(zhì)量不滿足工藝要求。針對這一問題，許多學(xué)者進行了研究。

為抑制顫振，提高加工質(zhì)量，許多學(xué)者也進行了相關(guān)研究。KONG等通過對主軸轉(zhuǎn)速進行混沌攝動，成功抑制了車削過程中的顫振。MORADIAN等采用自適應(yīng)滑模控制抑制鏜削過程中的再生顫振。LI等采用變剛度的方法抑制深孔鏜削過程中的顫振。吳勝利等采用雙時間延遲動力學(xué)模型，通過周期性改變砂輪和軋輥的轉(zhuǎn)速，抑制了軋輥磨削過程中的顫振。

以上研究中大多考慮的線性模型和切削力非線性模型，而在軋輥磨削中，砂輪相較于軋輥為弱剛度結(jié)構(gòu)。因此，本文作者引入Duffing振子作為砂輪結(jié)構(gòu)非線性，建立三自由度磨削系統(tǒng)非線性動力學(xué)模型，研究穩(wěn)態(tài)葉圖邊界曲線附近參數(shù)變化對磨削過程穩(wěn)定性的影響。為抑制邊界曲線附近的顫振，采用混沌攝動方法抑制顫振。

1 磨削系統(tǒng)動力學(xué)模型

磨削系統(tǒng)通常由床身、頭架、尾架、磨頭、縱橫托板等部件組成。砂輪在水平和豎直方向產(chǎn)生運動，而工件只在水平方向擁有一個自由度，系統(tǒng)的動力學(xué)模型簡圖如圖1所示。圖中:、、分別為砂輪的質(zhì)量、阻尼、剛度；、、分別為工件的質(zhì)量、阻尼、剛度；、分別為砂輪和工件的轉(zhuǎn)速；、分別為砂輪和工件的位移。

圖1 磨削系統(tǒng)動力學(xué)模型

根據(jù)磨削系統(tǒng)動力學(xué)模型，建立磨削系統(tǒng)動力學(xué)方程：

(1)

(2)

(3)

由于砂輪在豎直方向的運動，在磨削過程中，砂輪與工件表面會產(chǎn)生一個夾角，如圖2所示，但可以看出砂輪在豎直方向的位移遠小于工件半徑與砂輪半徑之和，因此假設(shè)文中的角度為0。

圖2 砂輪豎直方向運動示意

(4)

()=+()-(-)-()+

(-)

(5)

式中：為砂輪與工件的磨削重疊率；和分別為磨削過程中砂輪和工件的旋轉(zhuǎn)周期，表達式為

(6)

砂輪與工件之間的法向磨削力為，為砂輪與工件之間的磨削系數(shù)，為有效磨削寬度。當(dāng)磨削深度為0時，即砂輪表面離開工件表面，法向磨削力變成0，則：

(7)

為砂輪與工件之間的切向磨削力:

=sign()

(8)

由于砂輪在豎直方向的運動，砂輪表面與工件表面在接觸點的相對磨削速度為:

(9)

將公式(5)—(8)代入公式(1)(2)(3)，整理可得

(10)

(11)

(12)

2 磨削過程穩(wěn)態(tài)與分岔分析

根據(jù)實際工況選定軋輥磨削系統(tǒng)主要參數(shù)如表1所示。

表1 磨削系統(tǒng)參數(shù)

采用MATLAB中的數(shù)值分析工具箱DDEBIF-TOOL對軋輥磨削系統(tǒng)延遲微分方程進行求解。當(dāng)磨削重疊率=1時，得到系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)葉圖如圖3所示。可以看出，穩(wěn)態(tài)邊界曲線將參數(shù)平面劃分成兩部分，穩(wěn)態(tài)邊界以上為不穩(wěn)定磨削區(qū)域，穩(wěn)態(tài)邊界以下為穩(wěn)定磨削區(qū)域，其中穩(wěn)態(tài)邊界與極限磨削寬度之間的區(qū)域稱為條件穩(wěn)定區(qū)域，而極限磨削寬度之下的區(qū)域稱為無條件穩(wěn)定區(qū)域。

圖3 穩(wěn)態(tài)圖

根據(jù)圖3，當(dāng)減少磨削寬度到無條件穩(wěn)態(tài)區(qū)域時，可以提高磨削過程的穩(wěn)定性，從而提高磨削工件的質(zhì)量。但是，當(dāng)磨削寬度較大時，要選擇合適的工件轉(zhuǎn)速才能使得磨削過程保持穩(wěn)定，即過程參數(shù)要位于條件穩(wěn)定區(qū)域。而在實際的軋輥磨削加工過程中，為提高加工過程的穩(wěn)定性，通常參數(shù)值都選在遠離穩(wěn)態(tài)邊界區(qū)域，甚至選在無條件穩(wěn)態(tài)區(qū)域，這不僅限制了軋輥磨削效率，而且增加了企業(yè)的成本。因此，本文作者對穩(wěn)態(tài)邊界附近過程參數(shù)變化對磨削過程穩(wěn)定性的影響進行研究。

選擇特定的工件旋轉(zhuǎn)周期區(qū)間，畫出磨削系統(tǒng)關(guān)于工件旋轉(zhuǎn)周期的分岔圖，如圖4所示。可以看出：系統(tǒng)關(guān)于工件旋轉(zhuǎn)周期發(fā)生亞臨界分岔，當(dāng)工件旋轉(zhuǎn)周期從較小值逐漸增大到較大值時，系統(tǒng)幅值首先保持不變，然后突然跳躍到一個較大的值，此時系統(tǒng)產(chǎn)生一個極限環(huán)；而當(dāng)工件旋轉(zhuǎn)周期從較大值逐漸減小時，系統(tǒng)幅值首先逐漸減小，到達鞍-結(jié)分岔點時，突然減小為0，達到穩(wěn)定狀態(tài)，而系統(tǒng)對應(yīng)的極限環(huán)也隨之消失。上述過程中系統(tǒng)幅值的突變會對工件表面產(chǎn)生不可挽回的損害，嚴(yán)重的甚至?xí)l(fā)生砂輪表面與工件表面分離的現(xiàn)象，從而產(chǎn)生砂輪與工件之間的嚴(yán)重碰撞。這種情形是非線性磨削模型所特有的，因此研究磨削中的非線性對于優(yōu)化磨削過程參數(shù)具有重要意義。

圖4 分岔圖

為更加直觀地分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)與分岔，對于圖4中的區(qū)域A，當(dāng)初始進給量取較小值時，作出系統(tǒng)時間歷程曲線。如圖5(a)所示，此時系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)磨削過程；而當(dāng)初始進給量取較大值時，系統(tǒng)時間歷程曲線如圖5(b)所示，此時系統(tǒng)處于不穩(wěn)定磨削狀態(tài)，即發(fā)生磨削顫振。

圖5 圖4中區(qū)域A的時間歷程曲線

3 磨削顫振抑制

在實際生產(chǎn)過程中，磨削顫振的發(fā)生不僅會降低工件加工的表面質(zhì)量，加劇機床的磨損，而且還會縮短刀具與機床的壽命，增加加工成本。因此，抑制顫振從而提高工件質(zhì)量和降低加工成本對于企業(yè)具有重要意義。

對于大多數(shù)主動控制、半主動控制和被動控制方法而言，為抑制顫振，需要在機床上添加額外的輔助部件或者改動機床結(jié)構(gòu)，這樣不僅增加了成本，而且所添加的輔助部件可能會降低機床的磨削剛度。而變主軸轉(zhuǎn)速簡單易操作，且不需要額外的部件，因此本文作者采用變主軸轉(zhuǎn)速的方法來抑制軋輥磨削加工過程中的顫振。該方法的基本原理是在磨削加工過程中，使主軸轉(zhuǎn)速在所設(shè)定的名義轉(zhuǎn)速附近連續(xù)或離散地變化，從而破壞顫振產(chǎn)生的條件，達到抑制磨削顫振的目的。連續(xù)變主軸轉(zhuǎn)速的公式為

()=+()

(13)

式中：為名義轉(zhuǎn)速；為攝動幅值；()為攝動時間序列。

文中采用混動控制策略來攝動砂輪轉(zhuǎn)速，從而破壞顫振產(chǎn)生的條件，達到抑制磨削顫振的目的。采用洛倫茲方程(Lorez Equations)和若斯勒方程(Rossler Equations)作為混動控制策略的攝動方程。洛倫茲方程為

(14)

為使洛倫茲方程產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，普朗特數(shù)取10，瑞利數(shù)取30，取8/3。

若斯勒方程如式(15)所示，同理，為產(chǎn)生混沌現(xiàn)象，其參數(shù)、、取值分別為02、02、57。

(15)

基于MATLAB中的Simulink模塊，采用4階龍格-庫塔法求解洛倫茲方程和若斯勒方程，仿真時間為10 s，將方程解的時間序列作為變時間延遲模塊的輸入，從而攝動主軸轉(zhuǎn)速，在=5 s時施加混沌控制，混沌控制仿真結(jié)果如圖6所示。由圖6(a)可知，在沒有施加混沌控制時，磨削系統(tǒng)擁有較大的幅值，處于顫振磨削狀態(tài)。而在圖6(b)和(c)中，施加混沌控制后，系統(tǒng)的幅值在較短時間內(nèi)達到穩(wěn)定值，處于穩(wěn)定磨削狀態(tài)。從圖6可以看出:文中所采用的洛倫茲方程和若斯勒方程混沌控制策略對于抑制磨削過程中的顫振均有良好的效果，可以提高磨削工件的質(zhì)量，延長砂輪壽命，降低機床磨損，從而降低成本。

圖6 混沌控制仿真時間歷程曲線

4 結(jié)論

針對穩(wěn)態(tài)葉圖邊界曲線附近軋輥磨削顫振問題，本文作者通過引入Duffing振子，建立了三自由度非線性磨削動力學(xué)模型?；贛ATLAB 延遲微分方程工具箱DDEBIF-TOOL，通過數(shù)值計算的方法，作出了非線性系統(tǒng)的分岔圖，分析了穩(wěn)態(tài)葉圖邊界曲線附近參數(shù)變化對軋輥磨削穩(wěn)定性的影響。結(jié)果表明：當(dāng)軋輥磨削寬度保持不變時，對于指定區(qū)間的工件旋轉(zhuǎn)周期，當(dāng)它從條件穩(wěn)態(tài)區(qū)域進入到穩(wěn)態(tài)顫振區(qū)域時，系統(tǒng)發(fā)生亞臨界Hopf分岔，出現(xiàn)系統(tǒng)幅值跳躍現(xiàn)象，不穩(wěn)定磨削顫振發(fā)生，而對于工件旋轉(zhuǎn)周期位于鞍-結(jié)點左邊的情形，系統(tǒng)沒有發(fā)生顫振，說明這一區(qū)間的參數(shù)可以被用于穩(wěn)定的軋輥磨削，從而增加了過程參數(shù)的選擇范圍，為實際軋輥磨削加工過程中參數(shù)選擇提供了參考。為抑制穩(wěn)態(tài)邊界曲線附近軋輥磨削中產(chǎn)生的顫振，提出了一種混沌攝動的變主軸轉(zhuǎn)速抑制方法來抑制顫振。時間歷程曲線表明，當(dāng)軋輥磨削系統(tǒng)被施加混沌攝動后，系統(tǒng)的幅值在較短的時間內(nèi)極大地減小，說明該方法有良好的顫振抑制效果。研究結(jié)果為實際加工過程中軋輥磨削顫振抑制提供了一種新的思路。