圓弧連接幾何作圖法研究

1 引言

1.1用已知半徑的圓弧相切連接已知圓心位置和半徑的兩圓(或兩圓弧)，有三種連接形式：外連接、內連接、內外連接，連接形式如圖1所示，AB段圓弧為已知半徑的圓弧，O

和O

為已知圓心位置和半徑的兩圓。

在《機械制圖》教材中，對于上述圓弧連接的幾何作圖方法為：

(1)外連接圓?。悍謩e以O

、O

為圓心，以R+R

、R+R

為半徑畫弧，相交于O點(連接弧的圓心)，連接OO

、OO

，分別交兩圓于A、B兩點(為切點)，再以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧。

(2)內連接圓?。悍謩e以O

、O

為圓心，以R-R

、R-R

為半徑畫弧，相交于O點(連接弧的圓心)，連接OO

、OO

并延長，分別交兩圓于A、B兩點(為切點)，再以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧。

(3)內外連接圓弧：分別以O

、O

為圓心，以R+R

、R-R

為半徑畫弧，相交于O點(連接弧的圓心)，連接OO

,交圓弧與A點，連接OO

并延長，交圓弧與A點(A、B為切點)，再以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧。該作圖方法所求圓弧與圓O

外接，與圓O

內接。

經(jīng)過上述案例分析得知，在有些情況下，無法按照教材中的作圖方法完成圓弧連接，存在上述現(xiàn)象的原因是R

、R

、R、O

O

和L的取值沒有受到限定。

Keras是用Python開發(fā)的開源深度學習庫，能夠以Tensor?Flow、Theano或CNTK作為后端引擎。TensorFlow最初是由Google開發(fā)的開源深度學習庫，功能強大，執(zhí)行效率高，并提供了Python、C++等多種語言編程接口。通過TensorFlow，Keras可以在CPU、GPU上無縫運行[2]。Keras簡單易用，利用Keras可以快速開發(fā)深度學習模型，支持卷積網(wǎng)絡和循環(huán)網(wǎng)絡以及兩者的組合，并能夠構建任意深度的學習模型。

在《機械制圖》教材中，對于上述圓弧連接的幾何作圖方法為：

媽媽說：“把卷子拿來?！蔽铱吹贸鰦寢屖菈褐鴼?，不一會兒，彗星就要撞地球了。出乎意料地，她竟然沒有打我。小兔子都到手了，狼還不下口。

利用重復控制跟蹤的統(tǒng)一潮流控制器抑制系統(tǒng)強迫振蕩方法//蔣平,陳瓊,吳熙,蔡暉,祁萬春,謝珍建//(18):64

(2)內連接圓?。阂設

為圓心，以R-R

為半徑畫弧，作與EF線相距為R的平行線，相交于O點(連接弧的圓心)，連接OO

，交圓于A點(為切點)，同時從O點向EF線作垂線，垂足為B點(為切點)。再以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧。

水下混凝土配合比需要結合理論計算以及相關實驗來進行驗證，當前混凝土實驗強度要高于設計強度，實際坍落度需要控制在18～20cm之間，水灰比控制在0.5～0.6m，粗骨料可以選用礫石。目前水下混凝土輸送方式較多，比如混凝土輸送泵進行灌注，此類技術措施在目前高速公路以及橋梁工程中應用范圍較廣。導管實際分節(jié)長度需要進行控制，這樣便于后續(xù)拆卸與運輸，對焊縫質量進行控制。導管在吊裝之前需要進行試拼，確保接口位置連接具有良好的牢固性。

2 問題分析

在用上述方法進行繪圖時，如果遇到某些特殊情況，將無法完成圓弧連接?，F(xiàn)分別對兩種圓弧連接中存在的問題進行舉例分析。

2.1 兩圓間圓弧連接

(1)外連接圓弧

設R

=5，R

=8，R=1，O

O

=20，按照該已知條件繪圖，得到的結果如圖3所示，圖中半徑為R+R

、R+R

的兩圓沒有交點，因此無法按照教材中所述的方法完成圓弧連接。

(2)內連接圓弧

1)設R

=5，R

=8，R=1，O

O

=20，則R-R

、R-R

均小于0，無法作圖。

2)設R

=5，R

=8，R=12，O

O

=20，則得到的圖形如圖4所示，圖中半徑為R-R

、R-R

的兩圓弧沒有交點，因此無法按照教材中所述的方法完成圓弧連接。

(3)內外連接圓弧

1)設 R

=5，R

=8，R=1，O

O

=20，則R-R

小于0，無法作圖。

2)設R

=5，R

=8，R=10，O

O

=20，則得到的圖形如圖5所示，圖中半徑為R+R

、R-R

的兩圓弧沒有交點，因此無法按照教材中所述的方法完成圓弧連接。

2.2 圓和直線間圓弧連接

(1)外連接圓弧

(1)無論溶洞存在與否，管片在自重應力作用下的應力分布以及管片在列車動載作用下的應力增量分布都無明顯變化。但溶洞存在時，管片的應力響應會有所增加。

(1)外連接圓弧

(2)內連接圓弧

941 Prevention and treatment of stroke in China: the status and future

2)設R

=5， R=7，O

與EF線距離L=10，則得到的圖形如圖7所示，圖中半徑為R-R

的圓與距離EF為R的平行線GH線沒有交點，因此無法按照教材中所述的方法完成圓弧連接。

基于市政道路橋梁過渡段的路基路面施工技術研究……………………………………………………… 楊艷麗（3-84）

或許你并不清楚，我們常喝的加多寶、王老吉、六個核桃等飲料的紙袋，其實都是使用正博的機器所生產(chǎn)。事實上，正博制袋機的銷售就是這樣火爆，市場銷售額在2017年“爆炸式”增長了36%。

1.2用已知半徑的圓弧相切連接已知圓心位置和半徑的一個圓(或圓弧)與已知位置的直線，有兩種連接形式：外連接、內連接，連接形式如圖2所示，AB段圓弧為已知半徑的圓弧，O

為已知圓心位置和半徑的圓,EF為已知位置的直線。

3 圓弧連接的幾何作圖法研究

3.1 兩圓間圓弧連接

設R

=5， R=2，O

與EF線距離L=10，按照該已知條件繪圖，得到的結果如圖6所示，圖中半徑為R+R

的圓與距離EF為R的平行線GH線沒有交點，因此無法按照教材中所述的方法完成圓弧連接。

假設R

、R

和O

O

的取值不變，只增加R的值，當R的值增大到一定程度的時候，將存在如圖8所示的特殊情形，圖中R=(O

O

-R

-R

)/2。

圖8所示的特殊情形可看作是圓O將圓O

和圓O

用外切的方式連接了起來，具體的作圖方法與教材中描述的并不一致。

鋰電池隔膜生產(chǎn)線工藝運行對環(huán)境溫度要求較嚴，大部分工段全年要求恒溫恒濕且工藝設備表面不得結露，否則會直接影響產(chǎn)品的質量。因此，保證空調系統(tǒng)冷凍水的溫度也是保證工藝生產(chǎn)出合格產(chǎn)品的重要條件。鑒于工藝冷凍水室外部分量小且要求不高，在設計中將工藝與空調冷凍2個系統(tǒng)合二為一，冷凍水供水溫度按工藝廠房空調用水要求設計，管線設置按工藝設備冷凍用水要求設計。這樣既保證了廠房空調溫度要求,也滿足了工藝設備冷凍水連續(xù)性的要求。同時工藝和空調冷凍機組互為備用，減少了機器的備用臺數(shù)，降低了工程投資，簡化了運行操作。

將圖8中的R值繼續(xù)增大，使得R>(O

O

-R

-R

)/2，然后按照《機械制圖》教材中“兩圓間外連接圓弧”的作圖方法作圖，即可得到如圖9所示的結果，圖9(a)是以O

、O

為圓心，以R+R

、R+R

為半徑畫弧，相交于O點(連接弧的圓心)；圖9(b)是連接OO

、OO

，分別交兩圓于A、B兩點(為切點)；圖9(c)是以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧，AB弧即為所求的外連接圓弧。

可以看出，輸入序列(可說明是任何一個序列)與單位抽樣序列的卷積就是序列本身。而“輸入序列表示成單位抽樣序列的移位相加”這個概念，是課程前面已講解過的知識點，且這個知識的物理意義十分明確，學生理解起來沒有什么難度。接下來，再將輸入序列與單位脈沖響應序列卷積的公式寫出，對比講解。

(2)內連接圓弧

假設R

、R

和O

O

的取值不變，只增加R的值，當R的值增大到一定程度的時候，將存在如圖10所示的特殊情形，圖中R=(O

O

+R

+R

)/2。

圖10所示的特殊情形可看作是圓O將圓O

和圓O

用內切的方式連接了起來，具體的作圖方法與教材中描述的并不一致。

從該試驗中水溫變化曲線分析認為，造成這種突降變化的干擾因素是在180～200 m的深度區(qū)間，并不是來自深部，排除地震前兆異常的可能性。

(1)外連接圓?。阂設

為圓心，以R+R

為半徑畫弧，同時作與EF線相距為R的平行線，相交于O點(連接弧的圓心)，連接OO

，交圓于A點(為切點)，同時從O點向EF線作垂線，垂足為B點(為切點)。再以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧。

將圖10中的R值繼續(xù)增大，使得R>(O

O

+R

+R

)/2，然后按照《機械制圖》教材中“兩圓間內連接圓弧”的作圖方法作圖，即可得到如圖11所示的結果，圖11(a)是以O

、O

為圓心，以R-R

、R-R

為半徑畫弧，相交于O點(連接弧的圓心)；圖11(b)是連接OO

、OO

并延長，分別交兩圓于A、B兩點(為切點)；圖11(c)是以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧，AB弧即為所求的內連接圓弧。

(1)外連接圓弧

3)0.6mm滲層刀片不論是在滲層厚度、組織硬度，還是在組織硬度梯度等方面，都介于其他兩種滲層刀片之間。雖然在部分位置上出現(xiàn)一定程度的崩刃現(xiàn)象，但磨損量比0.3mm滲層刀片要小，大部分情況下與0.9mm滲層刀片的磨損量相差不大，甚至磨損量比0.9mm滲層刀片要小，崩刃現(xiàn)象也比0.9mm滲層刀片出現(xiàn)的少。因此，0.6mm滲層刀片在磨損量上總體效果最好。

假設R

、R

和O

O

的取值不變，只增加R的值，當R的值增大到一定程度的時候，將存在如圖12所示的特殊情形，圖中R=(O

O

-R

+R

)/2。

將圖12中的R值增大，使得R>(O

O

-R

+R

)/2，然后按照《機械制圖》教材中“兩圓間內外連接圓弧”的作圖方法作圖，即可得到如圖13所示的結果，圖13(a)是以O

、O

為圓心，以R+R

、R-R

為半徑畫弧，相交于O點(連接弧的圓心)；圖13(b)是連接OO

,交圓弧于A點，連接OO

并延長，交圓弧于B點(A、B為切點)；圖13(c)是以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧，AB弧即為所求的內連接圓弧。

在該作圖方法中，所求圓弧與圓O

是外連接，與圓O

是內連接，如果要讓所求圓弧與圓O

是內連接，與圓O

是外連接，則可將條件變?yōu)椋篟>(O

O

+R

-R

)/2，以O

、O

為圓心，以R-R

、R+R

為半徑畫弧求得連接弧的圓心O點

。

3.2 圓與直線間圓弧連接

(3)內外連接圓弧

假設R

、直線位置和L的取值不變，只增加R的值，當R的值增大到一定程度的時候，將存在如圖14所示的特殊情形，圖中R=(L-R

)/2。

圖14所示的特殊情形可看作是圓O以與圓O

外切并與直線EF相切的方式連接了起來，具體的作圖方法與教材中描述的并不一致。

1)設R

=5， R=1，O

與EF線距離L=10，則R-R

小于0，無法作圖。

將圖14中的R值繼續(xù)增大，使得R>(L-R

)/2，然后按照《機械制圖》教材中“圓與直線間外連接圓弧”的作圖方法作圖，即可得到如圖15所示的結果，圖15(a)是以O

為圓心，以R+R

為半徑畫弧，畫與EF線距離為R 的平行線，相交于O點(連接弧的圓心)；圖15(b)是連接OO

，交圓于A點(為切點)，過O點作EF的垂線，垂足為B點(為切點)；圖15(c)是以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧，AB弧即為所求的外連接圓弧。

(2)內連接圓弧

根據(jù)自由旋轉鏈的均方末端距公式(2),代入基本變量關系L=nl及式(9)和(11),當cos θ趨近于1時,可得

假設R

、直線位置和L的取值不變，只增加R的值，當R的值增大到一定程度的時候，將存在如圖16所示的特殊情形，圖中R=(L+R

)/2。

圖16所示的特殊情形可看作是圓O以與圓O

內切并與直線EF相切的方式連接了起來，具體的作圖方法與教材中描述的并不一致。

將圖16中的R值繼續(xù)增大，使得R>(L+R

)/2，然后按照《機械制圖》教材中“圓與直線間內連接圓弧”的作圖方法作圖，即可得到如圖17所示的結果，圖17(a)是以O

為圓心，以R-R

為半徑畫弧，畫與EF線距離為R 的平行線，相交于O點(連接弧的圓心)；圖17(b)是連接OO

并延長，交圓于A點(為切點)，過O點作EF的垂線，垂足為B點(為切點)；圖17(c)是以O點為圓心，以R為半徑，在A、B之間畫圓弧，AB弧即為所求的內連接圓弧。

4 結論

根據(jù)研究可知，要在任意情況下完成圓弧連接的繪制，需對R

、R

、R和O

O

之間的關系，R

、R和L之間的關系進行限定。

(1)兩圓間連接圓弧時的條件：

1)外連接圓弧時的條件：R>0，且R≥(O

O

-R

-R

)/2；

2)內連接圓弧時的條件：R>R

，且R≥(O

O

+R

+R

)/2，R

為兩半徑中較大者；

3)內外連接圓弧時的條件：R>R

，且R≥(O

O

-R

+R

)/2，R

為兩半徑中較大者，此時所求圓弧與R

外接，與R

內接。

(2)圓和直線間連接圓弧的條件：

1)外連接圓弧時的條件：R>0，且R≥(L-R

)/2；

2)內連接圓弧時的條件：R>R

，且R≥(L+R

)/2。

[1]唐衛(wèi)東.機械制圖[M].北京:高等教育出版社,2017,9-3.

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[3]劉哲.高玉芬.機械制圖[M].大連:大連理工大學出版社,2011,6-17.

[4]馮秋官.機械制圖[M].北京:高等教育出版社,2000,7-1.

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