數(shù)學(xué)分析中的一些構(gòu)造性證明方法

龍能，楊婷梅

（廣東茂名幼兒師范專科學(xué)校，廣東茂名 525200）

數(shù)學(xué)分析是數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要基礎(chǔ)課，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)分析課程內(nèi)容經(jīng)典、體系完整、理論嚴(yán)密、應(yīng)用廣泛，其教學(xué)的主要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)的基本思想方法和思維素質(zhì)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力[1]。同時，數(shù)學(xué)分析中的許多內(nèi)容都涉及各種命題的證明，一些較難的證明題，常常需要采用構(gòu)造性證明，但是在進(jìn)行構(gòu)造性證明的時候，最難掌握的是如何構(gòu)造函數(shù)和構(gòu)造命題。在數(shù)學(xué)分析中的構(gòu)造性證明主要是通過構(gòu)造數(shù)列、構(gòu)造閉區(qū)間、構(gòu)造方程、構(gòu)造子列、構(gòu)造級數(shù)、構(gòu)造輔助函數(shù)等方法來間接完成命題的證明，其關(guān)鍵在于如何進(jìn)行構(gòu)造[1]。

實際上，數(shù)學(xué)中的不少命題都是屬于構(gòu)造性證明，而構(gòu)造性證明方法對于很多的初學(xué)者來說是最難理解的一個知識點。就構(gòu)造性證明的敘述方式來看，它屬于演繹法，但是如果深究一下，構(gòu)造性證明是如何想出來的，它應(yīng)屬于倒推法。例如：微分中值定理、多元函數(shù)泰勒公式、絕對收斂級數(shù)必收斂、線性微分方程的求解公式等的證明都是通過構(gòu)造一個輔助函數(shù)來證明的。本文主要是介紹一下我們數(shù)學(xué)分析中一些常用的構(gòu)造性證明方法。

一、幾種常用的構(gòu)造性證明方法

（一）構(gòu)造函數(shù)法

移項后，命題得證。

（二）構(gòu)造行列式法（命題中含有行列式的一般用行列式構(gòu)造）

證明：因為命題結(jié)論含行列式，因此可以構(gòu)造行列式。又因為變量項是交互導(dǎo)數(shù)之差，所以變量是商結(jié)構(gòu)。再結(jié)合行列式導(dǎo)數(shù)的定義及行列式的特點，于是可求得行列式構(gòu)造為

（三）構(gòu)造閉區(qū)間法

（四）構(gòu)造子列法

（五）構(gòu)造級數(shù)法

（六）構(gòu)造方程法

（七）構(gòu)造反例法

二、結(jié)束語

由此可知，構(gòu)造法的技巧性和創(chuàng)造性都非常強(qiáng)，它充分地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)分析中發(fā)現(xiàn)、類比、化歸等數(shù)學(xué)思想，同時也滲透著猜想、探索、特殊化等重要數(shù)學(xué)方法。利用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)題不但可以欣賞數(shù)學(xué)之美，感受解題樂趣，還可以開拓我們的思維空間、啟迪智慧。同時，對于培養(yǎng)學(xué)生的多元思維和創(chuàng)新精神有非常大的幫助。雖然本文只介紹了幾種簡單的構(gòu)造方法，但是卻可以足夠說明構(gòu)造法在數(shù)學(xué)分析中的重要地位。同時，構(gòu)造思想是一種非常實用的方法，不管是在數(shù)學(xué)分析當(dāng)中，還是在其他的學(xué)科當(dāng)中，構(gòu)造的思想都是非常重要的。

百年大計，教育為本。如果說要“打開視野看效率”，那么文化教育事業(yè)更需如此，教育所產(chǎn)生的效果往往不能在短時間內(nèi)呈現(xiàn)，而需要長時間的積累和沉淀。