數(shù)列求和的本源探究

◎李 安

(廣東省佛山市三水區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)，廣東 佛山 528100)

數(shù)列求和是在數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、等差(等比)數(shù)列及其前項(xiàng)和等知識(shí)的基礎(chǔ)上自然生成的內(nèi)容，它既是對(duì)上述基礎(chǔ)知識(shí)的運(yùn)用，又是培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、變形、轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)能力，提高學(xué)生探尋規(guī)律意識(shí),培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的良好素材《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》指出，數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、 邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析數(shù)列求和不僅能考查學(xué)生的學(xué)科核心素養(yǎng)，還能考查學(xué)生觀察、歸納、轉(zhuǎn)化和創(chuàng)新等能力

中學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容都有本質(zhì)的精簡(jiǎn)性、思想的樸實(shí)性，本源上都是自然且直觀的數(shù)列求和是研究具有一定規(guī)律的一列數(shù)的求和，其本源是探究基于數(shù)列代數(shù)結(jié)構(gòu)特征的化簡(jiǎn)過(guò)程，即將數(shù)列的前項(xiàng)和刻畫(huà)為關(guān)于項(xiàng)數(shù)的函數(shù)表達(dá)式

1 套路化方法求和的本源探究

好的數(shù)學(xué)教學(xué)的根本標(biāo)準(zhǔn)是“數(shù)學(xué)育人”，而數(shù)學(xué)的學(xué)科性質(zhì)決定了數(shù)學(xué)育人方式的與眾不同研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象需要“基本套路”，學(xué)生學(xué)會(huì)這樣的“基本套路”將對(duì)其終身發(fā)展產(chǎn)生很大的影響基于等差(或等比)數(shù)列代數(shù)結(jié)構(gòu)特征的本源，我們可歸納出數(shù)列求和的以下套路化方法

1.1 公式法

基于等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前項(xiàng)和公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，直接利用公式求和

A.=2-1 B.=3-2

C.=4-3D.=3-2

1.2 錯(cuò)位相減法

{}為等差數(shù)列,{}為等比數(shù)列，則數(shù)列{·}的求和是基于數(shù)列{·}通項(xiàng)·的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，利用等比數(shù)列求和的程序化過(guò)程——錯(cuò)位相減法求和

2(2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷理科第17題)設(shè){}是公比不為1的等比數(shù)列，為，的等差中項(xiàng)

(2)若=1，求數(shù)列{}的前項(xiàng)和

由題設(shè)，可得=(-2)-1

設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，則

=1×(-2)+2×(-2)+3×(-2)+…+(-1)×(-2)-2+×(-2)-1， ①

-2=1×(-2)+2×(-2)+3×

(-2)+…+(-1)×(-2)-1+×(-2)， ②

①-②，得3=1×(-2)+[1×(-2)+1×(-2)+…+1×(-2)-1]-×(-2)

1.3 并項(xiàng)法

已知等差數(shù)列{}的首項(xiàng)為、公差為，等比數(shù)列{}的首項(xiàng)為、公比為(≠1)，則數(shù)列①{(-1)}、數(shù)列②{}的求和({}滿(mǎn)足++1=或++1=)都是基于數(shù)列通項(xiàng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行并項(xiàng)求和，具體程序化過(guò)程如下

對(duì)于數(shù)列①{(-1)}：設(shè)數(shù)列{(-1)}的前項(xiàng)和為，則：

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：

=-+-+-…--1+

=(-+)+(-+)+…+(--1+)

=-+(-)+(-)+…+(-1-)

對(duì)于數(shù)列②{}：{}滿(mǎn)足++1=或++1=，設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，則：

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)：++1=當(dāng)為奇數(shù)時(shí)：

=++++…+-1+

=(+)+(+)+…+(-1+)

=++…+-1

=+(+)+(+)+…+(-1+)

=+(++…+-1)

1已知{}的通項(xiàng)公式為=(-1)(3-2)，則=( )

A.15 B.12 C.-12 D.-15

由=(-1)(3-2)，得

2=6-2,2-1=-6+5,

∴2-1+2=3,

即+=3,+=3,+=3,+=3,+=3,

∴=3×5=15

故選A

1.4 裂項(xiàng)相消法

3(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅲ卷文科第17題)設(shè)數(shù)列{}滿(mǎn)足+3+…+(2-1)=2

1.5 分組法

已知數(shù)列{},{}的通項(xiàng)公式，則數(shù)列{±}的求和是基于通項(xiàng)±的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行分組求和

即2-1=1,2=，

∴++…+22=×1+×+×1+×+…+2-1×1+2×

=(++…+2-1)+(×+×+…+2×)

=3×[1+3+…+(2-1)]+6×(1×3+2×3+…+×3)

2 新情境數(shù)列求和的本源探究

近幾年高考數(shù)學(xué)全國(guó)卷在數(shù)列求和問(wèn)題中設(shè)計(jì)了考查思維能力的新情境問(wèn)題，加大了試題的靈活性，立足于“多考一點(diǎn)想，少考一點(diǎn)算”，以減少學(xué)生死記硬背和“機(jī)械刷題”的現(xiàn)象此類(lèi)問(wèn)題求解的本源是基于新情境數(shù)列的結(jié)構(gòu)特征，通過(guò)觀察、歸納、挖掘、重構(gòu)數(shù)列各項(xiàng)間的規(guī)律進(jìn)行求和

5已知公比大于1的等比數(shù)列{}滿(mǎn)足+=20,=8

(2)記為在區(qū)間(0,](∈)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{}的前100項(xiàng)和

由題設(shè)，可得=2，則有：

蘇聯(lián)數(shù)學(xué)教育家?jiàn)W加涅相在《中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法》一書(shū)中指出：“必須重視,很多習(xí)題存在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能、發(fā)展功能和教育功能的可能性……從解本題到轉(zhuǎn)向獨(dú)立地提出類(lèi)似的問(wèn)題和解答這些問(wèn)題,這個(gè)過(guò)程顯然在擴(kuò)大解題的‘武器庫(kù)’,學(xué)生利用類(lèi)比和概括的能力在形成，辯證思維的獨(dú)立性以及創(chuàng)造思維性的素質(zhì)也在發(fā)展”顯然，數(shù)列求和問(wèn)題中的“情境”可以變換，但其本源是通過(guò)設(shè)置一定的“情境”對(duì)數(shù)列進(jìn)行重構(gòu)而產(chǎn)生新的規(guī)律，使習(xí)題潛在的發(fā)展功能和教育功能得到擴(kuò)大，使學(xué)生的認(rèn)知能力、辯證思維的獨(dú)立性以及創(chuàng)造思維性的素質(zhì)得到了發(fā)展，自然也就獲得了解決一類(lèi)問(wèn)題的方法

2(2020年高考數(shù)學(xué)全國(guó)Ⅰ卷文科第16題)數(shù)列{}滿(mǎn)足+2+(-1)=3-1，前16項(xiàng)和為540，則=________

由+2+(-1)=3-1，得

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，+2=+3-1；

當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，+2+=3-1

設(shè)數(shù)列{}的前項(xiàng)和為，

則=++++…++

=(+++…+)+(+++…+)

=[+(+2)+(+8)+…+(+38)]+

[(+)+(+)+(+)+(+)]

=[+(+2)+(+10)+(+24)+(+44)+(+70)+(+102)+(+140)]+(5+17+29+41)

=8+392+92=8+484

∵數(shù)列{}的前16項(xiàng)和為540，∴8+484=540，

∴=7

3(2016年高考新課標(biāo)Ⅱ卷理科第17題)為等差數(shù)列{}的前項(xiàng)和，且=1，=28記=[lg]，其中[]表示不超過(guò)的最大整數(shù)，如[09]=0,[lg 99]=1

(2)求數(shù)列{}的前1000項(xiàng)和

由題設(shè)條件可求得數(shù)列{}的通項(xiàng)公式=，則有：

當(dāng)1≤<10時(shí)，=[lg]=0；

當(dāng)10≤<100時(shí)，=[lg]=1；

當(dāng)100≤<1000時(shí)，=[lg]=2；

當(dāng)=1000時(shí)，=[lg]=3

∴數(shù)列{}前1000項(xiàng)的和為

0×9+1×90+2×900+3×1=1893

3 結(jié)束語(yǔ)

教師在教學(xué)中要踐行數(shù)學(xué)的育人功能，發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，奠定學(xué)生終生發(fā)展的基礎(chǔ)數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容，是數(shù)列知識(shí)的綜合體現(xiàn)與應(yīng)用，能培養(yǎng)學(xué)生的關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)因此，在教學(xué)中，教師不能只關(guān)注教科書(shū)式的“數(shù)列求和方法”，而應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)踐中深度思考數(shù)列求和的本源，引導(dǎo)學(xué)生挖掘數(shù)列的代數(shù)結(jié)構(gòu)特征，使數(shù)列求和成為直觀的化簡(jiǎn)計(jì)算這樣的教學(xué)實(shí)踐既發(fā)展了學(xué)生的認(rèn)知能力、辯證思維能力和創(chuàng)造性素質(zhì)，又提高了學(xué)生解決問(wèn)題的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)