面向六自由度移動機械手底座位置優(yōu)化方法

馬金茹，高文華，祁宇明

(1.北京電子科技職業(yè)學院汽車工程學院，北京100176；2.天津科技大學，天津 300222;3.天津職業(yè)技術師范大學，天津 300222)

0 前言

隨著機器人技術的快速發(fā)展，移動機械手由于具有良好的機動性和靈活性，可以靈活地到達不同的工作位置，完成復雜的加工任務，在大型復雜零件的加工中具有廣闊的應用前景。然而機器人在任務空間中的性能分布是高度非線性的，這使得確定最合適的基座位置 (BP)非常困難。因此有必要建立一種有效的移動機械手BP優(yōu)化方法，快速準確地確定最優(yōu)BP，這對裝配成本的降低具有重要意義。

移動機械手基座優(yōu)化能夠有效提高任務的完成效率和質量，受到了眾多研究者的關注。為了實現(xiàn)更高的生產效率，面向任務的目標函數(shù)被應用于機器人基座優(yōu)化問題，如最短路徑和最小循環(huán)時間、最低能耗。在大多數(shù)情況下，基座位置優(yōu)化關注的是提高任務的完成質量，這與機器人的性能密切相關。因此，現(xiàn)有的許多方法主要是為了提高機器人的性能，蔣毅等人研究了某四自由度機器人基座優(yōu)化方法，通過有限元軟件對機器人結構進行仿真，分析了機器人結構參數(shù)對機器人動態(tài)特性的影響，在此基礎上以基座基頻為優(yōu)化目標確定了最優(yōu)基座位置。張崇等人研究了風電塔筒機器人電機基座優(yōu)化問題，建立了以電機基座的動態(tài)載荷為目標的有限元拓撲方法，確定了電機基座輕量化目標的最佳位置。REN等提出了優(yōu)化移動機械手基礎位置的算法，該算法考慮到機械手的物理限制和奇異性，通過實驗驗證了該算法的優(yōu)越性。YU等針對移動涂裝機器人，建立近似解耦模型，在此基礎上提出了機械手底座位置優(yōu)化方法，考慮了定位約束、定向約束和奇異回避約束，將BP優(yōu)化問題轉化為路徑準則的標準不等式約束優(yōu)化問題，通過實驗驗證了所提方法的有效性。

以上主要方法為機器人系統(tǒng)的底座位置(BP)優(yōu)化提供了重要參考，但基本上都是關注機器人的運動能力和運動性能，很少考慮機器人的剛度性能。鑒于機器人的剛度性能通常對加工質量有一定的影響，作者提出一種同時考慮機器人運動學和剛度性能的底座位置BP優(yōu)化方法，以最大全局剛度性能評價指標為目標函數(shù)，以關節(jié)距離、關節(jié)速度、奇異避免和碰撞避免為約束條件，建立優(yōu)化模型，采用稀疏均勻網格分解尋找優(yōu)化模型的有效初值，通過序列二次規(guī)劃(SQP)方法最終求解基座的最優(yōu)位置。

1 運動學和剛度性能指標

設計合適的性能評價指標是移動機械手BP優(yōu)化的前提。以六自由度機器人為例，分別介紹用于BP優(yōu)化的動力學和剛度性能指標。D-H參數(shù)模型和數(shù)據(jù)分別如圖1和表1所示，=0.3 m,=0.7 m,=0.28 m,=0.893 m,=0.2 m。

圖1 D-H參數(shù)模型

表1 機器人的D-H參數(shù)

1.1 運動性能指標

雅可比矩陣的條件數(shù)是評價運動學性能的有效方法。將采用基于Frobenius范數(shù)的運動學雅可比矩陣的條件數(shù)()作為量化奇點距離的方法，該指數(shù)稱為動靜調節(jié)指數(shù)(KCI)，定義為

(1)

其中：tr(·)為矩陣的跡；為具有相同物理單位的齊次雅可比矩陣，定義為

(2)

其中：、、分別為3×3的單位矩陣、3×3的零矩陣和雅可比矩陣;為特征長度，可通過求解的最大值得到。的取值范圍為(0,1]，值越高，機器人的運動學性能越好，特別是當=1時，雅可比矩陣的所有奇異值都相等，說明該機器人具有最佳的運動學性能。反之，當=0時，雅可比矩陣的最小奇異值趨近于零或最大奇異值趨近于無窮大，機器人的運動性能將惡化。

1.2 剛度性能指標

(3)

其中：diag(·)為對角化函數(shù)；(=1,2,…,6)為第個關節(jié)剛度值(N·m/rad)，可通過有限元分析方法得到。對于六自由度機器人，關節(jié)剛度矩陣為

=diag([2.03×106.02×101.91×10

0.45×100.22×100.07×10])

(4)

根據(jù)柔度模型，端部執(zhí)行器(EE)的位移與施加在其上的扳手關系可以定義為

(5)

其中:是柔度矩陣，即的逆；Δ是由EE的平移和轉動位移組成的6×1位移矢量；是施加在EE上的力和力矩組成的6×1扳手矢量。、、分別為3×3平移子矩陣、耦合子矩陣和轉動子矩陣，其單位分別為m/N、rad/(N·m)和rad/N。此外，考慮到在加工過程中，可忽略刀具的轉動位移、平移位移和作用在刀具上的扭矩，則可將式(5)重新定義為

Δ=

(6)

(7)

指標可以很好地表征機器人在一定關節(jié)角度下的剛度性能，的值越大，機器人的剛度性能越好。但僅為局部性能指標，不能直接用于評價機器人在加工任務中的全局剛度性能?；诖耍岢隽艘环N面向任務的全局剛度性能評價指標，其定義為

(8)

2 優(yōu)化問題

BP優(yōu)化的目標是在保證機器人運動學性能的前提下，盡可能地提高機器人的剛度性能。圖2所示為移動機械手加工系統(tǒng)模型。

圖2 移動機械手加工系統(tǒng)

(9)

其中:=×。

(10)

(11)

(12)

3 優(yōu)化模型與方法

最優(yōu)BP算法應滿足兩個要求：(1)機器人在每個關鍵加工點的剛度應盡可能高，以提高加工質量；(2)機器人應始終具有良好的運動性能，以保證其刀具能沿給定的加工路徑平穩(wěn)、準確地運動。

3.1 優(yōu)化模型

優(yōu)化模型的建立包括兩個方面:(1)確定目標函數(shù);(2)明確約束條件。考慮到基座BP優(yōu)化的目的是盡可能提高機器人的剛度，將目標函數(shù)定義為最大全局剛度，即MSPI的最大化。因此目標函數(shù)的表達式為

(13)

(1)關節(jié)距離

由于機械結構的限制，機器人各關節(jié)角,通常有明確的上、下限，即max和min(=1,2,…,6)。因此，關節(jié)距離約束的函數(shù)形式可以定義為

()=(,-min)(,-max)≤0

(14)

其中:=[,1,,2,,3,,4,,5,,6]，=1,2,…,。

(2)關節(jié)速度

(15)

(3)奇異回避

當機器人處于或接近奇異位形時，機器人的自由度將丟失，進而影響機器人的控制精度。因此，在加工任務中，機器人必須遠離奇異位形，約束的函數(shù)形式可以定義為

()=()-≥0=1,2,…,

(16)

(4)避碰

在加工過程中，必須避免機器人與周圍環(huán)境之間的碰撞。為簡化避碰模型，本文作者采用工件和機器人的簡化模型，如圖3所示，工件與機器人之間的碰撞檢測將變得更加簡單。如果工件簡化模型中的所有點都不在機器人簡化模型的任何規(guī)則幾何內，則認為機器人與工件之間不存在碰撞，否則，就會發(fā)生碰撞。假設工件簡化模型中有個點，為其中之一。同時，在機器人的簡化模型中有個規(guī)則幾何對象，是其中之一，的質心為?？紤]到的位置坐標是機器人關節(jié)角的函數(shù)，則碰撞檢測約束的函數(shù)形式可以定義為

()=(,)≥0=1,2,…,；=1,2,…,

(17)

式中:(·)為點到正則幾何曲面的最小距離。

圖3 工件和機器人的簡化模型

如圖4所示，當規(guī)則幾何為球面、圓柱體和長方體時，(·)可分別定義為公式(18)—(20)，結果如下：

(,)=dist(,)-·

(18)

(19)

(20)

式中:、、、為正則幾何的尺寸參數(shù)；為大于1的安全系數(shù)，推薦值為1～1.5;距離dist(·)是兩點之間距離的函數(shù)。此外，如果點到規(guī)則幾何曲面的最小距離(記為)為正，則點不在幾何曲面內部，否則點在幾何內部。

圖4 碰撞檢測原理

此外，為了保證優(yōu)化方法的效率，基座BP的搜索范圍將受到限制。設BP上下限為=[,,],=[,,],優(yōu)化模型可定義為

max(,)

(21)

在式(21)所示的優(yōu)化模型中，涉及到變量和，并且存在多個非線性約束，為了使優(yōu)化模型更容易求解，有必要對其進行合理簡化。

由式(21)可知，機器人關節(jié)角度實際上是的函數(shù)。與此同時，約束條件(·)到(·)也是關節(jié)角的函數(shù)。因此，可以通過設計集成的IK算法來實現(xiàn)優(yōu)化模型的簡化。集成的IK算法如算法1所示，其中IKflag為BP是否有效的標志，ikopt(·)為多個逆解的首選函數(shù)，且有效的BP值必須滿足(·)到(·)的約束條件。

算法1：

01:θ=zeros(n,6),IKflag=1

02:for i=1∶n

05:if g(θ)>0

06:IKflag=0,break

07:end

09:IKflag=0,break

10: end

11: if g(θ)<0

12:IKflag=0,break

13: end

14:if g(θ)<0

15:IKflag=0,break

16: end

17:end

18:return θ and IK

所有有效的BP集合稱為BP的可行域(簡稱RBP)，根據(jù)算法1，目標函數(shù)可以重新定義為

max=IKflag·(,)

(22)

最終優(yōu)化模型為

max()

s.t.≤≤

(23)

3.2 優(yōu)化方法

方程(23)是標準的有界非線性優(yōu)化模型，可以采用內點法、序列二次規(guī)劃(SQP)法等多種方法求解，這些優(yōu)化算法通常需要一個合適的初始值。在求解過程中，首先通過稀疏均勻網格分解法確定合適的初值，然后選擇SQP法計算最優(yōu)值。具體的求解方法如下：

步驟1，確定初始基座BP的

由于約束條件(·)到(·)的存在，在笛卡爾子空間中，RBP的分布具有不規(guī)則和不連續(xù)的特征，因此有效的初始值應該滿足的條件是：(1)在RBP內部；(2)在最優(yōu)BP所在的連通域；(3)靠近最優(yōu)BP?？紤]到這些要求，采用稀疏網格均勻分解方法將是一種較好的方法，不僅可以確定合適的初值，而且可以縮小最優(yōu)BP的搜索范圍。該方法的原理圖如圖5所示。

圖5 稀疏均勻網格分解

算法2：

01:b=fix(b/a)·a

03:β=0

04:for i=1∶m

05: for j=1∶n

06: for p=1∶k

07:b=b+a·[i-1,j-1,p-1]

08:β(i,j,k)=F(b)

09: if β(i,j,k)>β

10: β=β(i,j,k)

11: maxind=[i,j,k]

12: end

13: end

14: end

15:end

16:b=b+a·(maxind-[1,1,1])

17:return band β

進一步，由圖5可知，最優(yōu)BP搜索范圍()可以確定為：=[,]，其最小值和最大值表示式分別為=-[;;0],=+[;;0],其中是網格的邊長或分辨率。同時，為了保證的有效性和算法2的計算效率，在實際應用中將設為0.1 m或0.2 m。

步驟2,確定最優(yōu)BP的

SQP是非常適合求解非線性約束優(yōu)化模型的經典優(yōu)化方法，已集成到各種通用優(yōu)化算法工具箱或軟件包中，如MATLAB優(yōu)化工具箱、IPOPT等。因此，在確定之后，使用SQP方法來求解是一個很好的選擇。在這里，利用MATLAB優(yōu)化工具箱中的fmincon(·)函數(shù)求解最優(yōu)BP，其調用格式為

=fmincon(-(),,,,,,,,option)

option=optimoptions(@fmincon,′Algorithm′,′sqp′)

根據(jù)MATLAB的SQP方法，可以精確求解。

4 模擬和實驗

為了說明基座BP優(yōu)化方法的有效性，將分別通過仿真和實驗進行驗證。仿真結果主要說明了基座BP優(yōu)化方法的有效性，即該優(yōu)化方法能夠找到滿足～約束且MSPI最大的基座位置，實驗主要用于驗證性能指標MSPI與加工質量之間的對應關系。

4.1 模擬環(huán)境

以風機葉片表面拋光仿真為應用背景，如圖6所示，風機葉片的整體尺寸可以達到59.5 m×2.5 m×4.0 m，遠遠超出了機械手的操作范圍。因此，通常將風機葉片表面預先劃分為幾個待加工的子區(qū)域。綠色區(qū)域是其中的一個子區(qū)域，其大小為1.6 m×0.3 m×1.2 m，及其邊界尺寸參數(shù)=[-0.80,0.80,-0.34,0.07,1.44,2.66] m。機器人最大距離可達=1.90 m，底架高度為=0.75 m，則的搜索范圍可為=[-1,1.10;-2.20,-0.30;0.75,0.75] m。此外，機器人確定的約束條件如表2所示。

圖6 風機葉片表面磨削仿真環(huán)境

表2 g1(·)到g4(·)的約束

4.2 仿真結果

如圖7所示，給出了算法2得到的MSPI等高線圖，同時圖中也標出了準RBP的邊緣和最優(yōu)BP精確搜索范圍的邊緣。另外，圖中白色部分表示該區(qū)域沒有有效的BP，但準RBP中的白色部分可能仍有有效的BP，這主要是由于網格分辨率較低所致。

圖7 平均剛度性能指標(MSPI)等值線圖

根據(jù)等高線地圖，可以確定初始BP為=[-0.10;-1.80;0.75] m,精確搜索范圍=[-0.2,0.00;-1.90,-1.70;0.75,0.75] m。然后最優(yōu)的BP可以通過SQP方法得到，其值為=[-0.099 4;-1.728 8;0.750 0] m。

為了進一步證明優(yōu)化方法的有效性，分別給出了最優(yōu)BP處各關鍵點的關節(jié)角度、關節(jié)速度、和的分布圖，如圖8—圖11所示。

圖8 加工路徑上各關鍵點Pi的關節(jié)角度

圖8中，藍線表示加工路徑上各關鍵點的關節(jié)角度，紅線表示關節(jié)角度的上下限。圖9中，藍線表示加工路徑上各關鍵點的關節(jié)角速度，紅線表示關節(jié)角速度的正負最大值。在圖10中，藍線表示機器人在加工路徑上各關鍵點處的KCI值，紅線表示KCI的最小值。在圖11中，曲線分別表示了機器人簡化模型中加工對象的簡化模型與規(guī)則幾何(=1，2，…，15)之間的最小距離，的分布如圖3所示。從這些圖形中可以看出:機器人的關節(jié)角度和關節(jié)角速度均在限定范圍內，機器人的KCI值均大于最小值，所有關鍵點上(=1，2…，15)的值均大于0。

圖9 加工路徑上各關鍵點Pi的關節(jié)角速度

因此，在最優(yōu)BP算法中，結果滿足(·)～(·)約束條件，保證了機器人的運動性能。上述分析表明了所提出的基座BP優(yōu)化方法的正確性，該方法能有效地找到全局剛度性能最大的基座位置，滿足實際應用中需要考慮的所有運動約束條件，這對于提高移動機械手的操作性能具有重要意義。

圖10 每個關鍵點Pi的KCI

圖11 Gj所有關鍵點的dmin

5 結論

針對六自由度機械手在大型復雜零件的加工能力，提出一種面向移動機械手加工基座位置優(yōu)化方法，其目標是在保證機器人運動性能的同時，優(yōu)化機器人的剛度性能。建立了機械手運動性能指標和全局剛度指標，在此基礎上綜合考慮了機械手關節(jié)距離、關節(jié)速度、奇異回避和避碰等多約束條件，通過采用稀疏均勻網格分解和序列二次規(guī)劃(SQP)方法對機械手最優(yōu)基座位置進行求解。最后通過仿真分析和實驗結果驗證了該優(yōu)化方法的有效性。