基于高階思維培養(yǎng)的數(shù)學(xué)貫通課程建設(shè)

袁野 唐大友 東北師范大學(xué)附屬中學(xué)朝陽(yáng)學(xué)校

研究背景

教育部印發(fā)的《關(guān)于全面深化課程改革，落實(shí)立德樹人根本任務(wù)的意見》中明確界定了學(xué)科核心素養(yǎng)，即學(xué)生應(yīng)具備的適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017 年版）》中則明確提出了中學(xué)數(shù)學(xué)的六大核心素養(yǎng)，它是在《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)》中“四基”的繼承和發(fā)展。因此，在初中數(shù)學(xué)中，“四基”就是學(xué)生形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體，而“四基”就是要把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，讓學(xué)生在掌握知識(shí)與技能的同時(shí)理解知識(shí)的本質(zhì)，感悟知識(shí)所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)基本思想，積累數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成，從而將立德樹人根本任務(wù)落到實(shí)處。

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)某一個(gè)領(lǐng)域所應(yīng)達(dá)成的綜合性能力，可以理解為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)應(yīng)當(dāng)達(dá)成的、有特定意義的綜合性能力。核心素養(yǎng)不是指具體的知識(shí)與技能，也不是一般意義上的數(shù)學(xué)能力。它是基于數(shù)學(xué)知識(shí)技能，又高于具體的數(shù)學(xué)知識(shí)技能。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程的目標(biāo)和內(nèi)容直接相關(guān)，對(duì)于理解數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)教學(xué)以及開展數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)等有著重要的意義和價(jià)值。

高階思維是發(fā)生在較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或較高層次的認(rèn)知能力；高階思維是高階能力的核心，主要指創(chuàng)新能力、問(wèn)題求解能力、決策能力和批判性思維能力。結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)，所謂的數(shù)學(xué)高階思維是指發(fā)生在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)中的、較高認(rèn)知水平層次上的心智活動(dòng)或認(rèn)知能力，在教學(xué)目標(biāo)分類中表現(xiàn)為分析、綜合、評(píng)價(jià)和創(chuàng)造，具有嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、定量性、批判性、獨(dú)創(chuàng)性、靈活性等特點(diǎn)。高階思維是思維能力的核心，主要由問(wèn)題解決、思辨提升、拓展創(chuàng)新等能力構(gòu)成。

初、高中課程內(nèi)容設(shè)計(jì)現(xiàn)狀

現(xiàn)有初、高中數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)要求存在較大差異。例如，立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運(yùn)算還在用；因式分解初中一般只限于二次項(xiàng)且系數(shù)為“1”的分解，對(duì)系數(shù)不為“1”的涉及不多，而且對(duì)三次或高次多項(xiàng)式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡(jiǎn)求值都要用到，如解方程、解不等式等；初中教材對(duì)二次函數(shù)要求較低，學(xué)生處于了解水平，但二次函數(shù)卻是高中貫穿始終的重要內(nèi)容……對(duì)于這些學(xué)習(xí)要求上存在差異的內(nèi)容，教師可以根據(jù)學(xué)生的興趣進(jìn)行選擇性設(shè)計(jì)，不能一味地追求高階思維的培養(yǎng)，隨意增大教學(xué)難度而加重學(xué)生的負(fù)擔(dān)，導(dǎo)致學(xué)生失去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

上好初中第一堂“動(dòng)員課”，激發(fā)學(xué)生興趣

任何數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法的背后，總是凝結(jié)并積淀著人類漫長(zhǎng)的數(shù)學(xué)探索進(jìn)程中堅(jiān)韌的步伐、前進(jìn)的腳步。數(shù)學(xué)從其源頭看，是生動(dòng)活潑、富有生機(jī)的，教師要善于點(diǎn)燃學(xué)生想象的火花、激活其思維的萌芽，抓住教育契機(jī)激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望。小學(xué)升入初中，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性與抽象性就越發(fā)明顯，也逐漸使越來(lái)越多的學(xué)生厭學(xué)、懼怕。對(duì)此，小學(xué)升入初中的第一節(jié)數(shù)學(xué)課對(duì)學(xué)生初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)具有重要意義。

為了使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，教師不應(yīng)給他們上新課，而是要上一堂讓他們“樂(lè)而忘返”的“動(dòng)員課”。課上，教師可以和學(xué)生做一個(gè)數(shù)學(xué)游戲。例如，讓學(xué)生先任寫一個(gè)多位數(shù)（25639），然后將這個(gè)多位數(shù)的各位數(shù)位上的數(shù)字作任意的變換得到一個(gè)新數(shù)（如62935），再將這兩數(shù)相減，把差中的任一數(shù)位上的數(shù)字去掉（不能是0），只告訴老師余下的數(shù)字（如62935-25639=37296，去掉3，只告訴7、2、9、6），教師便很快能說(shuō)出學(xué)生去掉的到底是哪個(gè)數(shù)字（如上例中的3）。這時(shí)，學(xué)生便會(huì)對(duì)教師“神機(jī)妙算”的本領(lǐng)產(chǎn)生興趣。教師再因勢(shì)利導(dǎo)，向?qū)W生簡(jiǎn)介數(shù)學(xué)發(fā)展史、有關(guān)數(shù)學(xué)家的光輝事跡，特別是我國(guó)數(shù)學(xué)史上的巨大成就，并向?qū)W生講清“數(shù)學(xué)是自然科學(xué)之母”以及“數(shù)學(xué)是訓(xùn)練人思維的體操”的道理?！耙皇瘬羝鹎е乩恕?，學(xué)生們始終沉浸在“心潮逐浪高”的熱烈激動(dòng)的氣氛之中，這堂課也就達(dá)到了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的預(yù)期效果。

重視概念教學(xué)，為培養(yǎng)高階思維能力奠基

數(shù)學(xué)概念是反映一類對(duì)象在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性的思維形式。數(shù)學(xué)概念所代表的是一類對(duì)象，而不是個(gè)別事物，它反映的是這類對(duì)象的內(nèi)在、固有的屬性，而不是表面的屬性，在這類對(duì)象的范圍內(nèi)具有普遍意義。

對(duì)于初中生而言，正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的前提，是學(xué)好定理、公式、法則和數(shù)學(xué)思想的基礎(chǔ)，也是提高解題能力的關(guān)鍵。因此，數(shù)學(xué)概念教學(xué)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有重要意義。

學(xué)生從小學(xué)升入初中后，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方面需要經(jīng)歷從直觀、形象到抽象認(rèn)識(shí)的過(guò)程。如果教師能夠在學(xué)生剛升入初中時(shí)就抓住概念教學(xué)，并且從每一個(gè)符號(hào)開始，闡述其意義，讓每一個(gè)學(xué)生都能夠做到“識(shí)符號(hào)，辨意義”，學(xué)生自然就能夠運(yùn)算準(zhǔn)確。實(shí)踐證明，“識(shí)符號(hào)，辨意義”對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算、有理數(shù)的乘方、整式的加減、冪的運(yùn)算等內(nèi)容效果非常好，不但能夠幫助學(xué)生準(zhǔn)確計(jì)算，還能夠培養(yǎng)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，促進(jìn)高階思維能力發(fā)展

好習(xí)慣受益終身，優(yōu)秀習(xí)慣成就未來(lái)。洛克曾說(shuō)過(guò)：“兒童不是用規(guī)則可以教得好的，規(guī)則總是會(huì)被他們忘掉的。但是習(xí)慣一旦培養(yǎng)成功之后，便用不著借助記憶，很容易地自然地就能發(fā)生作用了。”因此，數(shù)學(xué)教師要注重在課堂中培優(yōu)學(xué)生學(xué)習(xí)的優(yōu)秀習(xí)慣，如認(rèn)真“聽”、積極“想”、仔細(xì)“審”、獨(dú)立“做”、善于“問(wèn)”、勇于“辯”、客觀“評(píng)”等習(xí)慣。

高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)內(nèi)容多，抽象性、理論性更強(qiáng)，思維的跳躍性強(qiáng)。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在升入高中后會(huì)對(duì)學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)感到不適應(yīng)，往往會(huì)遇到上課時(shí)聽得懂，但課外習(xí)題不會(huì)做、作業(yè)書寫不好等問(wèn)題，不習(xí)慣于預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)，缺乏獨(dú)立分析、解決問(wèn)題的能力。究其原因，在于學(xué)生對(duì)概念、符號(hào)、定理的理解不夠透徹，參與學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力不足，對(duì)學(xué)習(xí)的專注度和努力程度不足。因此，初高中數(shù)學(xué)教師要堅(jiān)持在教學(xué)中注意調(diào)控學(xué)生參與課堂的延續(xù)性，重視學(xué)生的課后行為參與，幫助他們養(yǎng)成自覺預(yù)習(xí)、復(fù)習(xí)、思考等良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

利用“變式教學(xué)”，培養(yǎng)高階思維能力

核心素養(yǎng)的獲得是后天的、可教可學(xué)的，具有發(fā)展連續(xù)性。創(chuàng)造性思維不是與生俱來(lái)的，而是需要后天培養(yǎng)鍛煉出來(lái)的。數(shù)學(xué)是一門高度抽象的學(xué)科，能很好地鍛煉學(xué)生的邏輯思維和堅(jiān)強(qiáng)意志。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中會(huì)遇到很多綜合性較強(qiáng)的題目，這也讓部分學(xué)生覺得數(shù)學(xué)很難學(xué)，甚至對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)失去興趣和信心。究其原因，主要是學(xué)生并沒有掌握數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)，所學(xué)習(xí)的知識(shí)浮于表面，缺乏靈活性。因?yàn)榻處熢谑谡n中往往只是采用題海戰(zhàn)術(shù)，沒有將題目之間的內(nèi)在聯(lián)系整理歸類，幫助學(xué)生梳理不同題目之間的共性與特性，沒有做到知識(shí)傳授的深入淺出，時(shí)間久了，就會(huì)導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)心理。針對(duì)這一情況，教師可以在數(shù)學(xué)教學(xué)中嘗試“變式”教學(xué)。

“變式”教學(xué)，是指在引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)知事物屬性的過(guò)程中，不斷變更所提供的直觀材料或事例的呈現(xiàn)形式，使事物的非本質(zhì)屬性時(shí)隱時(shí)現(xiàn)，而本質(zhì)屬性保持恒定。教師在應(yīng)用“變式教學(xué)”時(shí)，需要遵循“目標(biāo)導(dǎo)向、啟迪思維、暴露過(guò)程、主體參與、探索創(chuàng)新”的教學(xué)原則，以培養(yǎng)具有創(chuàng)新意識(shí)和創(chuàng)新能力的人才為目標(biāo)。數(shù)學(xué)教學(xué)中的“變式”，即對(duì)數(shù)學(xué)概念、定義、定理、公式及問(wèn)題背景進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形的變化，使其面目不一，而本質(zhì)特征不變，以暴露問(wèn)題本質(zhì)特征，揭示不同知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系。新課程背景下數(shù)學(xué)學(xué)科的“變式教學(xué)”，既能培養(yǎng)學(xué)生的思辨能力，又能幫助學(xué)生從整體上把握知識(shí)的內(nèi)在規(guī)律，能夠高屋建瓴、應(yīng)用自如地應(yīng)對(duì)新課程的學(xué)習(xí)。

通過(guò)常規(guī)變式，培養(yǎng)質(zhì)疑習(xí)慣和逆向思維能力，增強(qiáng)輯推理能力 所謂常規(guī)變式，就是將題目的條件與結(jié)論互相調(diào)換或者改變題目的已知條件。通過(guò)將原題引申變式，改變?cè)}中的條件，起到舉一反三的示范作用，同時(shí)激發(fā)學(xué)生的探究熱情，使學(xué)生的知識(shí)網(wǎng)中產(chǎn)生新的生成，提高課堂教學(xué)的有效性。

通過(guò)“一題多解”的變化解題方式，培養(yǎng)探究習(xí)慣，增強(qiáng)發(fā)散性思維能力 所謂“一題多解”，就是從不同的角度思考、分析同一道題中的數(shù)量關(guān)系，用不同解法求得相同結(jié)果的思維過(guò)程。它可以幫助學(xué)生構(gòu)建知識(shí)間的聯(lián)系，加深對(duì)所學(xué)知識(shí)的理解，提高思維的靈活性和解決問(wèn)題的能力，從而在學(xué)習(xí)中體驗(yàn)成功的快樂(lè)。此外，充分發(fā)揮習(xí)題的變式功能和解法的多樣性，還能夠讓學(xué)生獲得因創(chuàng)新帶來(lái)的成功喜悅，逐步增強(qiáng)探索和創(chuàng)新意識(shí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)密性。

通過(guò)“多題一解”變式，培養(yǎng)歸納梳理知識(shí)的習(xí)慣，增強(qiáng)應(yīng)變能力 所謂“多題一解”就是多個(gè)看似不同的問(wèn)題在解決過(guò)程中用到了同樣或類似的方法?！岸囝}一解”可以有效發(fā)展學(xué)生的抽象概括能力，使學(xué)生看清數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

許多數(shù)學(xué)練習(xí)看似不同，但它們的內(nèi)在本質(zhì)(解題思路、方法)是一樣的，這就要求教師在教學(xué)中要充分重視對(duì)這類題目的收集、比較，引導(dǎo)學(xué)生尋求通法通解，并讓學(xué)生理解它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)思想和解題方法。通過(guò)“多題一解”的變式訓(xùn)練，既可以幫助學(xué)生鞏固和強(qiáng)化解題思想和方法，又讓學(xué)生通過(guò)抓住本質(zhì)，觸一通類，培養(yǎng)變通能力，激活思維，從而收到舉一反三、少而勝多的教學(xué)效果。

總之，在數(shù)學(xué)教學(xué)中采用變式教學(xué)，可以將看似孤立的問(wèn)題從不同角度向外擴(kuò)散，并形成有規(guī)律可循的系列，有效增大課堂容量，起到以一當(dāng)十、以少勝多的教學(xué)效果；能夠充分展現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中教師與學(xué)生的思維過(guò)程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使他們主動(dòng)參與教學(xué)的全過(guò)程，在解答問(wèn)題的過(guò)程中尋找解類似問(wèn)題的思路、方法，培養(yǎng)獨(dú)立分析和解決問(wèn)題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的創(chuàng)新思維的能力，從而真正將學(xué)生能力的培養(yǎng)落到實(shí)處；通過(guò)變式練習(xí)，學(xué)生不再需要大量、重復(fù)地做同一樣類型的題目，也就無(wú)需茫茫的題海，同時(shí)又能有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，真正實(shí)現(xiàn)了“減負(fù)增效”的目標(biāo)，還能讓學(xué)生領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的和諧、奇異與美妙，能夠收到極好的學(xué)習(xí)效果。

通過(guò)“項(xiàng)目式”學(xué)習(xí)，提升高階思維能力

最有效果的學(xué)習(xí)方式是教會(huì)別人。因此，教師要多為學(xué)生創(chuàng)造交流、深入思考、提升能力的契機(jī)。項(xiàng)目式學(xué)習(xí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力意義深遠(yuǎn)，同時(shí)，還能夠幫助學(xué)生提高邏輯和數(shù)學(xué)抽象能力，形成模型思想，提升其應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)。

例如，借助“項(xiàng)目式”學(xué)習(xí)解決“折疊問(wèn)題”，促進(jìn)高階思維形成?！罢郫B”作為圖形的三大運(yùn)動(dòng)之一，題型多樣，變換靈活，多以折疊問(wèn)題為主要載體綜合其他幾何圖形的知識(shí)進(jìn)行考查。因圖形復(fù)雜、關(guān)系復(fù)雜，又融合了多個(gè)數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)，成為學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)。學(xué)生在緊張的考試過(guò)程中解答有關(guān)“折疊”的問(wèn)題，不能只靠動(dòng)手操作來(lái)解決，只有透過(guò)現(xiàn)象看折疊問(wèn)題的本質(zhì)，才能迅速找到破解折疊問(wèn)題的方法。那么折疊的本質(zhì)是什么呢？常見的折疊都有哪些類型呢？在初中數(shù)學(xué)中有哪些常見的折疊問(wèn)題和解決策略呢？教師可以帶領(lǐng)興趣小組同學(xué)以項(xiàng)目式學(xué)習(xí)進(jìn)行梳理，合作研究、歸納總結(jié)、拓展創(chuàng)新、總結(jié)提升，促進(jìn)高階思維的形成。

又如，借助“項(xiàng)目式”學(xué)習(xí)解決“函數(shù)綜合問(wèn)題”促進(jìn)高階思維形成。函數(shù)綜合問(wèn)題包含“含參數(shù)的分段函數(shù)”“利用函數(shù)圖像解不等式”“函數(shù)用圖像變換”等，這些問(wèn)題的解決需要類比思維、逆向思維、批判思維等高階思維，更需要探究能力、推理能力以及創(chuàng)新能力等綜合解決問(wèn)題的能力。關(guān)注函數(shù)定義域、奇偶性、單調(diào)性、周期性，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)、極值、最值以及函數(shù)值的變化趨勢(shì)，做出函數(shù)的大致圖像，借助直觀模型和分類討論思想等便可突破難點(diǎn)，問(wèn)題得到迎刃而解。

總之，核心素養(yǎng)反映數(shù)學(xué)本質(zhì)與數(shù)學(xué)思想，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展，需要學(xué)生在教師的啟發(fā)和引導(dǎo)下，獨(dú)立思考或與他人交流，最終領(lǐng)悟出來(lái)，是一種逐漸養(yǎng)成的思維習(xí)慣和思想方法，是一種經(jīng)過(guò)日積月累逐漸形成的高階思維。因此，教師要堅(jiān)持長(zhǎng)期在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識(shí)地展現(xiàn)教師與學(xué)生數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)參與教學(xué)全過(guò)程的積極性，以此培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析和解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新思維能力，從而真正將學(xué)生能力的培養(yǎng)落到實(shí)處。