雙耦合極化碼及其編碼調(diào)制方案

陳皓煒，蔡穗華，韋寶典，馬 嘯

（中山大學(xué)計算機(jī)學(xué)院，廣東廣州 510006）

1 引言

極化（Polar）碼是E Arikan 于2008 年基于信道極化現(xiàn)象提出的一類線性分組碼［1，2］，是首個可理論證明能達(dá)到任意二進(jìn)制輸入離散無記憶對稱信道（Binary-Input Discrete Memoryless Channels，BI-DMC）容量且具有較低的編譯碼復(fù)雜度和確定性構(gòu)造的信道編碼方案，因而近年來廣受關(guān)注.E Arikan 針對所提出的極化碼設(shè)計了逐次抵消（Successive Cancellation，SC）譯碼算法［2］以及置信傳播（Belief Propagation，BP）譯碼算法［3］.SC 譯碼算法在中短碼長下性能較差，于是有研究者提出了逐次抵消列表（Successive Cancellation List，SCL）譯碼算法［4～6］和逐次抵消堆棧（Successive Cancellation Stack，SCS）譯碼算法［7］.BP 算法由于性能較差，并且高信噪比下會出現(xiàn)錯誤平層，其他研究者提出了軟抵消（Soft Cancellation，SCAN）譯碼算法［8］和置信傳播列表（Belief Propagation List，BPL）譯碼算法［9］.

為了進(jìn)一步提升極化碼的糾錯性能，學(xué)者們提出了級聯(lián)極化碼，即在極化碼編碼器外級聯(lián)一個系統(tǒng)外碼.典型的級聯(lián)極化碼有循環(huán)冗余校驗（Cyclic Redundancy Check，CRC）輔助的CA-Polar 碼［4，10］和基于奇偶校驗（Parity Check，PC）的PC-Polar碼［11］.2019年，E Arikan 提出了卷積極化碼（Polarization-Adjusted Convolutional Codes，PAC）［12］，用碼率為1 的卷積碼代替級聯(lián)外碼.此外，文獻(xiàn)［13］提出了一種基于空間耦合（Spatial Coupling，SC）的SC-Polar 碼，可以進(jìn)一步提升極化碼的糾錯性能.

為滿足日益增長的數(shù)據(jù)速率需求，通信系統(tǒng)常常通過編碼調(diào)制來達(dá)到較高的頻譜效率.極化碼在加性高斯白噪聲（Additive White Gaussian Noise，AWGN）信道下具有優(yōu)秀的糾錯性能，于是研究者們將極化碼與高階調(diào)制相結(jié)合以實現(xiàn)高譜效、高能效的信息傳輸.典型的編碼調(diào)制方案主要有比特交織編碼調(diào)制方案（Bit-Interleaved Coded Modulation，BICM）［14，15］和多層編碼調(diào)制方案（Multilevel Coding，MLC）［16］.2013 年，M Seidl 等人將二元極化碼與BICM和MLC相結(jié)合，提出了基于極化碼的編碼調(diào)制方案［17］，即比特交織極化編碼調(diào)制（Bit-Interleaved Polar Coded Modulation，BIPCM）和多層極化編碼調(diào)制（Multilevel Polar Coding，MLPC）.

在碼長較短的情況下，為了提升極化碼的性能，我們結(jié)合雙向疊加傳輸（Twisted-Pair Superposition Transmission，TPST）方案［18］和SC-Polar 編碼方案，提出了雙耦合極化碼（Dual Coupled Polar，DC-Polar）編碼方案［19］并推導(dǎo)了其性能下界.在高階調(diào)制下，我們給出了采用雙耦合極化碼的BICM 方案，但由于其存在碼長匹配的問題，我們基于MLC 的思想設(shè)計了雙層耦合極化編碼調(diào)制（DC-Polar Two-Layer Coding，DC-Polar-TLC）方案，該方案使用兩個編碼器，可以根據(jù)調(diào)制階數(shù)靈活地分配碼長.本文以16QAM和64QAM 下的DC-Polar-TLC系統(tǒng)為例進(jìn)行仿真，結(jié)果表明，在64QAM 調(diào)制下，該方案與使用BICM系統(tǒng)的CA-Polar碼相比具有約0.6 dB的增益.

2 雙耦合極化碼

2.1 極化碼

信道極化的過程分為信道合并和信道分裂兩個步驟.當(dāng)碼長N趨于無窮時，經(jīng)過極化碼編碼后的等效比特子信道將極化成幾乎無噪的（對應(yīng)容量為1）或無用的（對應(yīng)容量為0），其中長度為K的信息比特將在這些幾乎無噪聲的比特信道內(nèi)傳輸，稱這些比特信道的序號集合為信息位集合A；長度為N-K的固定比特（稱為凍結(jié)比特）將放置在無用的比特信道上，稱這些比特信道的序號集合為凍結(jié)位集合Ac，于是有A∪Ac={1，2，…，N}.我們在信道中傳輸了N個比特，其中包括K個信息比特，稱這種從K維空間到N維空間的映射為極化碼編碼.

在本文中，我們采用記號Polar(N，K，)來表示一個極化碼，其中N=2n表示極化碼的碼長，K表示信息序列長度，表示長度為N-K的凍結(jié)比特序列.

2.2 雙耦合極化碼編碼

雙耦合極化碼［19］是一種將極化碼作為成分碼、采用上下兩層結(jié)構(gòu)來進(jìn)行碼率分配的編碼方案，其上下層之間通過空間耦合進(jìn)行連接，代替了TPST［18］方案的前向疊加步驟.其基本思想是，利用上下層進(jìn)行聯(lián)合編碼從而獲得性能增益.空間耦合技術(shù)將上層的信息處理后放入下層的凍結(jié)位上，因此上層的少量錯誤會帶來下層的顯著變化，從而使得上層的正確序列更容易被識別.后向疊加技術(shù)將下層疊加到上層，因此逐次抵消過程中，在給定上層的情況下，下層進(jìn)行了部分重傳，性能得到改善從而有利于正確碼字的識別.為了改善上層的性能，我們使用具有較強(qiáng)糾錯能力的列表譯碼來加大正確碼字的影響，從而便于列表內(nèi)正確碼字的識別.

雙耦合極化碼的編碼如圖1所示，其編碼過程是將長度為K=K0+K1的信息序列編碼成長度為2N的碼字.算法1 給出了具體的編碼算法，其中，S是大小為K0×(N-K1)的耦合矩陣，用于提取上層的編碼信息用作下層的凍結(jié)比特.Π 是大小為N×N的交織器.為簡單起見，本文選擇耦合矩陣S和交織器Π 為反向排序矩陣［19］.

圖1 雙耦合極化碼的編碼框圖

2.3 雙耦合極化碼譯碼

雙耦合極化碼的譯碼思路為：通過解調(diào)得到的概率序列y來計算上層的概率序列y(0)，并將結(jié)果y(0)送入上層子極化碼的SCL 譯碼器中進(jìn)行譯碼.將上層譯碼得到的信息序列進(jìn)行重新耦合以及重新編碼，其中重新耦合的結(jié)果作為下層譯碼器的凍結(jié)比特參與下層子極化碼的SCL 譯碼，重新編碼的結(jié)果用于計算下層概率序列y(1)，之后將結(jié)果y(1)送入下層子極化碼的SCL 譯碼器中進(jìn)行譯碼.將上下層的譯碼結(jié)果進(jìn)行重編碼，并計算碼字似然值，取似然值最大的碼字作為雙耦合極化碼的譯碼結(jié)果.

令P(y|c)表示在已知發(fā)送碼字c的條件下，接收到y(tǒng)的概率，則雙耦合極化碼的逐次抵消列表譯碼算法如算法2所示.

2.4 性能下界

在本節(jié)中，我們根據(jù)精靈輔助（Genie-Aided，GA）等方法，分析了SCL譯碼器的誤幀率（Frame Error Rate，F(xiàn)ER）FERSCL，因此性能下界可推導(dǎo)如下.

（1）上層精靈輔助界P(E0)

考慮事件E0表示v(0)不在上層候選碼字列表.我們把下層往上的疊加看成是在上層中加入了噪聲，這樣概率序列y(0)就可以看成是v(0)經(jīng)過二元干擾AWGN信道后的輸出，其中邊信息為y(1).將y(0)送入譯碼器中進(jìn)行譯碼，并在譯碼中加入精靈輔助，即一旦候選碼字中有正確的碼字，則將正確的碼字輸出，我們將上層SCL譯碼器的性能當(dāng)作P(E0)的估計值.

（2）下層精靈輔助界P(E1)

考慮事件E1表示在v(0)已知的情況下，下層譯碼器輸出的結(jié)果不是v(1).在上層已知的情況下，向上疊加后發(fā)送相當(dāng)于下層碼字發(fā)送了兩次.我們將下層SCL 譯碼器的性能當(dāng)作P(E1)的估計值.

由上分析可以得出精靈輔助下界為

于是我們便可以通過選擇子極化碼的參數(shù)來使得下界達(dá)到最小.

示例1為了構(gòu)造碼長為64，信息序列長度為K0+K1=32 的雙耦合極化碼，我們將上下層的子極化碼碼長設(shè)置為32，均采用SCL 譯碼器，最大列表大小分別為32和8.圖2 所示為不同信息長度分配(K0，K1)下的精靈輔助界.在誤幀率為10-5附近，我們選擇上下層信息長度分配為(14，18)的參數(shù)構(gòu)造雙耦合極化碼，因為在這種情況下，其精靈輔助下界在比較大的范圍內(nèi)是最優(yōu)的，即max{P(E0)，P(E1)}在這種情況下是最小的.

圖2 雙耦合極化碼在不同參數(shù)(K0，K1)構(gòu)造下的精靈輔助界

圖3給出了BPSK調(diào)制下雙耦合極化碼在不同參數(shù)(K0，K1)構(gòu)造下的性能.同時，我們也給出了參數(shù)(14，18)下的GA 下界以及最大似然（Maximum Likelihood，ML）下界的曲線.我們可以看出在5 dB 附近，使用參數(shù)(14，18)構(gòu)造的雙耦合極化碼的性能是最優(yōu)的.這證實了我們從精靈輔助下界中得出的結(jié)論.

圖3 雙耦合極化碼在不同參數(shù)(K0，K1)構(gòu)造下的性能及其界

圖4 所示為雙耦合極化碼和CA-Polar 碼［4，10］以及PAC［12］在碼長為64，不同碼率下的性能.可以看出，所提出的雙耦合極化碼具有良好的性能，在不同碼率下性能都與現(xiàn)有極化碼短碼構(gòu)造性能相當(dāng).

圖4 雙耦合極化碼與其他碼的性能比較

3 雙耦合極化碼的高階調(diào)制

在此節(jié)中，我們介紹高階調(diào)制下的雙耦合極化碼，并給出其相應(yīng)的編碼調(diào)制方案.

3.1 雙耦合極化碼的比特交織編碼調(diào)制

由于極化碼的碼長必須為2的冪次，因此當(dāng)高階調(diào)制映射的比特數(shù)不是2 的冪次時，比特交織編碼調(diào)制（BICM）系統(tǒng)會存在碼長匹配的問題.碼長匹配的常用方法是刪余或截短［20］，其中刪余方法有準(zhǔn)均勻刪余（Quasi-Uniform Puncturing，QUP）［21］及其擴(kuò)展算法［22］，在本文中僅使用QUP 算法，并將刪余后的傳輸長度記為M.雙耦合極化碼的BICM 系統(tǒng)框圖如圖5 所示，在雙耦合極化碼編碼完成之后，將碼字c=(c(0)，c(1))送入交織器以及映射器中，經(jīng)過格雷（Gray）映射得到已調(diào)符號序列x.信號經(jīng)過信道之后，先解映射成概率序列y，之后再解交織，最后送入雙耦合極化碼的譯碼器中進(jìn)行譯碼.

圖5 雙耦合極化碼的BICM系統(tǒng)框架

示例2在16QAM 調(diào)制下，我們考慮碼長為128，信息序列長度為K0+K1=64 的雙耦合極化碼.上下層的子極化碼碼長設(shè)置為64，均采用SCL 譯碼器，最大列表大小分別為128和8.圖6 所示為不同信息長度分配(K0，K1)下的精靈輔助界.可以看出在誤幀率為10-5附近，參數(shù)(23，41)的精靈輔助界是最優(yōu)的，因此我們使用該參數(shù)來構(gòu)造雙耦合極化碼.

圖6 16QAM 調(diào)制下BICM 系統(tǒng)中雙耦合極化碼在不同參數(shù)(K0，K1)構(gòu)造下的精靈輔助界

簡單起見，BICM 系統(tǒng)中的交織器設(shè)置為隨機(jī)交織器.我們在圖7 中給出了文獻(xiàn)［23］中的PAC 以及［24］中的CA-Polar碼在BICM系統(tǒng)中16QAM調(diào)制下的性能，與雙耦合極化碼的性能進(jìn)行對比.可以看出雙耦合極化碼的性能處于PAC和CA-Polar碼之間.

圖7 16QAM 調(diào)制下BICM 系統(tǒng)中雙耦合極化碼在參數(shù)(23，41)構(gòu)造下的性能及其界,其中PAC和CA-Polar 碼均由參數(shù)N=128,K=64構(gòu)造,SCL譯碼器參數(shù)為L=128

示例3在64QAM調(diào)制下，我們考慮碼長為192，信息序列長度為K0+K1=96的雙耦合極化碼.上下層子極化碼的母碼長度設(shè)置為128，傳輸長度為96.圖8所示為不同信息長度分配(K0，K1)下的精靈輔助界.可以看出，在誤幀率為10-4附近，參數(shù)(34，62)的精靈輔助界是最優(yōu)的，因此我們使用該參數(shù)來構(gòu)造雙耦合極化碼.

圖8 64QAM 調(diào)制下BICM 系統(tǒng)中雙耦合極化碼在不同參數(shù)(K0，K1)構(gòu)造下的精靈輔助界

同樣地，我們在圖9 中給出了CA-Polar 碼在BICM系統(tǒng)64QAM 調(diào)制下的性能，與雙耦合極化碼的性能進(jìn)行對比.由圖可以看出，在64QAM 調(diào)制下，刪余操作對雙耦合極化碼性能的影響會更大一些.因此，我們需要考慮一種碼長更為靈活，不需要進(jìn)行刪余或截短操作的編碼調(diào)制方案.

圖9 64QAM 調(diào)制下BICM 系統(tǒng)中雙耦合極化碼在不同參數(shù)(K0，K1)構(gòu)造下的性能及其界,其中CA-Polar 碼由參數(shù)N=256,M=192,K=96 構(gòu)造,SCL 譯碼器參數(shù)為L=128,CRC 生成多項式為g(x)=x8+x5+x4+1

3.2 雙層耦合極化編碼調(diào)制

為了構(gòu)造出碼長靈活的雙耦合極化碼，我們基于多層編碼調(diào)制（MLC）的思想，提出了雙層耦合極化編碼調(diào)制（DC-Polar-TLC）方案.其基本思想是，利用子集劃分（Set Partition，SP）映射［25］代替后向疊加.此時，與后向疊加類似，在逐次抵消過程中，當(dāng)上層的映射比特給定時，下層的星座點具有較大的距離，從而能夠改善下層的性能.這樣做的好處是，在高階調(diào)制下可以將SP映射和編碼聯(lián)合設(shè)計，從而解決碼長匹配的問題.

DC-Polar-TLC方案的性能下界可推導(dǎo)如下.

（1）上層精靈輔助界P(E0)

在SP 映射下，我們采用上層對應(yīng)比特的軟信息作為輸入，送入上層譯碼器進(jìn)行譯碼，從而得到上層的譯碼誤幀率性能.因為使用了SP 映射，相鄰星座點間可能有多個比特存在差異，因此相比于Gray 映射，上層的譯碼性能會有所下降.

（2）下層精靈輔助界P(E1)

在上層比特已知的條件下，我們提取下層比特軟信息，送入下層譯碼器進(jìn)行譯碼，得到精靈輔助下的下層誤幀率性能.得益于SP 映射方式，在上層比特已知時，剩余比特對應(yīng)的星座點之間具有較大的距離，相比于Gray映射，下層的譯碼性能會有所改善.

和雙耦合極化碼類似，我們可以通過選擇子極化碼的參數(shù)來使得下界達(dá)到最小.

值得指出的是，雙耦合極化碼的后向疊加是在二元域上進(jìn)行加法運算，而DC-Polar-TLC 方案借助的是SP映射和MLC方案，其增益和星座的選擇與劃分有關(guān)，因此需要針對具體的星座進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計.

本文以16QAM和64QAM 的DC-Polar-TLC 系統(tǒng)為例進(jìn)行說明.

在16QAM 調(diào)制下，DC-Polar-TLC 系統(tǒng)框圖如圖10所示.上下層采用碼長相同的子極化碼進(jìn)行編碼，編碼完成之后進(jìn)行交織并分段，最后送入映射器中進(jìn)行映射.需要說明的是，DC-Polar-TLC 系統(tǒng)通過SP 映射劃分出兩層，每層分成兩路序列并采用Gray映射.

圖10 16QAM調(diào)制下的DC-Polar-TLC系統(tǒng)框架

在64QAM 調(diào)制下，DC-Polar-TLC 系統(tǒng)框圖如圖11所示.上下層采用碼長不同的子極化碼進(jìn)行編碼，令N0表示上層子極化碼的碼長，N1表示下層子極化碼的碼長.根據(jù)映射方式不同可以分成兩種情況.第一種情況是N0=2N1，其中上層對應(yīng)星座的前四個比特，下層對應(yīng)星座的后兩個比特，稱這種映射方式為Φ1，如圖11（a）所示.第二種情況是N1=2N0，其中上層對應(yīng)星座的前兩個比特，下層對應(yīng)星座的后四個比特，稱這種映射方式為Φ2，如圖11（b）所示.

圖11 64QAM調(diào)制下的DC-Polar-TLC系統(tǒng)框架

示例4在16QAM 調(diào)制下，我們考慮整體碼長為128，信息序列長度為K0+K1=64 的DC-Polar-TLC 系統(tǒng).令上下層子極化碼的長度為64，均采用SCL 譯碼器，最大列表大小分別為128和8.經(jīng)過測試，我們使用參數(shù)(19，45)進(jìn)行構(gòu)造.

圖12 給出了DC-Polar-TLC 系統(tǒng)與三種不同碼在BICM 系統(tǒng)下的性能對比.可以看出，在16QAM 調(diào)制下，BICM系統(tǒng)的性能要略優(yōu)于DC-Polar-TLC系統(tǒng).

圖12 16QAM 調(diào)制下DC-Polar-TLC 系統(tǒng)在參數(shù)(19，45)構(gòu)造下的性能及其界

示例5在64QAM 調(diào)制下，我們考慮整體碼長為N0+N1=192，信息序列長度為K0+K1=96 的DC-Polar-TLC 系統(tǒng).經(jīng)過測試，在Φ1映射下我們使用參數(shù)(39，57)進(jìn)行構(gòu)造，在Φ2映射下我們使用參數(shù)(8，88)進(jìn)行構(gòu)造.

圖13 所示為64QAM 調(diào)制下BICM 系統(tǒng)、DC-Polar-TLC 系統(tǒng)、正態(tài)近似（Normal Approximation，NA）界［26］以及文獻(xiàn)［27］中的延時BICM（Delayed BICM，D-BICM）系統(tǒng)的性能比較.可以看出，在64QAM 調(diào)制下，DC-Polar-TLC 系統(tǒng)的性能超過了BICM 系統(tǒng)中的雙耦合極化碼和CA-Polar 碼的性能，以及D-BICM 系統(tǒng)中極化碼的性能.這是因為BICM 系統(tǒng)在64QAM 調(diào)制下需要進(jìn)行刪余或截短等碼長匹配的操作，在一定程度上會影響性能，而DC-Polar-TLC 系統(tǒng)可以靈活地分配上下層碼長，因此不會有性能損失.

圖13 64QAM調(diào)制下BICM系統(tǒng)和DC-Polar-TLC系統(tǒng)性能比較

4 結(jié)論

本文提出了高階調(diào)制下雙耦合極化碼的編碼調(diào)制方案，并根據(jù)最優(yōu)的精靈輔助下界來選擇參數(shù)進(jìn)行構(gòu)造.為了得到碼長靈活可變的雙耦合極化碼，本文提出了雙層耦合極化編碼調(diào)制（DC-Polar-TLC）方案，并分析了DC-Polar-TLC 方案與BICM 方案的區(qū)別，通過仿真驗證了DC-Polar-TLC 方案的效果比使用刪余的BICM 方案更好.本文還舉例說明了64QAM 調(diào)制下DC-Polar-TLC 方案的兩種不同映射的區(qū)別，通過仿真發(fā)現(xiàn)Φ2映射方式的性能比Φ1映射方式的更好.仿真表明，Φ2映射方式下DC-Polar-TLC 方案的性能比使用BICM 方案的CA-Polar碼提升了約0.6 dB.