基于條件高斯分布的未知輸入與狀態(tài)估計(jì)算法

丁 博 ，楊月全，方華京

(1.揚(yáng)州大學(xué)信息工程學(xué)院自動(dòng)化專業(yè)部，江蘇揚(yáng)州 225127;2.華中科技大學(xué)人工智能與自動(dòng)化學(xué)院，湖北武漢 430074)

1 引言

未知輸入和狀態(tài)估計(jì)算法在地球物理和環(huán)境應(yīng)用[1]、故障估計(jì)[2]以及容錯(cuò)控制[3]等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，受到了諸多研究者的關(guān)注.

對(duì)于未知輸入僅出現(xiàn)在系統(tǒng)方程的線性隨機(jī)系統(tǒng)，最小方差無(wú)偏(minimum-variance unbiased，MVU)算法是估計(jì)未知輸入和狀態(tài)的一種通用算法[1].隨后，研究者們利用參數(shù)化方法推廣了MVU算法[4-6].文獻(xiàn)[7]和文獻(xiàn)[8]分別給出了MVU算法的全局最優(yōu)性和穩(wěn)定性.文獻(xiàn)[9]給出了一種基于多步信息的輸入和狀態(tài)同步估計(jì)方法，減少了噪聲的敏感性.

針對(duì)直接饋通系統(tǒng)，即未知輸入同時(shí)影響狀態(tài)方程和測(cè)量方程的系統(tǒng)，文獻(xiàn)[10]提出了遞歸3步濾波算法(recursive three-step filter，RTSF)來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的未知輸入和狀態(tài).對(duì)于直接饋通矩陣不滿秩的情況，文獻(xiàn)[11-13]利用奇異值分解的方法來(lái)改進(jìn)相應(yīng)的算法.但是，這種方法僅能得到系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)而忽略了未知輸入估計(jì)，為此，文獻(xiàn)[14]和文獻(xiàn)[15]分別提出了5步遞歸濾波算法來(lái)得到未知輸入估計(jì).值得注意的是，上述文獻(xiàn)中提到的算法都是在輸入信息完全未知的情況下得到的.最近，文獻(xiàn)[16]指出RTSF算法需要系統(tǒng)滿足強(qiáng)可檢測(cè)性(strong detectability)條件，如果系統(tǒng)不滿足強(qiáng)可檢測(cè)性條件，則RTSF算法將發(fā)散.這在一定程度上限制了該算法的應(yīng)用.然而，文獻(xiàn)[16]只討論了如何構(gòu)造出滿足強(qiáng)可檢測(cè)性的模型，但并沒(méi)有給出相應(yīng)的濾波算法.文獻(xiàn)[17]將有限方差的高斯分布做為未知輸入的模型，為未知輸入估計(jì)算法的設(shè)計(jì)提出了一個(gè)新的思路.

受到文獻(xiàn)[17]的啟發(fā)，本文針對(duì)直接饋通線性隨機(jī)系統(tǒng)，采用有限方差的高斯分布作為未知輸入的模型[17]，根據(jù)條件高斯分布的性質(zhì)，推導(dǎo)出一個(gè)新的算法來(lái)得到未知輸入估計(jì)和狀態(tài)估計(jì).本算法的貢獻(xiàn)主要由以下兩點(diǎn):1)利用矩陣極限的性質(zhì)，從理論上嚴(yán)格證明了當(dāng)未知輸入模型的方差趨于無(wú)窮大時(shí)，本文給出的濾波公式等價(jià)于文獻(xiàn)[10]提出的RTSF算法，也即，RTSF算法相當(dāng)于是本文算法中當(dāng)未知輸入模型的方差趨于無(wú)窮大時(shí)的特例;2)給出了本文提出的濾波公式的穩(wěn)定性條件.結(jié)果表明，與RTSF算法相比，本文給出的濾波算法不需要強(qiáng)可檢測(cè)性條件，因而適用性更廣.

2 問(wèn)題描述和RTSF算法

本節(jié)，本文給出直接饋通隨機(jī)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，并簡(jiǎn)要介紹文獻(xiàn)[10]提出的RTSF算法.

2.1 問(wèn)題描述

考慮如下直接饋通線性隨機(jī)系統(tǒng):

初始值分別與系統(tǒng)噪聲wk和測(cè)量噪聲vk互不相關(guān).

注1為表述簡(jiǎn)明起見(jiàn)，本文只考慮時(shí)不變系統(tǒng).應(yīng)當(dāng)指出的是，本文的算法對(duì)于時(shí)變系統(tǒng)仍然成立.

2.2 RTSF算法

在沒(méi)有未知輸入dk的先驗(yàn)信息的條件下，可以利用RTSF算法[10]來(lái)得到未知輸入的估計(jì)和狀態(tài)估計(jì).接下來(lái)對(duì)該算法作一簡(jiǎn)要介紹，更多細(xì)節(jié)請(qǐng)參考文獻(xiàn)[10].步驟1時(shí)間更新:

步驟2未知輸入估計(jì):

步驟3狀態(tài)估計(jì):

3 濾波推導(dǎo)

本節(jié)，本文采用有限方差的高斯分布來(lái)描述輸入信號(hào)dk，以此作為輔助信息，利用條件高斯分布的性質(zhì)，推導(dǎo)出模型(1)的濾波公式，進(jìn)而得到系統(tǒng)的未知輸入估計(jì)和狀態(tài)估計(jì).

假 設(shè)1[17]令dk～N(σ，Qd)，(k ＞0)，并且與初始值x0，d0以及噪聲wk，vk互不相關(guān).

根據(jù)上述假設(shè)，結(jié)合系統(tǒng)(1)的模型，利用高斯分布的條件概率密度，得到下述算法.

則k時(shí)刻的估計(jì)及協(xié)方差矩陣可由下列表達(dá)式得到

其中Pk|k-1和Γk分別由式(17)-(18)給定.再根據(jù)高斯分布的條件概率密度公式，可以得到條件期望為

整理即得式(19)-(22).同時(shí)由式(27)可知xk和dk的協(xié)方差為

注2RTSF算法(2)-(12)是在輸入dk的信息完全未知的情況下直接由系統(tǒng)(1)推導(dǎo)得到的，其推導(dǎo)過(guò)程并沒(méi)有用到任何未知輸入的信息.而本節(jié)的算法(16)-(26)的推導(dǎo)則借助了dk的信息.應(yīng)當(dāng)指出的是，假設(shè)1中dk的信息蘊(yùn)含在其方差Qd之中.而當(dāng)(Qd)-1→0時(shí)，也就意味著dk的信息趨于未知.此時(shí)，算法(16)-(26)的結(jié)果應(yīng)當(dāng)趨近于RTSF算法.接下來(lái)，本文將利用矩陣極限的工具，嚴(yán)格證明上述結(jié)論，即，當(dāng)(Qd)-1→0時(shí)，算法(16)-(26)等價(jià)于RTSF算法(2)-(12).

4 等價(jià)性證明

本節(jié)，本文將證明本文給出的濾波式(16)-(26)在極限情況下，即當(dāng)(Qd)-1→0時(shí)，等價(jià)于RTSF算法(2)-(12).在給出主要結(jié)論之前，首先給出了如下引理.

引理1(矩陣逆引理[18]) 設(shè)A，B，C，D是具有適當(dāng)維數(shù)的矩陣，其中A和D都是可逆的.如果(A+BD-1C)和(D+CA-1B)也可逆，那么以下式子成立:

引理2設(shè)矩陣Qd ∈Rq×q，R ∈Rm×m，H ∈Rm×q，其中Qd和R是正定的，rankHq，m≥q.當(dāng)(Qd)-1→0時(shí)，則以下式子成立:

證由于rankHq，且R是正定的，顯然可知((Qd)-1+HTR-1H)-1存在.利用式(28)可得

由此可知式(32)與式(30)成立.根據(jù)式(29)，可得于是式(31)成立. 證畢.

定理2如果定理1中的濾波式(16)-(26)與RTSF算法(2)-(12)在第(k-1)步時(shí)的協(xié)方差矩陣相等，也即

則當(dāng)(Qd)-1→0時(shí)，有MkMk，LkLk，且兩種濾波在第k步時(shí)的協(xié)方差矩陣也相等，即

證明過(guò)程參見(jiàn)附錄.

注意到式(21)-(22)可以重新表示為

由式(13)-(14)和定理2可得，當(dāng)(Qd)-1→0時(shí)，下面式子成立:

于是式(35)-(36)分別退化為式(10)和式(6).根據(jù)以上的討論，可以馬上得到下述定理.

定理3對(duì)于直接饋通線性隨機(jī)系統(tǒng)(1)，如果初始協(xié)方差滿足

則當(dāng)(Qd)-1→0時(shí)，濾波式(16)-(26)與RTSF算法(2)-(12)等價(jià).

仿石器材光學(xué)性能測(cè)試主要測(cè)試表面光譜反射曲線，與真實(shí)光譜進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算其差值，看是否滿足偽裝要求。測(cè)量采用ISI921VF-512型野外光譜儀，其主要技術(shù)指標(biāo)見(jiàn)表1。

注3本節(jié)嚴(yán)格證明了，當(dāng)(Qd)-1→0時(shí)，算法(16)-(26)等價(jià)于RTSF算法(2)-(12).從這個(gè)意義上說(shuō)，RTSF算法相當(dāng)于是本文給出的算法在(Qd)-1→0時(shí)一個(gè)極限.同時(shí)由定理3可知，即使未知輸入的信息完全未知，也可以通過(guò)選取一個(gè)適當(dāng)?shù)腝d，利用濾波公式(16)-(26)來(lái)近似代替RTSF算法.

5 漸近穩(wěn)定性

本節(jié)，本文將討論濾波式(16)-(26)的漸近穩(wěn)定特性.考慮線性時(shí)不變隨機(jī)系統(tǒng)(1)，令

則(18)式中的Γk可以改寫為

再由式(23)-(26)，可得

根據(jù)式(17)及式(39)可得到矩陣?yán)杩ㄌ岱匠倘缦?

下面將討論式(40)的矩陣序列的收斂條件，首先給出兩個(gè)預(yù)備引理.

引理3(A，C)是可檢測(cè)的(detectable)，當(dāng)且僅當(dāng)(A，C)可檢測(cè).

證明過(guò)程參見(jiàn)附錄.

同理可以得到下述引理.

由于強(qiáng)可檢測(cè)性條件(41)不滿足，RTSF算法將不能使用.但是(A，C)可檢測(cè)，則由定理4可知，本文的算法依然適用，因此可以選取一個(gè)適當(dāng)?shù)腝d，利用本文提出的濾波算法來(lái)估計(jì)系統(tǒng)的狀態(tài).

注5由定理2和定理3可知，當(dāng)(Qd)-1→0時(shí)，濾波式(16)-(26)等價(jià)于RTSF算法.但是，由定理4可知，兩者的穩(wěn)定性條件并不完全一致.由此可以間接地得知，當(dāng)強(qiáng)可檢測(cè)性條件不滿足時(shí)，隨著(Qd)-1→0，矩陣?yán)杩ㄌ岱匠?40)的解將不再收斂.

6 仿真結(jié)果

本節(jié)，本文將通過(guò)仿真，來(lái)說(shuō)明濾波當(dāng)(Qd)-1→0時(shí)，濾波式(16)-(26)與RTSF算法(2)-(12)的等價(jià)性.并討論當(dāng)強(qiáng)可檢測(cè)性不滿足時(shí)，兩個(gè)算法的差別.

例1考慮如下一維模型:

其中系統(tǒng)噪聲的方差為Q0.01，測(cè)量噪聲的方差為R0.1.初始狀態(tài)值為0.1，其初始方差為1.未知輸入為周期30 s，幅值0.25的正弦波.利用RTSF算法，可以得到濾波的穩(wěn)態(tài)值為M1，L0.狀態(tài)估計(jì)和未知輸入估計(jì)誤差的方差分別為Px0.11，Pd0.21，其協(xié)方差誤差為Pxd-0.11.

下面考慮本文的算法(16)-(26)，令σ0，針對(duì)不同的Qd，可以得到相應(yīng)的濾波增益矩陣和濾波結(jié)果，如表1中所示.

表1 不同Qd值下本文算法的結(jié)果Table 1 The result of the proposed filter with different value of Qd

可以看出，當(dāng)Qd越來(lái)越大時(shí)，本文算法的結(jié)果趨近于RTSF算法，從而驗(yàn)證了定理2和定理3的正確性.這也說(shuō)明了，在應(yīng)用時(shí)可以根據(jù)系統(tǒng)的實(shí)際情況，選取合適的Qd，利用本文提出的算法來(lái)近似替代RTSF算法.從理論上說(shuō)，Qd越大，則本文算法結(jié)果越接近于RTSF算法，但Qd的值特別大時(shí)可能會(huì)導(dǎo)致數(shù)值計(jì)算溢出的風(fēng)險(xiǎn).因此，在確定Qd的值時(shí)，還需考慮系統(tǒng)模型和硬件情況.

利用RTSF算法，可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，其估計(jì)誤差如圖1所示，這里的估計(jì)誤差為狀態(tài)真實(shí)值與估計(jì)值之差的絕對(duì)值，即，ek|xk-|.可以發(fā)現(xiàn)，由于強(qiáng)可檢測(cè)性條件(41)不滿足，第1個(gè)狀態(tài)的估計(jì)誤差發(fā)散，此時(shí)RTSF算法失效.

圖1 RTSF算法的狀態(tài)估計(jì)誤差Fig.1 State estimation error by RTSF algorithm

令σ0，Qd1，根據(jù)本文提出的濾波式(16)-(26)，可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，估計(jì)誤差如圖2所示，可以看出此時(shí)系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)誤差仍是有界的.

圖2 本文算法的狀態(tài)估計(jì)誤差Fig.2 State estimation error by the proposed algorithm

顯然，與RTSF算法相比，本文提出的算法的適用性更廣.在強(qiáng)可檢測(cè)性不滿足時(shí)，RTSF算法失效，但仍然可以利用本文提出的算法來(lái)得到系統(tǒng)的狀態(tài)估計(jì)，只需選擇一個(gè)合適的Qd即可.應(yīng)當(dāng)注意的是，此時(shí)狀態(tài)估計(jì)誤差會(huì)隨著Qd的增大而增大，在實(shí)際應(yīng)用時(shí)，需要根據(jù)實(shí)際情況及濾波精度的要求予以選擇.

7 結(jié)論

本文主要研究了直接饋通線性隨機(jī)系統(tǒng)的未知輸入估計(jì)和狀態(tài)估計(jì)問(wèn)題.通過(guò)采用方差有限的高斯分布作為未知輸入信號(hào)的模型，以此推導(dǎo)出一個(gè)新的濾波算法.并利用矩陣極限的方法，從理論上證明了當(dāng)輸入信號(hào)的方差趨于無(wú)窮大時(shí)，本文給出的濾波算法等價(jià)于文獻(xiàn)[10]中的RTSF算法.該結(jié)論說(shuō)明了RTSF算法相當(dāng)于是本文算法在輸入信號(hào)的方差趨于無(wú)窮大時(shí)的極限.進(jìn)一步地，本文詳細(xì)研究了本文提出的濾波算法的漸進(jìn)穩(wěn)定性，在理論上說(shuō)明了該算法有更廣的適用范圍.應(yīng)當(dāng)指出的是，本文給出的矩陣極限的方法亦可以應(yīng)用于一般的帶有未知輸入的線性隨機(jī)系統(tǒng)，如文獻(xiàn)[17]的證明.對(duì)于非線性濾波[20]乃至更一般的貝葉斯濾波，如何利用未知輸入模型建立相應(yīng)的融合濾波算法，并探討其極限性質(zhì)，有待進(jìn)一步研究.

附錄

定理2的證明如果式(33)成立，則由式(3)和式(17)得Pk|k-1=Pk|k-1，于是Γk可以改寫為

將式(A1)分別代入式(19)-(20)，由引理2可得

由此可知當(dāng)(Qd)-1→0時(shí)，有Mk=Mk，Lk=Lk.

同理，當(dāng)(Qd)-1→0 時(shí)，下列等式成立:

這就證明了式(34)成立. 證畢.

引理3的證明假設(shè)(A，C)不可檢測(cè)，則存在z1∈C且|z1|≥1，使得

于是有(z1In-A)β1-Gβ2=0，Cβ1+Hβ2=0，z1Iqβ2=0.又因?yàn)閨z1|≥1，因此必有β2=0.這樣就得到(z1In -A)β1=0，Cβ1=0，也即

所以

這表明(A，C)也不可檢測(cè).同理可得，如果(A，C)不可檢測(cè)，則(A，C)也不可檢測(cè). 證畢.