多目標同時取送貨選址-路徑問題的多起點變鄰域搜索算法

陳希瓊，胡大偉，王 寧

(長安大學運輸工程學院，陜西西安 710064)

1 引言

選址-路徑問題(location-routing problem，LRP)集成處理設施選址和車輛路徑兩個關鍵物流決策問題.傳統(tǒng)LRP 研究的車輛路徑問題(vehicle routing problem，VRP)中，客戶僅存在取貨或送貨單一需求，而現(xiàn)實物流系統(tǒng)中，通常存在需要同時提供送貨和取貨服務的客戶，且要求在訪問中同時完成取送貨，如:需要回收空瓶的飲料、鮮奶及啤酒配送.

針對所有需求點均有取送兩層需求的物流配送問題，Min[1]首次定義了考慮同時取送貨的VRP(VRP with simultaneous pickup and delivery，VRPSPD)，研究中心圖書館與地方圖書館之間圖書發(fā)送與回庫問題.之后VRPSPD被廣泛研究:如多車場VRPSPD[2]、不同車型VRPSPD[3]、帶時間窗VRPSPD[4-5]、時間依賴型VRPSPD[6]等，以環(huán)保為出發(fā)點研究低碳約束[7-8]和最小化燃油消耗[9]的VRPSPD引起諸多學者的興趣.陳希瓊等[10]研究同時考慮車輛容量和距離約束的VRPSPD雙目標模型，并采用蟻群算法進行求解.

VRPSPD的廣泛研究表明考慮同時取送貨在物流決策中的重要性，然而考慮同時取送貨的LRP(LRP with simultaneous pickup and delivery，LRPSPD)近期才開始被少數(shù)學者關注.Karaoglan等[11-12]最早提出LRPSPD并進行了持續(xù)研究，構建了其初始模型，先后采用分支切面法、混合遺傳算法求解該模型;隨后，提出了基于節(jié)點和基于弧的混合整數(shù)規(guī)劃LRPSPD模型，構造了LRPSPD測試算例集，并設計兩階段模擬退火算法[13]和模因算法[14]求解模型.Yu等[15]設計多起點模擬退火算法，基于文獻[13]構造的算例，求解LRPSPD;在進一步研究中[16]，額外生成了客戶數(shù)達318的4組算例，設計改進的模擬退火算法進行求解.孫青偉等[17]基于實際案例研究了多車型LRPSPD.Kartal等[18]研究單一指派p-中位轉運站LRPSPD，Karimi[19]對樞紐選址VRPSPD 進行研究，不同于傳統(tǒng)LRPSPD，文獻[18-19]允許樞紐間轉運.Fan等[20]基于構造算法、局部搜索和變鄰域算法提出多起點混合啟發(fā)式算法求解兩階段LRPSPD;郭放等[21]研究前置倉選址VRPSPD.

文獻中考慮同時取送貨的多目標優(yōu)化研究主要針對VRPSPD，幾乎不能找到LRPSPD多目標優(yōu)化研究.Garc′?a-N′ajera[22]對取送貨問題的多目標研究進行調查，指出工作量平衡目標應被考慮，但在其提出的六目標模型中并未包括工作量平衡目標.同時，多目標優(yōu)化求解復雜，由于對多目標進行轉化處理具有不能兼顧多個目標的局限性，但近年來同時兼顧多個目標的Pareto解集成為研究重點，如Anderluh等[23].

LRPSPD研究通常以最小化總成本為目標，然而現(xiàn)實運作中決策者需要根據(jù)其他可能的情況進行決策，如考慮客戶滿意度、碳排放、各車輛的工作量平衡等.本文在文獻[10]的基礎上，集成選址決策，考慮車輛容量和車輛行駛里程約束，建立以最小化總成本與最小化各路徑間最大長度差為目標的雙目標模型，該模型為文獻中首次最小化總成本，同時以平衡各車輛的工作量為目標的多目標LRPSPD研究.鑒于變鄰域搜索算法在求解組合優(yōu)化問題中較好的性能，本文構造四類鄰域結構設計多起點變鄰域搜索算法，并設計多蟻群構造多個初始解作為變鄰域搜索的多起點，對文獻中的LRPSPD算例進行求解分析.

2 問題描述和數(shù)學模型構建

2.1 問題描述與符號說明

定義圖G(N，A)，其中NN0∪NC，N0，NC分別表示車場集合、需求點集合.每個潛在車場k ∈N0有固定的開放與營運成本fk，容量為Ck，每個客戶i的取送貨需求分別為pi，di.假定車場有足夠可供派遣的完全相同的車隊，每輛車最大容量為Q、最大行駛距離為L，派遣每輛車的固定成本F.每輛車從車場出發(fā)，通過恰當?shù)男旭偮肪€有序訪問該線路上的所有客戶，然后回到車場，每輛車最多執(zhí)行一條路徑的服務.A{(i，j):為邊集，每條邊(i，j)∈A的行駛成本即距離為cij.本文研究的LRPSPD可描述為:從一系列潛在車場中選擇開放的車場，并從開放的車場派出車輛，在不超過車輛容量和最大行駛里程的約束下，找到服務所有客戶后回到原車場的路徑，使成本最小化，同時最大可能地平衡各路徑的總長度(即最小化最長路徑與最短路徑的里程差).雙目標LRPSPD模型中的變量定義如下.

決策變量:xij1表示先后連續(xù)訪問客戶i，j，否則xij0;yk1表示備選車場k被選中開放，否則yk0;zik1表示節(jié)點i分配給車場k，否則zik0.

其他變量:Yij表示在(i，j)上時裝載的送貨量;Zij表示在(i，j)上時裝載的取貨量;li表示訪問客戶i時的累積行駛里程;tLmax(min)表示最長(最短)的被派遣車輛行駛路徑長度.

2.2 模型構建

基于以上問題描述與符號，構建以下雙目標LRPSPD數(shù)學模型:

目標函數(shù)(1)使總成本最小，包括路徑成本、車場的開放與運營固定成本和派遣車輛的成本，目標式(2)最小化車輛的最大行駛里程差，以平衡各車輛的工作量.式(3)-(4)規(guī)定所有客戶均被分配給開放的車場且僅被訪問一次，約束(5)保證進入某客戶的弧總數(shù)等于從該客戶出來的弧總數(shù)，約束(6)-(8)消除了未始于車場或止于車場的子路徑，且當且僅當分配給相同的車場時，才有可能被連續(xù)訪問，式(9)-(10)為車場容量約束，式(11)-(12)為訪問客戶點前后的流量平衡約束，同時表明客戶的需求在一次訪問中全部滿足，約束(13)保證從某開放車場運出的裝載量等于分配給該車場的所有客戶的送貨總需求，約束(14)保證在任意弧上的裝載量均不超過車輛容量，約束式(15)-(18)是對上下界進行限定，約束(19)-(21)保證車輛運送距離不超出最大可行駛距離，且當且僅當車被派遣時才存在累積行駛距離;式(22)-(23)界定了車輛行駛路徑的長度，式(24)-(27)為各變量的取值約束.

通常，有效不等式的加入可縮緊模型約束，從而消除模型解空間的無效片段.式(28)為式(14)的有效替換，其中M為極大常數(shù)，該式表示當且僅當客戶被連續(xù)訪問時，弧上存在流量，且不超過車輛的最大容量.

3 多起點變鄰域搜索算法

由于雙目標模型并不存在絕對的最優(yōu)解，因此本文設計優(yōu)化算法求解模型Pareto解.變鄰域搜索(variable neighborhood search，VNS)作為一種元啟發(fā)式方法已被成功應用于解決多種優(yōu)化問題，尤其對于大規(guī)模組合優(yōu)化問題效果較好.VNS求解性能受初始解影響較大，因此本文構造有一定關聯(lián)的多個初始解，并基于各初始解進行變鄰域搜索，稱為多起點變鄰域搜索算法(multi-start VNS)，算法流程如圖1所示.分步說明如下:

圖1 多起點變鄰域搜索算法流程圖Fig.1 Flow chart of mmulti-start VNS

步驟1初始化VNS產(chǎn)生可行解及不可行解的次數(shù)nF0，nINF0及多起點數(shù)nMS0，并分別設定其最大值;

步驟2分別基于選址蟻群、分配蟻群及車輛路徑安排蟻群構造初始解;

步驟3從初始解的多個鄰域中隨機選擇一個鄰域結構進行搜索;

步驟4檢查產(chǎn)生的鄰域解是否為可行解.

若不可行:則nINFnINF+1并判斷生成不可行解的次數(shù)是否達到最大，否則回到步驟3，是則跳到步驟5;

若可行:則判斷該可行解是否為Pareto解，若是則產(chǎn)生了多目標問題的新解，本輪搜索結束，初始化nF0，nINF0，開始新一輪搜索，回到步驟3;

若不是Pareto解，則nFnF+1并判斷是否滿足達到最大可生成可行解次數(shù)，回到步驟3或轉步驟5;

步驟5判斷是否達到最大起點數(shù):若nMSnMS+1否則同時更新各蟻群信息素矩陣，回到步驟2;若是則輸出并結束程序.

根據(jù)以上步驟說明，變鄰域搜索的每一個初始解(起點)，均在每一次迭代開始時，基于此前迭代產(chǎn)生的解以及更新后的信息素由多蟻群算法產(chǎn)生，從而使變鄰域搜索的多個起點間相互關聯(lián)，且隨迭代發(fā)生變鄰域搜索的起點對應的解更優(yōu).

3.1 多蟻群構造算法初始解

蟻群算法最初被Dorigo等[24]應用于旅行商問題(travelling salesman problem，TSP)，取得了很好的應用效果.本文將LRPSPD分解為選址、分配、路徑選擇3個子問題，采用多蟻群算法思想，設計對應的3個蟻群，以構造LRPSPD變鄰域搜索初始解.

3.1.1 選址

第s次構造初始解時，ps為開放車場的數(shù)量，表示車場k上的信息素強度，Us為還未被螞蟻選中的車場集合，ηk為表達車場k特性的效用函數(shù).首先根據(jù)式(29)確定需開放的車場數(shù)，后根據(jù)式(30)-(31)所示準則依次選出合適的車場，q為[0，1]的隨機數(shù)，q0為[0，1]間預先設定數(shù)，參數(shù)α表示ηk相對于信息素對轉移概率的影響程度.

3.1.2 分配

第s個初始解構造過程中，開放的車場k與客戶i之間的信息素為，對當前還未分配的任意客戶i，根據(jù)以下準則從開放的車場Os中選擇車場k，并將客戶i分配給車場k.

其中:φik為行駛成本的倒數(shù)，表示將當前客戶分配給行駛成本較小的車場;φik為Φik的倒數(shù)，Φik表示為包含當前需分配的客戶的條件下，當前已分配給車場的所有客戶總取送貨的平衡，為包含當前客戶的所有已分配給車場的客戶集合，q′為[0，1]的隨機數(shù)，為[0，1]間預先設定數(shù)，參數(shù)β和γ分別表示φik與φik相對于信息素對轉移概率的影響程度

分配結束后，檢查分配給各車場的所有需求點總需求是否超出車場容量，并對分配給容量超出的車場的需求點進行調整，調整方案偽代碼如下.

算法1:

3.1.3 路徑選擇

選址、分配確定后，LRPSPD可視為多個單車場的VRPSPD，該節(jié)分別確定分配給同一車場的需求點的訪問路徑.為構造第s個初始解時弧(i，j)上的信息素強度，螞蟻根據(jù)各條路徑上的信息量和反映網(wǎng)絡本身特性的效用函數(shù)決定下一步要轉移的點，Pij表示螞蟻由節(jié)點i轉移到節(jié)點j的概率.其中q′′為均勻分布在[0，1]上的隨機數(shù)，為預先設定的值，當q≤q0時，螞蟻直接移動到使效用函數(shù)取最大值的點j如式(35)，否則按式(36)所示概率進行輪盤賭選擇轉移到j點，越大表明螞蟻隨機性越小，Zis表示第s次初始解螞蟻到達節(jié)點i上時未訪問的節(jié)點集合，當達到行駛距離約束或容量約束條件時，返回車場，并再次從該車場開始構建新的路徑，直到所有節(jié)點都被訪問，即

式(38)中當點的凈裝載量等于點的凈卸載量時ζij1.ψij與ζij體現(xiàn)網(wǎng)絡本身特征，結合螞蟻轉移規(guī)則反應出螞蟻具有偏好以最大節(jié)約距離服務取送貨需求差最小的客戶的特性.參數(shù)β′和γ′分別表示ψij與ζij相對于信息素對轉移概率的影響程度.

3.2 多目標變鄰域搜索

本文變鄰域搜索采用四類鄰域結構:路徑內點序列操作、路徑間點序列操作、從不同車場出發(fā)的兩條路徑交換、開放車場與未開放車場交換.每次鄰域操作均在隨機選擇的擾動機制下被執(zhí)行，且均以找到Pareto解為目標，變鄰域搜索過程定義了最大無效操作次數(shù)(產(chǎn)生不可行解次數(shù)nINF-max、產(chǎn)生可行但為支配解的次數(shù)nF-max)，即若產(chǎn)生nINF-max個不可行解或nF-max)個支配解后，仍未找到新的Pareto解，則搜索結束;若找到新的Pareto解，則初始化nINF0，nF0，繼續(xù)執(zhí)行變鄰域操作.以下為第s次迭代中多目標變鄰域搜索操作偽代碼.

算法2:

3.2.1 路徑內操作

1) 插入:隨機選擇路徑上的需求點子序列σ，從當前位置刪除，插入到該路徑的其他位置，|σ|小于該路徑上總需求點個數(shù).如圖2中a所示.

2) 交換:隨機選擇路徑上兩個不重疊的子序列(σ1，σ2)，交換兩個序列的位置，子序列上需求點個數(shù)根據(jù)該路徑上總需求點個數(shù)隨機選擇，|σ1|+|σ2|不超過該路徑上總需求點個數(shù).如圖2中b所示.

3) 翻轉:隨機選擇路徑上的需求點子序列σ，在原位置進行翻轉，|σ|小于該路徑上總需求點個數(shù).如圖2中c所示.

圖2 路徑內局部搜索操作示意圖Fig.2 Procedure of Intra-route local search

3.2.2 路徑間操作

1) 插入:隨機選擇一條路徑r1，并隨機選擇子序列σ從當前位置刪除，隨機選擇另一條路徑r2，將σ插入該路徑中的任意位置，|σ|不超過該路徑上總需求點個數(shù)，若|σ|等于r1上總需求點個數(shù)，則r1整條路徑被插入其他路徑中，刪除路徑r1.如圖3中a所示.

2) 交換:隨機選擇兩條路徑r1，r2，分別選取子序列(σ1，σ2)，交換兩個序列的位置.如圖3中b所示.

3) 翻轉交換:隨機選擇兩條路徑r1，r2，分別選取子序列(σ1，σ2)，交換兩個序列的位置同時分別將子序列進行翻轉.如圖3中c所示.

圖3 路徑間局部搜索操作示意圖Fig.3 Procedure of Inter-route local search

|σ1|，|σ2|均不超過路徑r1，r2上總需求點個數(shù).

3.2.3 路徑操作

隨機選擇從不同車場出發(fā)的兩條路徑，整條路徑進行交換，即交換兩條路徑的出發(fā)車場.

3.2.4 車場操作

若存在未開放的車場，隨機選擇一個開放車場D1與一個未開放車場D2，交換兩個車場，即開放車場D2，將從原開放車場D1出發(fā)的所有路徑，全部調整為從D2出發(fā)，關閉車場D1.

3.3 信息素更新準則

基于一個初始解達到最大變鄰域搜索次數(shù)后，輸出產(chǎn)生的Pareto解集.基于第3.1節(jié)中描述的多蟻群構造初始解的方法，以及Pareto解集對多蟻群信息素矩陣的影響，構造新的初始解，本文設計選址、分配和路徑選址蟻群信息素更新主要受Pareto解集中總成本最小(各車輛行駛旅程差最大)及各車輛行駛旅程差最小(總成本最大)兩個特殊的Pareto解的影響.令該兩個Pareto解為X1，X2，任意Pareto解對應的兩個目標函數(shù)值分別為f1(·)，f2(·)，各蟻群的信息素更新準則如式(39)-(44)，式中ρ，ρ′，ρ′′為各蟻群信息素揮發(fā)系數(shù)，nk為分配給車場的需求點數(shù)量，tL(·)為對應解的總車輛行駛路徑長.設選址、分配和路徑選址蟻群初始信息素水平為1/fk、極小的數(shù)和1/dij，

4 算例求解與結果分析

根據(jù)以往文獻，對蟻群算法中的參數(shù)范圍進行經(jīng)驗性設置:信息素揮發(fā)系數(shù)ρ，ρ′，ρ′′ ∈[0.2，0.8]，啟發(fā)式因子α ∈[2，5]，β，β′ ∈[0，5]，γ，γ′ ∈[0，5]，隨機因子q0，∈[0.2，0.8].初次分配結束后，對車場容量進行檢查，若容量超出對需求點的分配進行調整以確定是否需要額外開放一個車場，分配調整的最大次數(shù)nA-max∈[0.5，1，1.52]×|NC|.MSVNS中起點數(shù)nMS∈[0.5，1，1.52]×|N|，每一次VNS允許連續(xù)產(chǎn)生可行且為支配解的最大次數(shù)nF-max∈[0.5，1，1.52]×|N|，允許連續(xù)產(chǎn)生不可行解的最大次數(shù)為nINF-maxnF-max.基于以上參數(shù)范圍，從本文采用的Karaoglan等[13]中隨機選擇4組不同規(guī)模的算例進行多組參數(shù)組合試驗，獲得最佳解的參數(shù)組合為:ρ，ρ′，ρ′′0.2，0.2，0.2，α2，β，β′3，3，γ，γ′1，2，q0，0.7，0.7，0.8，nA-max|NC|，nMS|N|，nF-max2×|N|.

4.1 算例求解結果

Karaoglan等[13]根據(jù)兩種不同的需求拆分策略(demand separate strategy，DSS)基于兩組LRP算例構造了4組測試算例:BAM，BSN，PAM，PSN，分別簡稱B，P系列，應用文獻[13]中的算例，并設置最大行駛里程為一個較大的常數(shù).運用MATLAB(R2014b)編寫代碼，在Windows 7操作系統(tǒng)，處理器為Intel(R)Core(TM)i5-4460(3.20 Ghz)，8 GB內存的個人電腦上運行程序，每組算例運行10次，不同次運行產(chǎn)生的Pareto解存在相互支配，因此綜合10次運行結果得到最優(yōu)Pareto前沿.基于綜合后的最優(yōu)Pareto前沿，決策者可根據(jù)實際偏好進行決策.

4.1.1 邊界Pareto解分析

圖4(a)(b)分別為BAM，PAM系列中隨機算例的所有解集，最優(yōu)Pareto前沿如菱形所示.圖4(a)中不同解的最大行駛里程差波動較大，即不同的選址-路徑?jīng)Q策會導致不同車輛的工作量相差較大，而圖4(b)中不同決策下車輛的工作負荷相對平均.設近似Pareto解集中100%偏向最小化總成本時對應的兩個目標函數(shù)值分別為與;100%偏向最小化車輛間最大行駛里程差時為與則

圖4 不同系列隨機兩算例10次運行近似Pareto解集Fig.4 Pareto solutions of 10 runs for 2 random instances from different series

反映了車輛間最大行駛里程差隨成本變化的最大波動率.

表1-2列出各算例的ΔG/C值，B系列算例車輛間最大行駛里程差隨成本變化的最大波動率最大值分別達178.24，235.34，平均值為58.59，86.5，表明B系列算例不同Pareto解對應的選址-車輛路徑方案，在總成本變化不大時車輛間工作量相差較大，體現(xiàn)出決策時考慮車輛間工作量平衡目標的重要性.而表2中P系列算例的ΔG/C值較小，平均值分別為4.48，14.39，即:在不同決策下，各車輛間工作量均相對平均.

表1 B系列算例邊界Pareto解Table 1 Pareto with extreme OFVs for instances sets B

表2 P系列算例邊界Pareto解Table 2 Pareto with extreme OFVs for instances sets P

4.1.2 鄰域結構性能分析

為了分析四類鄰域結構對算法性能的影響，隨機選取不同規(guī)模的算例，逐一刪除四類鄰域中的某一類鄰域進行測試，獲得成本最小的解，如表3所示，其中Gap%表示刪除鄰域后獲得的解與使用全四類鄰域的解的偏差，如第4列:

由于算法包含多蟻群、多起點和變鄰域搜索3種機制，在3種機制的組合下算法達到較好的性能，而非僅由鄰域結構確定;另外，對于不同的算例，某一種鄰域操作產(chǎn)生的多樣化具有較大的隨機性，即某一種鄰域結構操作對某一算例可能產(chǎn)生更優(yōu)的解、同時也未可能產(chǎn)生更優(yōu)的解，這解釋了表3中刪除單一鄰域結構后對解的影響不甚明顯的原因.

表3 鄰域結構性能分析Table 3 Performance analysis of neighborhoods

4.1.3 算法性能分析

本文以100%偏向總成本最小函數(shù)選取近似Pareto解集中成本最小的解與文獻中以最小化總成本為目標求得的解進行對比，提取10次運行求得解集中成本最小的解，分別以最優(yōu)解和平均解與上界進行比較，得到最小偏差(Gap%min)和平均偏差(Gap%Avg).

B系列算例的解與Karaoglan等[11]獲得的上界、B&C算法求得的解、以及模因算法(MA)[16]進行對比，見表4-5，結果顯示本文提出的MSVNS可在極短的時間內(平均分別為4.3 s，6.12 s)求解BAM，BSN系列所有算例包含成本近似最優(yōu)的Pareto解，與上界相比最優(yōu)解的平均偏差分別為17.57%，17.39%，平均解的平均偏差為17.94%，17.78%，最優(yōu)解與平均解相差小于0.5%表明了算法的穩(wěn)定性.盡管整體上解與上界的偏差相較于B&C有一定的差距，但在求解速度上有明顯優(yōu)勢，并且部分算例(Perl83-55×15及Perl83-85×7)的解比B&C更優(yōu).

表4 BAM算例MSVNS算法與B&C結果比較Table 4 Results comparison by MSVNS against B&C for BAM instances

表5 BSN算例MSVNS算法與B&C結果比較Table 5 Results comparison by MSVNS against B&C for BSN instances

P系列算例的解與文獻[11]上界及B&C獲得的解、以及混合遺傳算法(hybrid genetic algorithm，HGA)[14]求得的解進行對比，如表6-7，結果表明MSVNS對P系列算例極好的適應性，72個算例中共46個算例獲得了比上界更好的解，最好解的平均偏差分別為-1.7，-2.08，平均解的平均偏差分別為-1.59，-1.92，表明算法穩(wěn)定性，同時說明本文提出的MSVNS求得的平均解的結果優(yōu)于文獻中其他的算法，且求解時間同樣具有明顯優(yōu)勢.

表6 PAM算例MSVNS算法與文獻中已有結果比較Table 6 Results comparison by MSVNS against existing results in literature for PAM instances

表7 PSN算例MSVNS算法與文獻中已有結果比較Table 7 Results comparison by MSVNS against existing results in literature for PSN instances

為進一步比較MSVNS求解性能，表8從獲得新最優(yōu)解的數(shù)量及平均求解時間與文獻[15]中兩種模擬退火(simulated annealing，SA1，SA2)及多起點模擬退火算法(multi-start SA，MSA)進行比較.對比P系列不同規(guī)模算例的求解結果，MSVNS 僅在50×5規(guī)模算例上獲得的新最優(yōu)解略少于SA，MSA，在其他規(guī)模算例上均獲得了更多最優(yōu)解，解的精度和平均求解時間均體現(xiàn)出MSVNS求解性能更優(yōu).

表8 不同方法獲得新最優(yōu)解的數(shù)量及平均求解時間比較Table 8 Number of new best solutions obtained and computational time required by each approach

5 結論

本文考慮車輛容量和最大行駛里程限制，構建了最小化總成本和最小化不同車輛行駛距離最大差以平衡各車輛的工作負荷的雙目標LRPSPD模型.提出一種多起點變鄰域搜索算法(MSVNS)進行求解，首先基于多蟻群算法構建初始解，基于初始解設計四類鄰域結構進行隨機變鄰域多目標搜索，根據(jù)所得Pareto鄰域解更新信息素，而后產(chǎn)生新的初始解作為變鄰域搜索起點.本文用MSVNS算法求解文獻中的算例，解得Pareto前沿的分布情況說明了考慮最小化路徑間最大長度差目標的重要意義.與其他求解LRPSPD方法求解結果的比較表明了算法在求解速度上的絕對優(yōu)勢;尤其對于P系列算例，MSVNS在求解精度和求解時間均表現(xiàn)出更優(yōu)性能，說明MSVNS算法可求得權衡各目標的Pareto解，并使得最小總成本目標近似最優(yōu).

文中算法對B系列與P系列求解結果精度差異較大，一方面，算法對于不同算例的普適性需進一步提高，另一方面，不同系列算例與不同算法匹配規(guī)律有待進一步分析研究.采用容量較小的車輛并派遣其訪問偏遠節(jié)點，對于平衡車輛的行駛距離，充分利用車輛的裝載空間有重要的意義，因此多車型的LRPSPD為未來研究的重要方向之一.基于現(xiàn)實物流情形，同時考慮如時間窗約束、隨機行駛時間等其他因素的LRPSPD將是非常值得研究的領域.