基于量子粒子群的定模動輥裝備系統(tǒng)動力學(xué)優(yōu)化

李傲然，李強(qiáng)

(北方工業(yè)大學(xué)機(jī)械與材料工程學(xué)院，北京 100144)

0 前言

變截面輥彎成形構(gòu)件可以根據(jù)載荷情況確定截面幾何形狀，實現(xiàn)等強(qiáng)度設(shè)計，有效減少零件質(zhì)量。對于超高強(qiáng)鋼等傳統(tǒng)沖壓工藝難以成形的材料，變截面輥彎漸進(jìn)成形技術(shù)有著獨有的優(yōu)勢，可以有效減少缺陷，實現(xiàn)復(fù)雜構(gòu)件成形。變截面輥彎成形的工作原理：以多個道次成組運(yùn)行，每一個道次承擔(dān)預(yù)先計算好的成形量，通過各個道次的成形累加，最終實現(xiàn)目標(biāo)零件的加工。

在汽車、高速列車、航空及航天工業(yè)中，如何保證產(chǎn)品強(qiáng)度、剛度以及輕量化制造是追求目標(biāo)。為適應(yīng)當(dāng)代綠色制造要求，提高輥彎成形件的質(zhì)量，對輥彎成形機(jī)電設(shè)備性能提出了更高要求，如何實現(xiàn)變截面輥彎成形過程中系統(tǒng)動力學(xué)性能優(yōu)化是裝備研制需要解決的問題。

定模動輥成形機(jī)三維模型如圖1所示，主要由向運(yùn)動大機(jī)架、5個向運(yùn)動小機(jī)架、模具、實現(xiàn)模具開合的液壓氣動元件等組成。向驅(qū)動電機(jī)通過齒輪齒條驅(qū)動向運(yùn)動機(jī)架，帶動5個道次整體向前運(yùn)動，軋輥驅(qū)動電機(jī)驅(qū)動軋輥旋轉(zhuǎn)。向電機(jī)負(fù)責(zé)調(diào)整軋輥垂向位置。成形板料靜止于模具，5個道次軋輥組依次沿模具滾動，每個道次角度分別為30°、50°、70°、84°、84°。

圖1 定模動輥成形機(jī)三維模型

本文作者基于5個道次的定模動輥成形裝備設(shè)計的理論問題，以提高裝備動力學(xué)特性為目標(biāo)，選擇量子粒子群優(yōu)化算法對其實體裝備各零部件的設(shè)計參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使它在運(yùn)動過程中獲得更小的動態(tài)響應(yīng)加速度。

1 量子粒子群優(yōu)化算法改進(jìn)設(shè)計

本文作者所研究的最優(yōu)化問題計算規(guī)模龐大，為提高優(yōu)化效率，探索改進(jìn)的量子粒子群優(yōu)化算法成為需要解決的問題。

1.1 基于改變粒子勢阱方程的異步尋優(yōu)策略

標(biāo)準(zhǔn)的量子粒子群優(yōu)化算法是受粒子群算法的啟發(fā)，通過仿照量子力學(xué)中勢場中的粒子從高勢能向低勢能運(yùn)動所創(chuàng)造的尋優(yōu)機(jī)制。粒子的極小值可以看為勢能最低的點，它的搜索空間可以模擬為量子力學(xué)中的勢阱，搜索過程可以視為高勢能向低勢能運(yùn)動的過程?，F(xiàn)有的量子粒子群優(yōu)化算法采用如下方程進(jìn)行位置更新：

,(+1)=,±ln[1,()]|()-,()|

(1)

標(biāo)準(zhǔn)量子粒子群優(yōu)化算法的問題在于隨著優(yōu)化迭代次數(shù)的增加,勢阱中心的引領(lǐng)作用逐漸減小，粒子信息過于單一，導(dǎo)致求解容易陷入局部最優(yōu)解、求解效率不高等問題。為此，本文作者提出改進(jìn)的量子粒子群優(yōu)化，其改進(jìn)的主要策略是針對位置更新方程中的勢阱長度方程部分進(jìn)行設(shè)計的，具體改進(jìn)方案如下：

首先，取量子粒子群優(yōu)化算法中粒子群的平均粒子極值，即在第次迭代中對所有粒子的適應(yīng)度求和取平均值，其表達(dá)方程如下：

(2)

以上述平均粒子極值為界，根據(jù)粒子當(dāng)前適應(yīng)度對其分類，將適應(yīng)度()>()的粒子稱作劣等粒子，將()<()的粒子稱作優(yōu)等粒子。

對于這兩類粒子，分別采用不同的勢阱方程進(jìn)行位置尋優(yōu)。具體的異步尋優(yōu)策略：對劣等粒子來說，在尋優(yōu)過程中應(yīng)更多地借鑒粒子群中其他粒子的經(jīng)驗來引導(dǎo)飛行，在勢阱方程的設(shè)計上由粒子平均最優(yōu)位置avr，()替代當(dāng)前粒子全局最優(yōu)位置()來引導(dǎo)飛行，充分分享粒子個體最優(yōu)位置,()和種群平均最優(yōu)位置avr,()的位置信息，強(qiáng)化種群當(dāng)中粒子的協(xié)作能力，使更多的粒子信息能夠決策劣等粒子的飛行，其位置更新方程設(shè)計如下：

,(+1)=,±ln[1,()]·

|avr,()-,()|

(3)

其中:avr()為維的平均最優(yōu)位置，可表示為

()=[()+()+…+,d()]

(4)

而對于優(yōu)等粒子來說，應(yīng)保持自己的飛行經(jīng)驗，按照標(biāo)準(zhǔn)的位置更新模型進(jìn)行尋優(yōu)，繼續(xù)選擇以全局最優(yōu)位置()來引導(dǎo)粒子飛行，在勢阱方程的設(shè)計上依然采用全局最優(yōu)位置信息影響個體最優(yōu)位置，以保證繼續(xù)向全局最優(yōu)的勢態(tài)飛行，其位置更新方程如式(1)所示。

通過以上這種異步尋優(yōu)策略,可以提高種群中粒子的豐富性，促進(jìn)種群之間的協(xié)作，有利于減輕陷入局部最優(yōu)解的現(xiàn)象，提高算法尋優(yōu)的性能。

1.2 基于距離權(quán)重系數(shù)動態(tài)改變粒子收縮擴(kuò)張系數(shù)的尋優(yōu)策略

在標(biāo)準(zhǔn)的量子粒子群算法中，線性調(diào)整收縮擴(kuò)張系數(shù)是控制該系數(shù)的主要方式。這種線性的控制方式存在一定的弊端，在迭代前期發(fā)現(xiàn)適應(yīng)度較好的粒子時，由于收縮擴(kuò)張系數(shù)前期較大，導(dǎo)致不能在適應(yīng)度較好的粒子位置進(jìn)行細(xì)致搜索；而在迭代后期收縮擴(kuò)張系數(shù)較小，導(dǎo)致適應(yīng)度較差的粒子不能跳出所在的位置，所以存在陷入局部最優(yōu)解、提前收斂等問題。針對以上問題，本文作者對收縮擴(kuò)張系數(shù)的設(shè)計提出改進(jìn)，以提高算法性能。

本文作者提出距離權(quán)重系數(shù)的概念，以有效改進(jìn)收縮擴(kuò)張系數(shù)。距離權(quán)重系數(shù)的表達(dá)式如公式(5)所示：

(5)

式中:為距離權(quán)重系數(shù)，∈(0,1)，且值可以用來表示當(dāng)前粒子位置與最優(yōu)粒子位置之間的距離，即權(quán)重系數(shù)越大，表示其間距越大；相反，權(quán)重系數(shù)越小，表示其間距越小。

根據(jù)提出的距離權(quán)重系數(shù)的概念設(shè)計收縮擴(kuò)張系數(shù)，提出一種基于距離權(quán)重系數(shù)動態(tài)改變收縮擴(kuò)張系數(shù)的尋優(yōu)策略。設(shè)計收縮擴(kuò)張系數(shù)表達(dá)式如下：

(6)

式中：為設(shè)置的收縮擴(kuò)張系數(shù)的最大值；為設(shè)置的收縮擴(kuò)張系數(shù)的最小值。顯然，當(dāng)距離權(quán)重系數(shù)值越大時，解得的和值也會越大，即當(dāng)前粒子的位置與最優(yōu)位置距離較大時，需要加快當(dāng)前粒子尋找到最優(yōu)位置的速度；反之，當(dāng)距離權(quán)重系數(shù)值越小時，解得的和也會越小，即當(dāng)前粒子位置與最優(yōu)位置距離較小時，需要粒子在局部空間內(nèi)更為精細(xì)的尋優(yōu)，以達(dá)到尋找全局最優(yōu)位置的目標(biāo)。基于第1.1節(jié)中提出的粒子分類策略，對收縮擴(kuò)張系數(shù)的選擇策略作如下描述：

對于適應(yīng)度()>()的劣等粒子，當(dāng)()<()時，令收縮擴(kuò)張系數(shù)=；否則=。對于適應(yīng)度()<()的優(yōu)等粒子，當(dāng)()<()時，令收縮擴(kuò)張系數(shù)=；否則=。

對于劣等粒子，當(dāng)()<()時，選擇作為收縮擴(kuò)張系數(shù)是因為是一個凹函數(shù)，在初期較大且變化速度快，可以更快地收斂到最優(yōu)位置；對于優(yōu)等粒子，當(dāng)()<()時，選擇作為收縮擴(kuò)張系數(shù)是因為是一個凸函數(shù)，在初期具有較大的值且變化速度緩慢，能夠在快速收斂到最優(yōu)解的基礎(chǔ)上還可以維持算法當(dāng)前的尋優(yōu)能力，從而取得更好的尋優(yōu)效果。此外，當(dāng)()>()時，說明當(dāng)前粒子所在位置較好，則選取收縮擴(kuò)張系數(shù)的最小值，進(jìn)行更仔細(xì)的局部搜索達(dá)到最優(yōu)解。

1.3 改進(jìn)量子粒子群算法流程

(1)設(shè)置種群數(shù)量、粒子維數(shù)、最大迭代次數(shù)、收縮擴(kuò)張系數(shù)最大值和收縮擴(kuò)張系數(shù)最小值；

(2)初始化粒子群中粒子的位置；

(3)計算步驟(2)中粒子的適應(yīng)度，進(jìn)而更新個體最優(yōu)值與全局最優(yōu)值的信息；

(4)計算種群中的平均極值，對于適應(yīng)度()>()的劣等粒子，當(dāng)()<()時，令收縮擴(kuò)張系數(shù)=，否則=，并且用位置更新方程(3)來更新粒子的位置；對于適應(yīng)度()<()的優(yōu)等粒子，當(dāng)()<()時，令收縮擴(kuò)張系數(shù)=；否則=，并且用位置方程(5)來更新粒子的位置；再次求解全部粒子當(dāng)前的適應(yīng)度，然后重置個體最優(yōu)值和全局最優(yōu)值的信息；

(5)如果達(dá)到所設(shè)定的迭代次數(shù)，則停止程序；否則重復(fù)上述步驟(4)。

1.4 量子粒子群優(yōu)化算法改進(jìn)測試

為檢驗算法改進(jìn)后的性能，采用如表1所示的3個經(jīng)典的多峰值測試函數(shù)比較算法改進(jìn)前后的性能,這3個測試函數(shù)的理論極小值都是0。

表1 3個經(jīng)典的測試函數(shù)

為保證測試的客觀公正、減少實驗的偶然性，分別對3個測試函數(shù)進(jìn)行30次實驗，且均采用相同的參數(shù)設(shè)置。其中，共性參數(shù)設(shè)置：種群數(shù)量設(shè)為100，迭代次數(shù)設(shè)為50，收縮擴(kuò)張系數(shù)最大值設(shè)為1、最小值為0.5，分別就4維和10維情況下對改進(jìn)前后的算法進(jìn)行測試。

根據(jù)30次的測試中得到的平均最優(yōu)值和均方差對算法的性能進(jìn)行評估，比較結(jié)果如表2所示。

表2 3種函數(shù)結(jié)果比較

3個函數(shù)在維數(shù)為10的情況下對應(yīng)的迭代曲線如圖2—圖4所示。

圖2 Rastrigrin函數(shù)D=10 圖3 Griewank函數(shù)D=10

圖4 Ackley函數(shù)D=10時的尋優(yōu)曲線

由表2和圖2—圖4可知：在30次測試中，對于3種測試函數(shù)改進(jìn)后的量子粒子群優(yōu)化算法獲得的最優(yōu)解均更接近于理論值，說明改進(jìn)后的算法具有更強(qiáng)的尋優(yōu)性能，且維度越高時體現(xiàn)得越明顯；在維數(shù)=10時，相較改進(jìn)前的量子粒子群優(yōu)化算法，改進(jìn)后的算法除Ackley函數(shù)外，收斂速度均有提升。通過以上測試，可得改進(jìn)后算法的尋優(yōu)效率與精度都得到較大改善，所提出的改進(jìn)策略是有意義的。

2 定模動輥裝備優(yōu)化設(shè)計

定模動輥裝備系統(tǒng)動力學(xué)優(yōu)化設(shè)計可分為：(1)基于能量原理對5個道次的裝備系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模；(2)通過動力學(xué)分析，設(shè)計優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)；(3)選擇改進(jìn)后的量子粒子群優(yōu)化算法對該機(jī)電設(shè)備進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計；(4)分析優(yōu)化結(jié)果。

2.1 建立優(yōu)化模型

文中所研究的定模動輥成形機(jī)的機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計已經(jīng)完成，原始設(shè)計參數(shù)已經(jīng)確定，為獲得更好的定模動輥裝備系統(tǒng)的各零部件的性能參數(shù)，可通過建立定模動輥裝備系統(tǒng)動力學(xué)模型來研究該系統(tǒng)的動力學(xué)特征。研究機(jī)電耦合相互作用規(guī)律，是目前解決大多數(shù)機(jī)電耦聯(lián)系統(tǒng)動力學(xué)問題的有效途徑。定模動輥成形機(jī)機(jī)電系統(tǒng)動力學(xué)方程為

=

=

=

2.2 確定目標(biāo)函數(shù)及優(yōu)化變量

定模動輥裝備系統(tǒng)優(yōu)化主要是對其各傳動鏈中的各零部件的性能參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使各零部件能夠合理分配，從而使裝備系統(tǒng)獲得更好的運(yùn)動穩(wěn)定性。因此，選取軋輥、傳動齒輪、聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)動慣量，5個道次的機(jī)架質(zhì)量、電機(jī)的電感以及相電阻作為優(yōu)化的設(shè)計變量。即優(yōu)化變量為、、、、、、、、、、…、、、…、、、、…。

以機(jī)架向運(yùn)動動態(tài)響應(yīng)加速度為目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)定模動輥裝備系統(tǒng)的動力學(xué)微分方程組，目標(biāo)函數(shù)為

目標(biāo)函數(shù)值通過求解第2.1節(jié)中的動力學(xué)公式獲得。文中采用龍格-庫塔法，選取合適的步長，系統(tǒng)初始條件為零，進(jìn)行方程求解。

選定定模動輥裝備系統(tǒng)設(shè)計變量的取值范圍如表3所示。

表3 設(shè)計變量取值范圍

2.3 優(yōu)化算法實現(xiàn)

利用量子粒子群優(yōu)化算法求解上述優(yōu)化問題。優(yōu)化前，對量子粒子群優(yōu)化算法的參數(shù)進(jìn)行設(shè)定，設(shè)種群初始值為100，迭代次數(shù)為50，收縮擴(kuò)張系數(shù)最大值為1，收縮擴(kuò)張系數(shù)最小值為0.5。設(shè)置完成后，用改進(jìn)的量子粒子群優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化求解，其中優(yōu)化過程中的評價函數(shù)值的變化曲線如圖5所示。

圖5 改進(jìn)量子粒子群優(yōu)化算法適應(yīng)度值變化

迭代27次后，適應(yīng)度不再變化，找到適應(yīng)度最優(yōu)解=4.822×10，設(shè)計變量優(yōu)化求解結(jié)果如表4所示。

表4 設(shè)計變量優(yōu)化結(jié)果

將表4中優(yōu)化前后的設(shè)計變量分別代入第2.1節(jié)的微分方程組求解，可得到優(yōu)化前后的大機(jī)架沿向運(yùn)動的加速度圖像，并將兩次求解之后大機(jī)架沿向移動的加速度進(jìn)行對比，如圖6所示。

圖6 優(yōu)化前后大機(jī)架沿x向移動的加速度對比

優(yōu)化后的大機(jī)架沿向移動的加速度較優(yōu)化前整體減小，其中在5個道次的軋輥電機(jī)開始工作時即運(yùn)動過程中的沖擊峰值部分減小較為明顯，優(yōu)化模型整體的峰值在0～2 s內(nèi)，從0.062 9 m/s降低到0.048 2 m/s。

3 結(jié)論

本文作者以定模動輥變高度輥彎成形裝備為研究對象，開展機(jī)電系統(tǒng)動力學(xué)優(yōu)化研究，實現(xiàn)裝備性能優(yōu)化。通過研究得出如下結(jié)論：

(1)基于改變粒子勢阱方程的異步尋優(yōu)策略與基于距離權(quán)重系數(shù)動態(tài)改變粒子收縮擴(kuò)張系數(shù)的尋優(yōu)策略對量子粒子群算法進(jìn)行改進(jìn)，可以提高粒子群算法的尋優(yōu)效率和速度；

(2)選擇改進(jìn)后的量子粒子群算法對5個道次的定模動輥成形裝備進(jìn)行優(yōu)化，用改進(jìn)后的量子粒子群優(yōu)化算法求解出的各傳動鏈中各零部件的參數(shù)對定模裝備系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計，減少其向運(yùn)動過程中的最大加速度，使其在運(yùn)動過程中沖擊峰值明顯減少，系統(tǒng)穩(wěn)定性明顯提高，證明應(yīng)用改進(jìn)后的量子粒子群優(yōu)化算法對該機(jī)電系統(tǒng)的加速度進(jìn)行優(yōu)化是有效的;

(3)由優(yōu)化結(jié)果可知，改進(jìn)系統(tǒng)設(shè)計參數(shù)后，裝備性能得到改善,研究結(jié)果可以為裝備研發(fā)提供參考。