Orlicz空間中Meyer-k?nig-Zeller-Kantorovich算子的加Jacobi權逼近

姜勝楠，吳嘎日迪，2

（1.內蒙古師范大學數(shù)學科學學院，內蒙古 呼和浩特 010022；2.內蒙古自治區(qū)應用數(shù)學中心，內蒙古 呼和浩特 010022）

0 引言

Meyer-k?nig-Zeller-Kantorovich算子由V.Totik在1983年的文獻［1］引入如下：

其中

權函數(shù)w(x)=xα(1-x)β，-1＜α，β＜1，φ(x)=x(1-x)。

本文研究Meyer-k?nig-Zeller-Kantorovich算子加Jacobi權情況在Orlicz空間中的逼近問題，用M(u)和N(v)表示互余的N函數(shù)，有關于N函數(shù)的定義及性質詳情可見文獻［2］中的論述。定義Orlicz空間中的范數(shù)：

由具有有限Orlicz范數(shù)的可測函數(shù)的全體{u(x)}構成了N函數(shù)M(u)生成的Orlicz空間其中表示v(x)關于N(v)的模。由文獻［2］知，Orlicz范數(shù)還可定義為

在此之前該算子在Lp空間內的加權逼近的特征刻劃已由文獻［3］得出，但在Orlicz空間中有關該算子加Jacobi權的逼近問題研究較少。本文利用H?lder不等式，凸函數(shù)的Jensenn不等式以及Orlicz空間中K-泛函與連續(xù)模給出了該算子在Orlicz空間中加Jacobi權的逼近的特征刻劃。

1 相關引理及證明

引理1設wf∈L*M[0，1]，則

這里

C表示與x和n無關的常數(shù)（文中不同處C值可能不同）。

證明由文獻［3］知，當時有

其中l(wèi)∈N，m∈Z。且容易算出

因此有

引理1得證。

引理2設則‖

證明由文獻［3］計算有

計算有

此外，

引理3令

則

證明由文獻［3］先假設

令

經計算有

根據(jù)Taylor公式有

將x=x1，x2，x3分別帶入Δn，k F的表達式有

由文獻［3］和式（8）有

所以有

顯然對P2由引理1可以直接得出又由文獻［3］和式（8）有

且由文獻［4］有

其中γ(x)=(1-x)。由此即得

對?f∈Dw，令

其中g，(f-g)∈Dw，顯然當時，(f-g)′=0。

并且計算有

通過上述結果及引理1，有

引理3證畢。

引理4設f∈Dw，則

證明因為

其中

則有

因為Mn(t-x；x)=0，且有

所以用最大值函數(shù)L(·；·)表示有

此處

綜上所述引理4得證。

2 主要結論

加權K-泛函定義為

定理設w(x)f(x)∈L*M[0，1]，0＜α＜1，則下列各式是等價的：

證明由引理1—4及文獻［4-5］的結果可得（1)?(2)，由文獻［1］可得出(2)?(3)，定理證畢。